2025届甘肃省天水市重点中学九上数学开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份2025届甘肃省天水市重点中学九上数学开学质量跟踪监视试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B、A、C′在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是( ).
A．90°B．120°C．150°D．160°
2、（4分）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．18B．20C．22D．26
4、（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且，点N是边AC上一动点，则线段的最小值为
A．8
B．
C．
D．10
5、（4分）一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是
A．3，2B．2，3C．2，2D．2，4
6、（4分）王老师对甲、乙两人五次数学成绩进行统计，两人平均成绩均为90分，方差S甲2=12，S乙2=51，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两位同学的成绩一样稳定
B．乙同学的成绩更稳定
C．甲同学的成绩更稳定
D．不能确定
7、（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5B．13，14，15C．5，12，13D．15，8，17
8、（4分）反比例函数的图象的一支在第二象限，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，作第二个菱形，使；作于点，以为一边，作第三个菱形，使；…依此类推，这样作出第个菱形．则_________． _________．
10、（4分）如图，在RtACB中，∠C＝90°，AB＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则ABD的面积为_____．
11、（4分）已知一次函数y=kx+2的图象与x轴交点的横坐标为6，则当-3≤x≤3时，y的最大值是______．
12、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为BC边的中点，连接OE，若AB＝4，则线段OE的长为_____．
13、（4分）已知，则比较大小2_____3（填“＜“或“＞”）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.
15、（8分）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．

根据图表中提供的信息，回答下列问题：
(1)在样本中，男生身高的中位数落在________组(填组别序号)，女生身高在B组的人数有________人；
(2)在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有________人，身高人数最多的在________组(填组别序号)；
(3)已知该校共有男生500人、女生480人，请估计身高在155≤x＜165之间的学生有多少人
16、（8分）为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字书写”大赛，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩(成绩取整数，总分分)作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
(1)_____，______；
(2)补全频数直方图；
(3)这名学生成绩的中位数会落在______分数段；
(4)若成绩在分以上(包括分)为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的名学生中成绩为“优”等的有多少人。
17、（10分）如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，，该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H．
直接写出点C和点D的坐标；
求直线CD的解析式；
判断点在矩形ABCD的内部还是外部，并说明理由．
18、（10分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，万州区某中学举行了一次中学生诗词大赛活动.小何同学对他所在八年级一班参加诗词大赛活动同学的成绩进行了整理，成绩分别100分、90分、80分、70分，并绘制出如下的统计图.
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）该校八年级（1）班参加诗词大赛成绩的众数为______分；并补全条形统计图.
（2）求该校八年级（1）班参加诗词大赛同学成绩的平均数；
（3）结合平时成绩、期中成绩和班级预选成绩（如下表），年级拟从该班小何和小王的两位同学中选一名学生参加区级决赛，按的比例计算两位同学的最终得分，请你根据计算结果确定选谁参加区级决赛.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）甲乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距400千米的B地，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速返回A地取物品，取到物品后立即提速25%继续开往B地（所有掉头和取物品的时间忽略不计），甲乙两人间的距离y千米与甲开车行驶的时间x小时之间的部分函数图象如图所示，当甲到达B地时，乙离B地的距离是_____．
20、（4分）已知，，则的值为___________．
21、（4分）如图，在中，，点，，分别是，，的中点，若，则线段的长是__________．
22、（4分）如图，在中，，垂足为，是中线，将沿直线BD翻折后，点C落在点E，那么AE为_________.
23、（4分）已知一次函数y=kx+b的图像过点（-1,0）和点（0,2），则该一次函数的解析式是______。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b﹣=1．
25、（10分）计算：
(1).
(2).
(3).
(4)解方程：.
26、（12分）某单位计划在暑假阴间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客七五折优惠.设该单位参加旅游的人数是x人.选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元.
（1）写出甲旅行社收费（元）与参加旅游的人数x（人）之间的关系式.
（2）写出乙旅行社收费（元）与参加旅游的人数x（人）之间的关系式.
