人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练专题16垂径定理重难点题型专训(八大题型)(原卷版+解析)

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第二十四章 圆专题16 垂径定理重难点题型专训（八大题型） 【题型目录】题型一 利用垂径定理求值题型二 利用垂径定理求平行弦问题题型三 利用垂径定理求同心圆问题题型四 利用垂径定理求解其他问题题型五 垂径定理的推论题型六 垂径定理的实际应用题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证【知识梳理】知识点一、圆的对称性（1）对称中心圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）对称轴经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。（3）垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；几何语言： 垂径定理的几个基本图形：垂径定理在基本图形中的应用：2．其它正确结论：⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点二、确定圆的条件1．过已知点作圆2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.【经典例题一 利用垂径定理求值】1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（    ）  A．3 B．4 C．1 D．22．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（    ）  A．12 B．15 C．16 D．183．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．    4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则 ．  5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．(1)求证：．(2)若，，求的半径．6．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________．(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】1．（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ）A．1 B．7 C．1或7 D．3或42（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　A．5 B．6 C．7 D．83．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：．【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　）A．点D B．点E C．点F D．点G2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.A．6 B． C． D．3．（2019·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 4．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．6．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）（1）如图①，为等边三角形，若，则的面积为__________；（2）如图②，在矩形中，．如果点P是边上一点，且，那么边上是否存在一点Q，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；（3）如图③，有一个平行四边形花园米，米，，点E在边上，且．现需在花园内开辟四边形区域种植一种红色花卉．根据设计要求，F为花园内（含边界）一点，满足，同时过点F修建一条笔直的小路（点G、H为该花园入口，其中点G、H分别在平行四边形的边、上），且使平分该平行四边形花园的面积．那么是否存在这样的点F，使四边形的面积最大且使平分该平行四边形花园的面积？若存在，请求出此时四边形的面积及线段的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计）【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）  A．8 B．4 C．3.5 D．32．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（    ）A． B． C．11 D．153．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．  4．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．（1）线段的长为 ．（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图：①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为 ；②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．  (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．6．（2023春·全国·九年级专题练习）在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．  (1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；(2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．【经典例题五 垂径定理的推论】【例5】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（    ）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（    ）．A．48 B．45 C．42 D．402．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是 ．3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图， 是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．【经典例题六 垂径定理的实际应用】【例6】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）  A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．下面的说法正确的是（    ）A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．两人都不对 D．两人都对2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分．3．（2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线上的点在圆心的正下方，筷子与右下方交于，两点，线段，分别垂直于点，．测得，，则圆盘的半径为 ．4．（2022秋·广西河池·九年级统考期末）将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上．(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；(2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径．5．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）        问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）【经典例题七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】【例7】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）  A． B．C． D．【变式训练】1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D．2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D（1）＝ ；（2）当点D恰好为的中点时，＝ ．3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ．