四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末学业质量监测数学试题

这是一份四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末学业质量监测数学试题，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，边长等于6的正六边形的半径等于，定义新运算，下列二次根式是最简二次根式的是等内容，欢迎下载使用。

1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinαD．3csα
2．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ）
A．B．C．3D．2
3．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞1；
②b2﹣4ac＞1；
③9a﹣3b+c=1；
④若点（﹣1.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜1．
其中正确的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．边长等于6的正六边形的半径等于（ ）
A．6B．C．3D．
5．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．－1B．－1或C．D．1或
6．已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
7．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下：（单位：个）33，25，28，26，25，31，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（ ）
A．900个B．1080个C．1260个D．1800个
8．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
9．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是
A．180个，160个B．170个，160个
C．170个，180个D．160个，200个
10．将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A．y=3（x﹣3）2﹣3B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3D．y=3x2﹣6
11．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝40°，则∠ACO＝（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
12．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在格点上，则_____.
15．写出一个过原点的二次函数表达式，可以为____________.
16．定义：在平面直角坐标系中，我们将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的新曲线称为“逆旋抛物线”.
（1）如图①，己知点，在函数的图象上，抛物线的顶点为，若上三点、、是、、旋转后的对应点，连结，、，则__________；
（2）如图②，逆旋抛物线与直线相交于点、，则__________．
17．若是关于的方程的一个根，则的值为_________________.
18．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在矩形中对角线、相交于点，延长到点，使得四边形是一个平行四边形，平行四边形对角线交、分别为点和点.
（1）证明：；
（2）若，，则线段的长度.
20．（8分）关于的一元二次方程 有两个不等实根，.
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程两实根，满足，求的值。
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是射线上一动点（点不与点，重合），过点作垂直于轴，交直线于点，以直线为对称轴，将翻折，点的对称点落在轴上，以，为邻边作平行四边形．设点，与重叠部分的面积为．
（1）的长是__________，的长是___________（用含的式子表示）；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
22．（10分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DC=BD
(2)求证：DE为⊙O的切线
23．（10分）已知抛物线y=x2+x﹣．
（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
24．（10分）如图，是直径AB所对的半圆弧，点C在上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．
小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：
在AE，AD的长度这两个量中，确定_______的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE=AD时，AD的长度约为________cm(结果精确到0.1)．
25．（12分）已知某二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表.求此函数表达式.
26．如图，把Rt△ABC绕点A．逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】RtABC中，∠C=90°，∴cs= ，
∵，AC=，
∴csα= ，
∴AB= ，
故选A.
【点睛】考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
2、B
【分析】由切线的性质可得△OPB是直角三角形，则PB2＝OP2﹣OB2，如图，又OB为定值，所以当OP最小时，PB最小，根据垂线段最短，知OP＝3时PB最小，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°，
∴PB2＝OP2﹣OB2，
如图，∵OB＝2，
∴PB2＝OP2﹣4，即PB＝，
∴当OP最小时，PB最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PB的最小值为．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识，属于常考题型，如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键．
3、B
【分析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可．
【详解】详解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，1），
∴-=-1，a+b+c=1，
∴b=2a，c=-3a，
∵a＞1，
∴b＞1，c＜1，
∴abc＜1，故①错误，
∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，1），
可知抛物线与x轴还有另外一个交点（-3，1）
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞1，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（-3，1），
∴9a-3b+c=1，故③正确，
∵点（-1.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，
（-1.5，y1）关于对称轴的对称点为（-1.5，y1）
（-1.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，且在对称轴左侧，
-1.5＞-2，
则y1＜y2；故④错误，
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜1，故⑤正确，
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4、A
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，即可求解．
【详解】解：正六边形的中心角为310°÷1＝10°，那么外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，
∴边长为1的正六边形外接圆的半径是1，
即正六边形的半径长为1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是理解正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成的是一个等边三角形．
5、B
【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：当x>0时，有，解得， (舍去)，
x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．
故选B.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．
6、A
【分析】这条直线与这个圆的位置关系只要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可．
【详解】∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径r为6cm，
如果圆心O到一条直线的距离d为7cm，
d>r，
这条直线与这个圆的位置关系是相离．
故选择：A．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系问题，掌握点到直线的距离与半径的关系是关键．
7、C
【分析】先求出6名同学家丢弃塑料袋的平均数量作为全班学生家的平均数量，然后乘以总人数45即可解答．
【详解】估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（个）．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体的问题，掌握算术平均数的公式是解题的关键．
8、C
【解析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.
【详解】A. =3，故不是最简二次根式；
B. =，故不是最简二次根式；
C. ，是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式；
故选C.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式.
9、B
【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；
160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；
故选B．
【点睛】
此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
10、A
【解析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.
【详解】抛物线向右平移3个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.
11、D
【分析】根据圆周角的性质可得∠ABC=∠D,再根据直径所对圆周角是直角,即可得出∠ACO的度数．
【详解】∵∠D＝40°，
∴∠AOC＝2∠D＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝(180°﹣∠AOC)＝50°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角的性质,关键在于熟练掌握圆周角的性质,特别是直径所对的圆周角是直角．
12、C
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
则
故选C.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：DE= ，
∵DF=DB=2，
∴EF=DF-DE=2- = ，
故答案为.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
14、2
【分析】如图，取格点E，连接EC．利用勾股定理的逆定理证明∠AEC=90°即可解决问题．
【详解】解：如图，取格点E，连接EC．
易知AE=，
∴AC2=AE2+EC2，
∴∠AEC=90°，
∴tan∠BAC=.