（3）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据旋转角的定义，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可求解．
【详解】
旋转角是∠BAB′=180°-30°=150°．
故选C．
本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
2、D
【解析】
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】
解：因为点在第四象限，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3，
所以点的坐标为，
故选：．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3、A
【解析】
根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周长．
【详解】
解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝1．
故选A．
本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB、BC的长度是解决问题的关键．
4、D
【解析】
要使DN＋MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN＋MN最小值即是BM的长．
【详解】
解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN＋MN的最小值，

在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝ ，
即DN＋MN的最小值是10；
故选：D．
本题考查了轴对称问题以及正方形的性质，难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
5、B
【解析】
根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可．
【详解】
解：这组数据从小到大排列是：2，2，2，3，4，5，6，
出现次数最多的数是2，故众数是2；
处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是3，
故选：．
考查众数、中位数的意义，即从出现次数最多的数、和排序后处于之中间位置的数．
6、C
【解析】
分析：先根据甲的方差比乙的方差小，再根据方差越大，波动就越大，数据越不稳定，方差越小，波动越小，数据越稳定即可得出答案．
详解：∵S2甲=12、S2乙=51，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲比乙的成绩稳定；
故选C．
点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7、B
【解析】
分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能够构成直角三角形.
【详解】
解：A选项中，，∴能构成直角三角形；
B选项中，，∴不能构成直角三角形；
C选项中，，∴能构成直角三角形；
D选项中，，∴能构成直角三角形；
故选B.
本题主要考查构成直角三角形的条件，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
8、A
【解析】
分析：当比例系数小于零时，反比例函数的图像经过二、四象限，由此得到k-1<0，解这个方程求出k的取值范围.
详解：由题意得，
k-1<0，
解之得
k<1.
故选A.
点睛：本题考查了反比例函数的图像，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
在△AB1D2中利用30°角的性质和勾股定理计算出AD2=，再根据菱形的性质得AB2=AD2=，同理可求AD3和 AD4的值．
【详解】
解：在△AB1D2中，
∵，
∴∠B1AD2=30°，
∴B1D2=，
∴AD2==，
∵四边形AB2C2D2为菱形，
∴AB2=AD2=，
在△AB2D3中，
∵，
∴∠B2AD3=30°，
∴B2D3=，
∴AD3== ，
∵四边形AB3C3D3为菱形，
∴AB3=AD3=，
在△AB3D4中，
∵，
∴∠B3AD4=30°，
∴B3D4=，
∴AD4==，
故答案为，．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积等于对角线乘积的一半．也考查了锐角三角函数的知识．
10、
【解析】
过点D作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理求出DH，然后根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵DC⊥BC，DH⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DH＝CD＝1，
∴S△ABD＝•AB•DH＝×2×1＝，
故答案为：．
本题主要考查角平分线的尺规作图及性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
11、1≤y≤1
【解析】
将点(6，0)代入解析式即可求出k的值，得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围得到函数值的取值范围即可．
【详解】
∵一次函数的图象与x轴交点的横坐标为，
∴这个交点的坐标为(6，0)，
把(6，0)代入中得：
，
，
∵＜0，y随x的增大而减小，
当时，=1．
当时，．
则．
故答案是：．
本题考查了利用直线上点坐标确定解析式，熟练掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；对于一次函数求极值问题可通过增减性求，也可以代特殊值求出．
12、2
【解析】
证出OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝2，
故答案为：2．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的定理；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
13、＜
【解析】
要使两个分式的和为零，则必须两个分式都为0，进而计算a,b的值，代入比较大小即可.
【详解】
解：∵ +＝0，
∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，
解得a＝3，b＝2，
∴2 ， ，
∴ ．
故答案为：＜
本题主要考查根式为零时参数的计算，这是考试的重点知识，应当熟练掌握.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置.
【详解】
过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②.

本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理.
