初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定同步练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定同步练习题，共75页。

【题型1 矩形的性质】
【题型2 直角三角形斜边上的中线】
【题型3 矩形的判定】
【题型4 矩形的性质与判定综合运用】
【题型5 矩形形中最小值问题】
【题型6 梯子模型运用】
【题型7 矩形中折叠问题】
【题型8 矩形中动点问题】
【题型1 矩形的性质】
1．（2023•榕城区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．8B．C．D．4
2．（2023春•西湖区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．B．6C．D．5
3．（2023春•洪山区期中）如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，5）B．（3，5）C．（4，7）D．（5，6）
4．（2023春•河北区期中）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（2，3）C．（3，3）D．（3，2）
5．（2023春•新市区期中）如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（ ）
A．18°B．36°C．45°D．72°
6．（2023•灞桥区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别是AD、AE的中点，则FG的长为（ ）
A．B．5C．4D．
7．（2023春•南川区期中）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（3，6），则A，C两点间的距离是（ ）
A．B．C．D．6
8．（2023春•天河区校级期中）如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是CD，BC上的定点，点E、F分别是AP，RP的中点，若CR＝9，则EF＝（ ）
​
A．12B．8C．12.5D．不能确定
9．（2023春•珠海校级期中）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．D．
10．（2023春•庐阳区校级期中）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM于E，若，AE＝2EM，则CM的长为（ ）
A．B．C．1D．2
11．（2023春•瓯海区期中）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）
A．30B．32C．36D．40
12．（2023春•江南区校级期中）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．有一个内角等于90°B．对角线互相平分
C．邻边相等D．对角线相等
13．（2023春•庐江县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 直角三角形斜边上的中线】
14．（2023春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
15．（2023春•张北县校级期中）如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大B．变小
C．不变D．先变大后变小
16．（2023•安康一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
17．（2022秋•竞秀区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，AB的长为（ ）
A．6B．5C．3D．1.5
【题型3 矩形的判定】
18．（2023春•徐汇区期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AD⊥CD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是矩形
19．（2023春•南岗区期中）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是平行四边形
B．对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
20．（2023春•青山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A .∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC
C．∠BAO＝∠OBAD．∠BOA＝90°
21．（2023•咸阳一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，可以判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
22．（2023春•宿豫区期中）如图，在菱形ABCD中的对角线AC、BD相交于点O，OE∥CD，DE∥AC．求证：四边形AODE是矩形．
23．（2023•朝阳区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD＝180°，求证：四边形AECF是矩形．
24．（2023春•东莞市校级月考）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
25．（2023•顺义区一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若OF＝OA，求证：四边形AECF是矩形．
【题型4 矩形的性质与判定综合运用】
26．（2023春•长沙期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为菱形ABCD外一点，连接CE、DE，且CE∥BD，DE∥AC．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求△ADE的面积．
27．（2023春•武昌区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长．
28．（2023•延庆区一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°．点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ACDE是矩形；
（2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积．
29．（2023•丰台区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
30．（2023春•麒麟区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC垂直BD于点O，O、F分别为AC、AE中点，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）若OF＝1，∠CAE＝30°时，求AC的长．
31．（2023春•鄂城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
32．（2023春•思明区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积．
33．（2023春•雨花区校级月考）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积．
34．（2023春•邗江区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E．连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝3，求四边形ADCE的面积．
【题型5 矩形形中最小值问题】
35．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5B．3.6C．2.4D．4.8
36．（2023•淳安县一模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（ ）
​
A．B．3C．D．
37．（2023春•滑县期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝3，AC＝5．当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1B．1.2C．D．
38．（2023春•海淀区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
【题型6 梯子模型运用】
39．（2022春•曲阜市期中）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
40．（2020•惠山区一模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 ．
【题型7 矩形中折叠问题】
41．（2023春•江阴市月考）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的折法都正确B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确