【点睛】
本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、y=1x1
【分析】抛物线过原点，因此常数项为0，可据此写出符合条件的二次函数的表达式.
【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax1+bx+c（a≠0）；
∵抛物线过原点（0，0），
∴c=0；
当a=1，b=0时，y=1x1．
故答案是：y=1x1．（答案不唯一）
【点睛】
主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系．
16、3；
【分析】（1）求出点A、B的坐标，再根据割补法求△ABC的面积即可得到；
（2）将旋转后的MN和抛物线旋转到之前的状态，求出直线解析式及交点坐标，利用割补法求面积即可．
【详解】解：（1）在上，令x=0，解得y=2，
所以C（0，2），OC=2，
将，代入，
解得a=3，b=2，
∴，，
设，的直线解析式为，
则 ，
解得，
直线AB解析式为，令x=0，
解得，y=4，即OD=4，
∴，
∴
（2）如图，由旋转知，，，
∴，，
直线，令，得
∴
∴
∴
【点睛】
此题考查了二次函数与几何问题相结合的问题，将三角形的面积转化为解题关键．
17、
【分析】将x=2代入方程，列出含字母a的方程，求a值即可.
【详解】解：∵x=2是方程的一个根，
∴，
解得，a=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查方程解的定义，理解定义，方程的解是使等式成立的未知数的值是解答此题的关键.
18、1.
【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这1个格点，
故答案为1．
考点：圆的有关性质.
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）首先利用矩形和平行四边形平行的性质得出和，然后利用相似三角形对应边成比例，即可得证；
（2）利用平行四边形对角线的性质以及勾股定理和相似三角形的性质进行等量转换，即可得解.
【详解】（1）证明：∵是矩形，且，
∴．
∴．
又∵是平行四边形，且AC∥DE
∴，
∴．
∴．
∴．
（2）∵四边形为平行四边形，，相交点，
∴
∴在直角三角形中，
∴
又∵，
∴．
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
20、（1）；（2）．
【分析】（1）根据∆>0列式求解即可；
（2）先求出x1+x2与x1·x2的值，然后代入求解即可.
【详解】（1）原方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
（2）由根与系数的关系得，．
，
，
解得： 或，
又，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
21、（1），；（2）
【分析】（1）将y=0代入一次函数解析式中即可求出点A的坐标，从而求出结论；
（2）先求出点B的坐标，然后根据锐角三角函数求出，，然后根据m的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，利用相似三角形的判定及性质和各个图形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）将y=0代入中，得
解得：x=4
∴点A的坐标为（4,0）
∴OA=4，AP=
故答案为：；．
（2）令，，即
∵垂直于轴，
∴
∴
∵
当时，
∴
当时，如图2，过点作于点，
由题意知，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴
∴，，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
当时，如图3，由②知，xE=2
综上
【点睛】
此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、锐角三角函数、图形的面积公式和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
【详解】（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；
（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．
考点：切线的判定．
23、（1）顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）AB=．
【分析】（1）先把抛物线解析式配方为顶点式，即可得到结果；
（2）求出当时的值，即可得到结果．
【详解】解：（1）由配方法得y=（x+1）2 -3
则顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；
（2）令y=0,则0=x2+x﹣
解得x1=-1+ x2=-1-
则A（-1-，0），B（-1+，0）
∴AB=（-1+）-（-1-）=
24、（1）AD，AE；（2）画图象见解析；（3）2.2，．
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）根据题意作图即可；
（3）满足AE=AD条件，实际上可以转化为正比例函数y=x．
【详解】解：（1）根据题意，D为AB边上的动点，
∴AD的长度是自变量，AE的长度是这个自变量的函数；
∴故答案为：AD，AE．
（2）根据已知数据，作图得：
（3）当AE=AD时，y=x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.2或3.3
故答案为：2.2或3.3
【点睛】
本题是圆的综合题，以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
25、
【分析】观察图表可知，此二次函数以x=1为轴对称，顶点为（1，4），判断适合套用顶点式y=a（x-h）2+k,得到，再将除顶点外的任意已知点代入，如点（-1，0），得 a = -1.故所求函数表达式为
【详解】解：观察图表可知，当x=-1时y=0，当x=3时y=0，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∴设，
∵当x=-1时y=0，
∴，
∴=-1，
∴.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，这类问题首先应考虑能不能用简便方法即能不能用顶点式和交点式来解，实在不行用一般形式.此题能观察确定出对称轴和顶点的坐标是关键.
26、20°
【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得∠ABBʹ，再根据直角三角形两锐角互余可得解.
【详解】解：由旋转可知：
∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．
∴∠ABBʹ=∠ABʹB．
∴∠ABBʹ==70°．
∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．
【点睛】
本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键.
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AE/cm
0.00
0.41
0.77
1.00
1.15
1.00
0.00
1.00
4.04
…
AD/cm
0.00
0.50
1.00
1.41
2.00
2.45
3.00
3.21
3.50
…