15、（1）D；12；（2）16；C；（3）身高在155≤x＜165之间的学生约有541人．
【解析】
从频数分布直方图可得到男生的总人数，则中位数是第20、21个人身高的平均数，女生与男生人数相同，由此可得到题（1）的答案；
结合上步所得以及各组的人数可求出身高在150≤x＜155的总人数和身高最多的组别，从而解决（2）；对于（3），可根据两幅统计图得到男女生身高在155≤x＜165之间的学生的百分率，从而使问题得以解决.
【详解】
解：（1）因为在样本中，共有男生2+4+8+12+14=40（人），
所以中位数是第20、21个人身高的平均数，而2+4+12=18人，
所以男生身高的中位数位于D组，
女生身高在B组的人数有40×(1-30%-20%-15%-5%)=12（人）.
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有4+12=16（人），身高人数最多的在C组；
（3）500× +480×(30%+15%)=541（人），
故估计身高在155≤x＜165之间的学生约有541人.
本题主要考查从统计图表中获取信息，中等难度,解题的关键是要读懂统计图.
16、 (1)70，0.05；(2)见解析；(3)80≤x<90；(4)625人.
【解析】
（1）根据第一组的频数是30，频率是0.15，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第一组频数除以数据总数可得b的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；
（4）利用总数2500乘以“优”等学生的所占的频率即可．
【详解】
(1)本次调查的总人数为30÷0.15=200，
则a=200×0.35=70，b=10÷200=0.05，
故答案为：70，0.05；
(2)频数分布直方图如图所示，
(3)200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80⩽x<90，
∴这200名学生成绩的中位数会落在80⩽x<90分数段，
故答案为：80⩽x<90；
(4)该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：2500×0.25=625(人).
此题考查频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数，解题关键在于看懂图中数据
17、（1）．，（2）直线CD的解析式的解析式为：；（3）点在矩形ABCD的外部．
【解析】
根据中心对称的性质即可解决问题；
利用待定系数法求出直线CD的解析式；
根据直线CD的解析式，判定点与直线CD的位置关系即可解决问题．
【详解】
、C关于原点对称，，
，
、D关于原点对称，，
，
设直线CD的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
直线CD的解析式的解析式为：；
：；
时，，
，
点在直线CD的下方，
点在矩形ABCD的外部．
本题考查了中心对称的性质、一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
18、90，见解析；（2）86；（3）选小何参加区级决赛.
【解析】
（1）根据条形图、扇形统计图中的数据可得出众数为90分，同时知道80分的人数为6人，即可补全条形图；（2）根据求平均数的方法计算平均数即可；（3）用加权平均数计算公式计算然后做比较即可.
【详解】
（1）90
全条形统计图80分6人.
（2）.
（3）小何得分：（分）
小王得分：（分）
∴选小何参加区级决赛.
本题考查了条形图、扇形统计图的制作特点、平均数、加权平均数的意义和求法，掌握平均数、加权平均数的计算方法是解答的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
结合题意分析函数图象：线段OC对应甲乙同时从A地出发到A返回前的过程，此过程为1小时；线段CD对应甲返回走到与乙相遇的过程（即甲的速度大于乙的速度）；线段DE对应甲与乙相遇后继续返回走至到达A地的过程，因为速度相同，所以甲去和回所用时间相同，即x＝2时，甲回到A地，此时甲乙相距120km，即乙2小时行驶120千米；线段EF对应甲从A地重新出发到追上乙的过程，即甲用（5﹣2）小时的时间追上乙，可列方程求出甲此时的速度，进而求出甲到达B地的时刻，再求出此时乙所行驶的路程．
【详解】
解：∵甲出发到返回用时1小时，返回后速度不变，
∴返回到A地的时刻为x＝2，此时y＝120，
∴乙的速度为60千米/时，
设甲重新出发后的速度为v千米/时，列得方程：
（5﹣2）（v﹣60）＝120，
解得：v＝100，
设甲在第t小时到达B地，列得方程：
100（t﹣2）＝10
解得：t＝6，
∴此时乙行驶的路程为：60×6＝360（千米），
乙离B地距离为：10﹣360＝1（千米）．
故答案为：1．
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系．
20、1
【解析】