42．（2023春•普陀区期中）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝25°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2＝ °．
43．（2023春•义乌市月考）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝ 度．
44．（2022春•潍坊期中）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝6cm，BC＝10cm，则EC的长为 cm．
45．（2022春•灌南县期中）如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是B'、D'，并且使HD'与B'F在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．
46．（2022•苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
（1）求证：△DAF≌△ECF；
（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
47．（2022•丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．
（1）求证：△PDE≌△CDF；
（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．
48．（2021秋•吉安县期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
49．（2022•运城二模）如图，将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点A′处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接AA′，如图1
问题解决：
（1）试判断图1中△ABA′是什么特殊的三角形？并说明理由；
（2）如图2，在图1的基础上，AA′与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交BA′于点Q，求的值．
50．（2021春•鼓楼区校级期中）已知，如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，点E是BC的中点．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AD＝8，CD＝6，点F是AD上的点，连接CF，把∠D沿CF折叠，使点D落在点G处．当△AFG为直角三角形时，求CF的长度．
【题型8 矩形中动点问题】
51．（2023春•江津区期中）已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（ ）
A．（2，4）（3，4）
B．（2，4）（8，4）
C．（2，4）（3，4）（8，4）
D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）
52．（2022秋•巴中期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延长BC到点E，使CE＝6，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP，设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
53．（2022秋•巴州区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延长BC到点E，使CE＝6，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP，设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
54．（2022秋•郑州期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①直接写出：当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．
55．（2022春•江门校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝ cm，
（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为 秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
56．（2021秋•青冈县期末）如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．问：
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
57．（2022春•绥棱县校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
58．（2022秋•重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C的坐标分别为（8，0）和（0，12），四边形OABC是长方形，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿着长方形BCOA移动一周（即沿着B→C→O→A→B的路线移动）．
（1）点B的坐标为 ；
（2）当点P移动8秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为8个单位，求点P的移动时间．
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求．
专题02 矩形的性质与判定（八大类型）
【题型1 矩形的性质】
【题型2 直角三角形斜边上的中线】
【题型3 矩形的判定】
【题型4 矩形的性质与判定综合运用】
【题型5 矩形形中最小值问题】
【题型6 梯子模型运用】
【题型7 矩形中折叠问题】
【题型8 矩形中动点问题】
【题型1 矩形的性质】
1．（2023•榕城区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．8B．C．D．4
【答案】B
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠BOA＝60°，
在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴AO＝BO＝OD＝OC，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵AB＝4，
∴BO＝OD＝4，
∴BD＝8，
∴Rt△ABD中，
．
故选：B．
2．（2023春•西湖区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．B．6C．D．5
【答案】C
【解答】解：如图，连接CE，
∵矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设AE＝x，则CE＝x，DE＝8﹣x，
在 Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2023春•洪山区期中）如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，5）B．（3，5）C．（4，7）D．（5，6）
【答案】A
【解答】解：如图，∵A（2，9），B（6，3），
∴D（6，9），
∴AD＝6﹣2＝4，BD＝9﹣3＝6，
∴每个长方形的长为6÷3＝2，宽为4÷4＝1，
∴点C的坐标为：（2+1×2，9﹣2×2），即（4，5），
故选：A．
4．（2023春•河北区期中）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（2，3）C．（3，3）D．（3，2）
【答案】D
【解答】解：如图所示：
过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为（3，2），
即为第四个顶点坐标．
故选：D．
5．（2023春•新市区期中）如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（ ）
A．18°B．36°C．45°D．72°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD 矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝×90°＝22.5°
∵AE⊥BO，
∴∠ABO+∠BAE＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝90﹣22.5°＝67.5°，
∴∠EAO＝∠BAO﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：C．
6．（2023•灞桥区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别是AD、AE的中点，则FG的长为（ ）
A．B．5C．4D．
【答案】D
【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝2，