将写成(x+y)(x-y)，然后利用整体代入求值即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：1．
本题考查了平方差公式的应用，将写成(x+y)(x-y)形式是代入求值在关键．
21、1．
【解析】
先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出EF的长即可．
【详解】
中，，D是AB的中点，
即CD是直角三角形斜边上的中线，
，
又分别是的中点，
∴是的中位线，
，
故答案为：1．
此题主要考查了直角三角形的性质以及三角形中位线定理，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．
22、
【解析】
如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形，先证明△ADM≌△CDB，在RT△BMN中利用勾股定理求出BM，再证明四边形BCDE是菱形，AE=2OD，即可解决问题．
【详解】
解：如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形．
∵AB=AC=4，，
∴CH=1，AH=NB=
，BC=2，
∵AM∥BC，
∴∠M=∠DBC，
在△ADM和△CDB中，
，
∴△ADM≌△CDB(AAS)，
∴AM=BC=2，DM=BD，
在RT△BMN中，∵BN=，MN=3，
∴，
∴BD=DM=，
∵BC=CD=BE=DE=2，
∴四边形EBCD是菱形，
∴EC⊥BD，BO=OD=，EO=OC，
∵AD=DC，
∴AE∥OD，AE=2OD=．
故答案为．
本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的数学数学，利用三角形中位线发现AE=2OD，求出OD即可解决问题，属于中考常考题型．
23、y=2x+2
【解析】
根据一次函数解析式y=kx+b，再将点（-1,0）和点（0,2）代入可得方程组，解出即可得到k和b的值，即得到解析式.
【详解】
因为点（-1,0）和点（0,2）经过一次函数解析式y=kx+b，所以0=-x+b，2=b，得到k=2，b=2，所以一次函数解析式是：y=2x+2，故本题答案是：y=2x+2.
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，难度不大，关键是掌握待定系数发的运用.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、原式==2
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
（﹣）÷
=
=
由a+b﹣=1，得到a+b=，
则原式==2．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、 (1)-1；(2)+1；(3)；(4)x＝－15
【解析】
（1）根据二次根式的运算法则合并计算即可；（2）根据二次根式的运算法则合并计算即可；（3）先把分母因式分解，再通分，按照同分母分式的加减法法则计算即可；（4）分式两边同时乘以（x+3）（x-3），再去括号、移项、整理并检验即可得答案.
【详解】
(1)；
＝-3+－1
＝-1
(2)
＝-1+－2
＝+1
(3)
＝
＝
＝
(4)解方程
去分母得：(x+3)2=4(x-3)+(x+3)(x-3)
去括号得：x2+6x+9=4x-12+x2-9
移项得：2x=-30
解得x＝－15
检验：x＝－15 是原方程的根
本题考查二次根式的计算、分式的减法及解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键.
26、（1）；（2）；（3）当人数为15人时，两家均可选择，当人数在之间时选择乙旅行社，当人数时，选择甲旅行社，见解析.
【解析】
（1）根据甲旅行社的优惠方式，可计算出y1与x之间的关系．
（2）根据乙旅行社的优惠方式，可计算出y2与x之间的关系．
（3）根据（1）（2）的表达式，利用不等式的知识可得出人数多少克选择旅行社．
【详解】
（1）；
（2）根据乙旅行社的优惠方式；；
（3）①甲社总费用=乙社总费用的情况，此时，解得：；
即当时，两家费用一样．
②甲社总费用多于乙社总费用的情况：，
解不等式得：，
即当时，乙旅行社费用较低．
③甲社总费用少于乙社总费用的情况，此时
解得：
即当时，甲旅行社费用较低．
答：当人数为15人时，两家均可选择，当人数在之间时选择乙旅行社，当人数时，选择甲旅行社．
此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是得出甲乙旅行社收费与人数之间的关系式，利用不等式的知识解答，难度一般．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
组别
身高(cm)
A
x<150
B
150≤x＜155
C
155≤x＜160
D
160≤x＜165
E
x≥165
学生姓名
平时成绩
期中成绩
预选成绩
小何
80
90
100
小王
90
100
90