∴DE＝＝＝2，
∵点F、G分别是AD、AE的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴FG＝DE＝．
故选：D．
7．（2023春•南川区期中）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（3，6），则A，C两点间的距离是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC，OB，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AC＝OB，
∵点B的坐标是（3，6），点O（0，0），
∴OB＝＝3，
∴A，C两点间的距离为3，
故选：B．
8．（2023春•天河区校级期中）如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是CD，BC上的定点，点E、F分别是AP，RP的中点，若CR＝9，则EF＝（ ）
​
A．12B．8C．12.5D．不能确定
【答案】C
【解答】解：如图，连接AR，
∵CR＝9，CD＝16，
∴DR＝7，
∵AD＝24，∠D＝90°，
∴AR＝＝＝25，
∵点E、F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝AR＝12.5，
故选：C．
9．（2023春•珠海校级期中）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】C
【解答】解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
10．（2023春•庐阳区校级期中）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM于E，若，AE＝2EM，则CM的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
∵，
∴，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，BM＝AE，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝AM＝3EM，
连接DM，如下图所示，
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM＝CM，
设EM＝CM＝x，则BM＝AE＝2x，AM＝AE+EM＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2+BM2＝AM2，
即，
解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴CM＝1．
故选：C．
11．（2023春•瓯海区期中）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）
A．30B．32C．36D．40
【答案】A
【解答】解：过点A作AN⊥EF于N，
由平移可得：HM＝2，AN＝3，
∴MG＝HG﹣HM＝8﹣2＝6，AM＝EH﹣AN＝3，
∴阴影部分的面积＝8×6﹣6×3＝30，
故选：A．
12．（2023春•江南区校级期中）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．有一个内角等于90°B．对角线互相平分
C．邻边相等D．对角线相等
【答案】C
【解答】解：∵菱形的邻边相等，但矩形的邻边不一定相等，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是邻边相等，
故选：C．
13．（2023春•庐江县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：连接CM，如图所示：
在矩形ABCD中，AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，
∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，
∴CM＝AM，
设AM＝CM＝x，
则DM＝6﹣x，
在Rt△CDM中，根据勾股定理，得32+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AM＝，
故选：A．
【题型2 直角三角形斜边上的中线】
14．（2023春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段AB的中点，
则CD＝AB＝AD，
∴∠ACD＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠ACD＝40°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝50°，
故选：C．
15．（2023春•张北县校级期中）如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大B．变小
C．不变D．先变大后变小
【答案】C
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，AB＝3，
∴OM是Rt△AOB的中线，
∴，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴OM的长度也不变，
故选：C．
16．（2023•安康一模）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，
∴，
∵DE⊥AB，AE＝5，
∴，
故选：B．
17．（2022秋•竞秀区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，AB的长为（ ）
A．6B．5C．3D．1.5
【答案】A
【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴，
∴AB＝6．
故选：A．
【题型3 矩形的判定】
18．（2023春•徐汇区期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AD⊥CD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是矩形
【答案】D
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，也可能是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
19．（2023春•南岗区期中）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是平行四边形
B．对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【解答】解：A、一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意，
反例：等腰梯形；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
20．（2023春•青山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A .∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC
C．∠BAO＝∠OBAD．∠BOA＝90°
【答案】D
【解答】解：A、∠BAD＝90°，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B、∵在平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，则∠BAD＝∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、∠BOA＝90°能判定平行四边形平行四边形ABCD为菱形，不能判定它为矩形，故此选项符合题意．
故选：D．
21．（2023•咸阳一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，可以判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
【答案】B
【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
22．（2023春•宿豫区期中）如图，在菱形ABCD中的对角线AC、BD相交于点O，OE∥CD，DE∥AC．求证：四边形AODE是矩形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE是矩形．
23．（2023•朝阳区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD＝180°，求证：四边形AECF是矩形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵∠EAO+∠CFD＝180°，∠CFO+∠CFD＝180°，
∴∠EAO＝∠CFO，
∵∠EAO＝∠FCO，
∴∠FCO＝∠CFO，
∴OC＝OF，
由（1）可知，OA＝OC，OE＝OF，
∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
24．（2023春•东莞市校级月考）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，
即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
25．（2023•顺义区一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若OF＝OA，求证：四边形AECF是矩形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，
∴OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OF＝，OA＝AC，
∵OF＝OA，
∴EF＝AC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是矩形．
【题型4 矩形的性质与判定综合运用】
26．（2023春•长沙期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为菱形ABCD外一点，连接CE、DE，且CE∥BD，DE∥AC．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求△ADE的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∴∠ECO＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，CO⊥BD，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DO＝BD＝×4＝2，OC＝BC＝×4＝2，
∵四边形OCED是矩形，
∴ED＝OC＝2，
∴△ADE的面积＝DE•OD＝×2×2＝2．
27．（2023春•武昌区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝14，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，
∴BE＝，
∴AE＝＝＝．
28．（2023•延庆区一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°．点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ACDE是矩形；
（2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形BCDE的面积是90．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MAE＝∠MDC，
∵点M为边AD的中点，
∴MA＝MD，
在△MAE和△MDC中，
，
∴△MAE≌△MDC（ASA），
∴ME＝MC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴四边形ACDE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，
∴AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°，
∴DE⊥BE，
∵BE＝10，DE＝12，
∴AE＝AB＝CD＝BE＝×10＝5，
∵BE∥CD，
∴S四边形BCDE＝×（5+10）×12＝90，
∴四边形BCDE的面积是90．
29．（2023•丰台区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）BF的长是2．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×2＝4，
∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×4＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BF的长是2．
30．（2023春•麒麟区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC垂直BD于点O，O、F分别为AC、AE中点，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）若OF＝1，∠CAE＝30°时，求AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形ODEC是矩形；
（2）解：∵四边形ODEC是矩形，
∴∠ACE＝90°，
∵O、F分别为AC、AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE＝2OF＝2，
∵∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE＝4，
∴AC＝＝＝2．
31．（2023春•鄂城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5，2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝AE＝5，
由（1）可知，四边形EFCO是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
故答案为：2．
32．（2023春•思明区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴OA＝AC＝1，
∴OD＝OB＝＝，
由（1）可知，四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积＝OA×OD＝1×＝．
33．（2023春•雨花区校级月考）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AB//DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．
∵点E是BC边中点，
∴BE＝CE．
∴△BAE≌△CFE（AAS），
∴AB＝CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC是矩形；
（2）解：∵AB＝CF，AB＝CD，
∴，即点C为DF中点．
∵△AFD是等边三角形，且边长为，
∴，
∴，
∴，
∴．
34．（2023春•邗江区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E．连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝3，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，
∵BC＝AB＝3，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝3，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝，
∴AD＝＝，
∴四边形ADCE的面积为CD•AD＝3×＝．
【题型5 矩形形中最小值问题】
35．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5B．3.6C．2.4D．4.8
【答案】D
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴．
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴四边形AMDN为矩形，
∴AD＝MN，
∴当AD最小时，MN最小．
当AD⊥BC时，AD最小，此时S△ABC＝AB•AC＝AD•BC，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8，
∴线段MN的最小值为4.8．
故选：D．
36．（2023•淳安县一模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（ ）
​
A．B．3C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝10，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值为，
故选：C．
37．（2023春•滑县期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝3，AC＝5．当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1B．1.2C．D．
【答案】B
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴BC＝4，四边形BMPN是矩形，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO＝MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝＝2.4，
∴MN＝2.4，
∴BO＝MN＝1.2，
故选：B．
38．（2023春•海淀区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接DP．
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵PF⊥DC于点E，PE∥DC，∠D＝90°，
∴四边形DEPF是矩形；
∴EF＝DP，
由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ADC＝DC•AD＝AC•DP，
即×4×3＝×5•DP，
解得DP＝．
故答案为：．
【题型6 梯子模型运用】
39．（2022春•曲阜市期中）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝8，BC＝3，
∴OE＝AE＝AB＝4，
∴DE＝＝＝5，
∴OD的最大值为：5+4＝9；
故答案为：9．
40．（2020•惠山区一模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在
Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，
∴OE＝B1E＝A1B1＝4，
又∵B1C1＝BC＝4，
∴C1E＝＝4，
∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．
故答案为：4+4．
【题型7 矩形中折叠问题】
41．（2023春•江阴市月考）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的折法都正确B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确
【答案】A
【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；
乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；
故选：A．
42．（2023春•普陀区期中）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝25°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2＝ 52.5 °．
【答案】52.5．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∵∠1＝25°，
∴∠BFE＝∠1＝25°，
∴∠EFC＝180°﹣25°＝155°，
根据第一次折叠，可得∠EFH＝∠EFC＝155°，
根据第二次折叠，可知∠MFS＝∠HFS＝77.5°，
∴∠2＝∠MFS﹣∠EFB＝77.5°﹣25°＝52.5°，
故答案为：52.5．
43．（2023春•义乌市月考）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝ 度．
【答案】64．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠CEF＝∠EFG＝58°，
由折叠的性质得：∠GEF＝∠CEF＝58°，
∴∠BEG＝180°﹣∠GEF﹣∠CEF＝64°．
故答案为：64．
44．（2022春•潍坊期中）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝6cm，BC＝10cm，则EC的长为 cm．
【答案】．
【解答】解：设CE＝xcm，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝10cm，
∴DC＝AB＝6cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝90°，
∵将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处，
∴AF＝AD＝10cm，DE＝EF＝（6﹣x）cm，
∴BF＝＝＝8（cm），
∴FC＝BC﹣BF＝2cm，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
即（6﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝，
即CE＝cm，
故答案为：．
45．（2022春•灌南县期中）如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是B'、D'，并且使HD'与B'F在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行．
【答案】见解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DHF＝∠BFH，
由折叠知：∠FHG＝∠DHG＝∠DHF，
∠HFE＝∠BFE＝∠BFH，
∴∠FHG＝∠HFE，
∴EF∥HG，
即两条折痕也相互平行．
46．（2022•苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
（1）求证：△DAF≌△ECF；
（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）25°．
【解答】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°，
在△DAF和△ECF中，
，
∴△DAF≌△ECF（AAS）；
（2）∵△DAF≌△ECF，
∴∠DAF＝∠ECF＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAF＝90°﹣40°＝50°，
∵∠EAC＝∠CAB，
∴∠CAB＝25°．
47．（2022•丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．
（1）求证：△PDE≌△CDF；
（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）cm．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
由折叠得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，
∴PD＝CD，
∵∠PDF＝∠ADC，
∴∠PDE＝∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
，
∴△PDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于G，
∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG＝＝3，
设CF＝x，
由（1）知：PE＝AE＝BG＝x，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠得：∠BFE＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝x+3，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，
∴x2+42＝（x+3）2，
∴x＝，
∴BC＝2x+3＝+3＝（cm）．
48．（2021秋•吉安县期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．
（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD＝AF＝10，DE＝EF，
在Rt△AOF中，OF＝＝6，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
即EC的长为3．
（2）∵EC的长为3，
∴点E的坐标为（10，3）．
49．（2022•运城二模）如图，将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点A′处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接AA′，如图1
问题解决：
（1）试判断图1中△ABA′是什么特殊的三角形？并说明理由；
（2）如图2，在图1的基础上，AA′与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交BA′于点Q，求的值．
【答案】（1）等边三角形；
（2）．
【解答】解：（1）等边三角形．
理由：由折叠可知：EF垂直平分AB，AB＝A'B，
∴AA'＝A'B，
∴AB＝A'B＝AA'，
∴△ABA'为等边三角形．
（2）取A'Q的中点M，连接MN，则A'M＝QM，
由折叠可知：AN＝A'N，
∴MN是△AA'Q的中位线，
∴MN∥AQ，
∴BP：PN＝BQ：QM，
∵P为BN的中点，
∴BP＝PN，
∴BQ＝QM，
∴．
50．（2021春•鼓楼区校级期中）已知，如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，点E是BC的中点．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AD＝8，CD＝6，点F是AD上的点，连接CF，把∠D沿CF折叠，使点D落在点G处．当△AFG为直角三角形时，求CF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）6或3．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC,
∴∠B＝∠ACB．
∵∠DAC＝∠B,
∴∠DAC＝∠ACB．
∴AD∥EC．
∵AB＝AC,E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°．
∵∠D＝90°,
∴四边形AECD为矩形．
(2)当∠AGF＝90°时，G在AC上，如图，
∵AD＝8,CD＝6,
∴AC＝．
∵CG＝CD,
∴AG＝AC﹣CG＝4．
设DF＝x,则AF＝8﹣x,GF＝DF＝x,
由勾股定理得：AG2+GF2＝AF2．
∴42+x2＝(8﹣x)2．
解得：x＝3．
∴．
当∠AFC＝90°时，G在CE上，此时四边形CDFG为正方形，如图：
∴CF＝6；
当∠FAG＝90°时，G在AB上，此时CG＝CD＝6,而CE＝AD＝8,
∵斜边大于直角边，
∴G不可能在AB边上．
综上，CF＝6或3
【题型8 矩形中动点问题】
51．（2023春•江津区期中）已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（ ）
A．（2，4）（3，4）
B．（2，4）（8，4）
C．（2，4）（3，4）（8，4）
D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）
【答案】C
【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，
则P的坐标是（3，4）；
若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝CM+PM＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故选：C．
52．（2022秋•巴中期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延长BC到点E，使CE＝6，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP，设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）当t＝3或13时，△ABP与△DCE全等；
（2）当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．
【解答】解：（1）当△ABP≌△DCE，即BP＝CE＝6时，则t＝6÷2＝3，
当△ABP≌△DCE，即AP＝CE＝6时，则．
∴当t＝3或13时，△ABP与△DCE全等．
（2）若△PDE为等腰三角形，
则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，
当PD＝DE时，
∵PD＝DE，DC⊥BE，
∴PC＝CE＝6，
∴．
当PE＝DE＝10时，
∵BP＝BC+CE﹣PE＝12+6﹣10＝8，
∴．
当PD＝PE时，
∴PE＝PC+CE＝6+PC，
∴PD＝6+PC，
在Rt△PDC中，PD2＝CD2+PC2，
∴（6+PC）2＝64+PC2，
∴，
∵BP＝BC﹣PC，
∴，
∴．
综上所述，当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．
53．（2022秋•巴州区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延长BC到点E，使CE＝6，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP，设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）t＝3或13；
（2）存在，t＝3或4或．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，
若△ABP与△DCE全等，则BP＝CE或AP＝CE，
当△ABP≌△DCE，即BP＝CE＝6时，
则t＝6÷2＝3；
当△ABP≌△CDE，即AP＝CE＝6时，
则．
∴当t＝3或13时，△ABP与△DCE全等．
；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，CD⊥BC，
在Rt△DCE中，CE＝6，
∴，
若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，
当PD＝DE时，
∵PD＝DE，DC⊥BE，
∴PC＝CE＝6，
∴；
当PE＝DE＝10时，
∵BP＝BC+CE﹣PE＝12+6﹣10＝8，
∴，
当PD＝PE时，
∴PE＝PC+CE＝6+PC，
∴PD＝6+PC，
在Rt△PDC中，PD2＝CD2+PC2，
∴（6+PC）2＝64+PC2，
∴，
∵BP＝BC﹣PC，
∴，
∴．
综上所述，当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．
54．（2022秋•郑州期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①直接写出：当AE＝ 4 cm时，四边形CEDF是菱形（不需要说明理由）；
②当AE＝ 7 cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①4；②7．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△CFG和△DEG中，
，
∴△CFG和△DEG（ASA），
∴FG＝EG，
又∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形．
（2）解：①当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∵AE＝4cm，
∴DE＝AD﹣AE＝6cm，
∴DE＝CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：4；
②当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下：
如图，过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6cm，
∴BM＝AB＝3cm，
∵AE＝7cm，
∴DE＝AD﹣AE＝3cm＝BM，
在△MBA和△EDC中，
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：7．
55．（2022春•江门校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝ （10﹣t） cm，
（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为 2 秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
【答案】（1）（10﹣t）；
（2）2；
（3）以P、D、Q、B为顶点的四边形有可能是平行四边形，t的值为或8．
【解答】解：（1）∵AD＝10，AP＝t，
∴PD＝10﹣t，
故答案为：（10﹣t）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AP∥BQ，∠A＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形PABQ是矩形，
当0＜t＜2.5时，点Q从点C向点B运动，
∴t＝10﹣4t，
解得t＝2，
故答案为：2．
（3）以P、D、Q、B为顶点的四边形有可能是平行四边形，
∵PD∥BQ，
∴当PD＝BQ时，四边形BPDQ是平行四边形，
当5＜t≤7.5时，点Q从点C向点B运动，
由PD＝BQ得10﹣t＝10×3﹣4t，
解得t＝；
当7.5＜t＜10时，点Q从点B向点C运动，
由PD＝BQ得10﹣t＝4t﹣10×3，
解得t＝8，
综上所述，t的值为或8．
56．（2021秋•青冈县期末）如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．问：
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解答．
（2）OC＝；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由见解答．
【解答】（1）证明：
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
57．（2022春•绥棱县校级期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）见解析过程；
（2）；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
58．（2022秋•重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C的坐标分别为（8，0）和（0，12），四边形OABC是长方形，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿着长方形BCOA移动一周（即沿着B→C→O→A→B的路线移动）．
（1）点B的坐标为 （8，12） ；
（2）当点P移动8秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为8个单位，求点P的移动时间．
【答案】（1）（8，12）；
（2）P（8，4）；
（3）t＝3秒或9秒时，点P到x轴的距离为8个单位长度．
【解答】解：（1）由矩形的性质，得
CB＝OA＝8，AB＝OC＝12，
∴B（8，12）；
故答案为：（8，12）；
（2）由每秒4个单位长度的速度沿着长方形BCOA移动一周（即沿着B→C→O→A→B的路线移动），
∵点P移动了8秒，
∴P点移动了32个单位，即BC+OC+OA＝28，
∴P点在AB上且距A点4个单位，
∴P（8，4）；
（3）第一次距x轴8个单位时OP＝8，即BC+CP＝8+4＝4t，
解得t＝3，
第二次距x轴5个单位时，AP＝8，即 BC+OC+AO+AP＝8+12+8+8＝4t，
解得t＝9，
综上所述：t＝3秒或9秒时，点P到x轴的距离为8个单位长度．
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求．