4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D，(1)__________；(2)当点D恰好为的中点时，__________．5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．我们由定理可以进一步得出结论：，，．定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．探究问题：如图，在和中，，，，连接交于点，交于点，连接．(1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度；(3)若，求证．【经典例题八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（    ）A．当时， B．C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论①；②；③若四边形是正方形，则；④若为弧的中点，则为中点．所有正确结论的序号是 ．4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．  (1)连接，判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求圆O的半径；5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图2，在上截取，连接，，和是弧的中点，∴，……(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.(3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.第二十四章 圆专题16 垂径定理重难点题型专训（八大题型） 【题型目录】题型一 利用垂径定理求值题型二 利用垂径定理求平行弦问题题型三 利用垂径定理求同心圆问题题型四 利用垂径定理求解其他问题题型五 垂径定理的推论题型六 垂径定理的实际应用题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证【知识梳理】知识点一、圆的对称性（1）对称中心圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）对称轴经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。（3）垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；几何语言： 垂径定理的几个基本图形：垂径定理在基本图形中的应用：2．其它正确结论：⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点二、确定圆的条件1．过已知点作圆2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.【经典例题一 利用垂径定理求值】1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（    ）  A．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】根据，，由垂径定理可得，，即可得到是的中位线，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，，即是的中位线，∴，故选：D．【点睛】本题考查圆和三角形结合题，熟练掌握圆的垂径定理及中位线的性质是解题的关键．2．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（    ）  A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【分析】设，根据垂径定理可得出，用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值, 进而得出的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：设，则，∵，∴，在中，，即，解得： ，即，∵为的中位线，∴，∵是的直径，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积，解题的关键是求出的长度属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出方程是关键．3．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．    【答案】5【分析】设光盘的圆心为O，过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，利用勾股定理求出x的值即可．【详解】解：设光盘的圆心为O，如图所示：  过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴，∵刻度尺宽，∴，在中，，即，解得：．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则 ．  【答案】8【分析】延长交于E点，交于点F，连接，由与垂直，根据垂径定理得到E为的中点，然后利用D是的中点和对称即可求出的长，从而求出，然后由的长，根据勾股定理求出的长，进而得出半径的长．【详解】解：延长交于E点，交于点F，连接，  ∵，∴E为的中点， ∵，∴，∵D是的中点，，∴，，根据对称的性质可得：， ，在中，根据勾股定理可得：即∴（负值舍去）故答案为：8．【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作辅助线是本题的突破点．5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．(1)求证：．(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明；（2）设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：连接，设的半径是，，，，的半径是5．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．6．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________．(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：（2）过作，作，垂足分别为、，∴，，，，又∵，∴，连接、、、，  在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】1．（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离；所以与之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．2（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．【答案】或【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作在中∵，∴∴∵∴∴∵∴∴∴∵AB//CD∴AB与CD之间的距离即GH∴AB与CD之间的距离为②如图，作，连接AD则有四边形PEFD是矩形，∴EF=PD∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴故答案为：或【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm．【答案】7或17/17或7【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离．【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC∵∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙的直径为26∴OA=OC=13∴，∴EF=OF-OE=7②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC∵∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙的直径为26∴OA=OC=13∴，∴EF=OF+OE=17故答案为：7或17．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离．【答案】14cm或2cm【分析】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离，不过本题要按平行线与圆间的位置关系分类讨论．【详解】（1）如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点．分别连结AO、CO．∵AB∥CD，∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距．∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，∴， =8+6=14（cm）                图1                           图2（2）如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2（cm）∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm．【点评】本题考查了垂径定理，解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系分类讨论，千万别丢解．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：．【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；（2）易证，由垂径定理可得结论.【详解】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：如图，连接EO，并延长交CD于F．∵ EO过点O，E为AB的中点，．（2），，．∵ EF过点O，，垂直平分CD， ．【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】B【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．【详解】解：如图作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.3．（2019·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值为4∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．4．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，则 解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．【答案】(1)证明见解析(2)小圆的半径r为【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴（2）解：连接，如图2， ∵，∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为．【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．6．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）（1）如图①，为等边三角形，若，则的面积为__________；（2）如图②，在矩形中，．如果点P是边上一点，且，那么边上是否存在一点Q，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；（3）如图③，有一个平行四边形花园米，米，，点E在边上，且．现需在花园内开辟四边形区域种植一种红色花卉．根据设计要求，F为花园内（含边界）一点，满足，同时过点F修建一条笔直的小路（点G、H为该花园入口，其中点G、H分别在平行四边形的边、上），且使平分该平行四边形花园的面积．那么是否存在这样的点F，使四边形的面积最大且使平分该平行四边形花园的面积？若存在，请求出此时四边形的面积及线段的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计）【答案】（1） ；（2）存在，，证明见解析；（3）最大面积为m2，PQ长为100米【分析】（1）首先作出高线，根据三角形的三线合一，得出30° 的角，利用勾股定理求出高线的长，即可求出面积；（2）根据矩形是中心对称图形，经过矩形对角线交点的直线平分面积，连接AC与BD，交点为O，连接PO延长至Q，证明全等，再构造直角三角形求出PQ即可；（3）连接DE，四边形AEFD面积中△ADE为等边三角形，面积不变，即求出△DEF面积的最大值即可，而△DEF的边DE不动，F点在平行四边形内部（包含边界），所以求出当点F距到DE边的距离最大时，面积最大；因为∠DFE角度不变，构造隐形圆，即可求出最大的高．【详解】（1）过点C作CD⊥AB,垂足为D，∵△ABC为等边三角形，CD⊥AB∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=30°，∵AC=2,∴AD=,在Rt△ADC中， ,∴S△ABC=;（2）连接AC,BD交于点O，连接PO并延长，交于BC与点Q，∵四边形ABCD为矩形，∴AO=CO,BO=DO,又∵∠AOP=∠QOC，∴△APO≌△CQO，同理可得△POD≌△QOB，△AOB≌△COD,∴,即PQ平分矩形ABCD的面积；过点P作PH⊥BC，交于BC于点H，由上证明可知：AP=CQ=1,且AP=BH=1,∴ ,在Rt△PHQ中，．（3）连接DE，作DE的垂直平分线，再作FE的垂直平分线，两垂直平分线交于一点O，过点O，以OE为半径作圆，交于CD于一点G；当F位于G点时，四边形AEFD的面积最大，理由如下：∵AD=AE,∠A=60°，∴△ADE为等边三角形，面积为定值 ，∴当△DEF面积最大时，四边形AEFD面积最大；又∵△DEF的边DE为固定边，且∠DFE=60°，∴点F为一个圆上的动点，点D，E为圆上的顶点，且∠AFE为圆周角，DE,EF,DF为圆的弦，∴作任意两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，∴作DE和EF的垂直平分线，交点O即为圆心，OD=OE=OF为半径，∴当F运动到G点时，△DEF以DE为底，高最大，故面积最大，如下图，此时四边形AEGD的面积为两个等边三角形面积，即为，再连接对角线AC,BD,交于点P，连接GP，并延长，交于AB与点H，易得△EGH为等边三角形，所以GH=100．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，隐形圆问题，难度较大，解题关键在于掌握平行四边形的性质与隐形圆的特征．【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】1．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）  A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，∴点D、E、F分别是的中点，∴，∵的周长为21，∴即，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．2．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（    ）A． B． C．11 D．15【答案】D【分析】连接，，根据，，弧，弧的中点分别是、、、，得到，，从而得到H、I分别是、的中点，利用中位线定理即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，，∵，，弧，弧的中点分别是、、、，∴，，∴H、I分别是、的中点，∴∵，，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了中位线定理，垂径定理，解题的关键是正确的作出辅助线，根据垂径定理得到，．3．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．  【答案】3【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．【详解】解：∵过圆心O，∴，∵，∴，∴是的中位线，∴．故答案为3．【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键．4．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．（1）线段的长为 ．（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图：①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为 ；②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．【答案】 作出的平分线并延长交圆于点，连接，即为所求【分析】（1）根据网格的特征，利用勾股定理求解即可；（2）根据格点的特征及勾股定理确定四边形外接圆的圆心，从而求解半径；（3）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可．【详解】（1）根据网格的特征，线段故答案为：．（2）根据格点的特征，四边形外接圆的圆心位于格点O的位置，连接，，，，由题意可得故答案为：．（3）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可，由格点特征可得四边形为平行四边形，则有点为中点，即为的中位线点为中点∴点是的中点∴∴即为所求，故答案为：取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可.【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用网格的结构特点构造平行四边形和中位线．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．  (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得于，于．（2）根据图形得出结论（3）选择图①，过作于．由垂径定理知．进而得出 ，则．【详解】（1）解：如图所示，在图①中、延长线交于外一点；在图②中、交于内一点；在图③中．  （2）在三个图形中均有结论：线段．（3）证明：如图①，过作于．由垂径定理知．于，于，，∴，为直径，，，．【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.6．（2023春·全国·九年级专题练习）在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．  (1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；(2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据旋平点的定义，找到点，即可；（2）当线段轴时，存在点关于线段的“旋平点”，即“旋平点”与点在轴方向的距离最长，，以点为圆心，为半径画圆；以点为圆心，为半径画圆，分别以直线，作点的对称点和，根据对称的性质，即可求出的取值范围．【详解】（1）设，，且，∵点、在线段上，且，，，∴，，，∴，∴，∵点与点关于点对称，∴，，∴，∴的取值范围为：．    （2）如图：当线段轴时，存在点关于线段的“旋平点”即“旋平点”与点在轴方向的距离最长，∴，以点为圆心，为半径画圆；以点为圆心，为半径画圆，∴直线与半径为的圆交点，直线与半径为的圆交点，分别以直线，作点的对称点和，∵点，∴，，∴．  【点睛】本题考查新定义圆和对称的知识，解题的关键是理解旋平点的定义，根据定义，进行解题．【经典例题五 垂径定理的推论】【例5】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（    ）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【分析】由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD= A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE= A′B，进而可求解CE的长．【详解】解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，∵，点D是AB的中点，∴CD=AD=BD= A′D=AB，∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，∴AE= A′E，又AD=BD，∴DE是△AB A′的中位线，∴DE= A′B，∵，，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（    ）．A．48 B．45 C．42 D．40【答案】A【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．【详解】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，在Rt△ABD中，BD=，∵×AH×BD=×AD×AB，∴AH==36，∵⊙O的半径为26，∴点O在AH上时，OH最短，∵HM=，∴此时HM有最大值，最大值为：24，∵OH⊥MN，∴MN=2MH，∴MN的最大值为2×24=48．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．2．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是 ．【答案】【分析】先设的三边长为，，，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出，，，的关系，用含的式子表示和，即可求出比值．【详解】如图：取的中点为，取的中点为，连接，，，设，，则①取的中点为，是直角三角形圆心在和的垂直平分线上为圆心连接，，则，为半径的中点为，的中点为，在和中，由勾股定理得：②由①②得，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即斜边的中点为圆的圆心，解题关键在于找到圆心，用用含的式子表示和．3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图， 是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ．【答案】【分析】先利用垂径定理及其推论得到四点共线，四点共线，再利用三角形中位线定理等知识对线段之间的关系进行转化，即可求解．【详解】解：连接和，与和的交点分别记为点和点，∵弧，弧的中点分别是，∴垂直平分，垂直平分，∴点和点分别是和的中点，∴，，∵分别是为直径作半圆弧的中点，∴，，∴四点共线，四点共线，∴，，∴，∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的推论、三角形的中位线定义与定理等知识，解题关键是得到四点共线，四点共线，然后利用线段的和差关系求解．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．【答案】（1）⊙O的半径为；（2）OE【分析】(1)过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH=CH=3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH=4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；(2)作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH=EF，利用面积法得到，所以EHAH，然后利用（1）得OH,从而计算EH-OH得到OE的长．【详解】解：（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝CHBC＝3，即AH垂直平分BC，∴点O在AH上，在Rt△ABH中，AH4，连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，即⊙O的半径为；（2）作EF⊥AB于F，如图②∵BD平分∠ABC，∴EH＝EF，∵S△ABEBH•AEAB•EF，∴，∴EHAH4，由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，∴OE=EH-OH．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点和等腰三角形的性质是解题的关键．5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．【答案】(1)3；(2)y=；(3)△ODG能成为等腰三角形，r=2【分析】(1)证OF为梯形ABCD的中位线，得出r=OF=(AD+BC)=3即可；(2)联结OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM=BC﹣BM=4，由勾股定理得出DC=2，由四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；(3)证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG=3，DG=CD=，由勾股定理得OD=，分三种情况，分别求解即可．【详解】解：(1)∵OF∥BC，OA=OB，∴OF为梯形ABCD的中位线，∴OF=(AD+BC)=(1+5)=3，即⊙O的半径长为3；(2)联结OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC，∴四边形ABMD为矩形，则BM=AD=1，∴CM=BC﹣BM=4，∴DC=，∵四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴(1+5)×2r=×2×y+r×1+r×5，整理得：y=；(3)△ODG能成为等腰三角形，理由如下：∵点G为DC的中点，OA=OB，∴OG是梯形ABCD的中位线，∴OG∥AD，OG=(AD+BC)=(1+5)=3，DG=CD=，由勾股定理得：OD=，分三种情况：①DG=DO时，则，无解；②OD=OG时，如图2所示：，解得：；③GD=GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：∠GOD=∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO=∠GOD，∴∠ADO=∠GDO，∴DO是∠ADG的平分线，由题意知：OA⊥AD，又OH⊥CD， ∴OA=OH，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r=．【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．【经典例题六 垂径定理的实际应用】【例6】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，，是半径，且，，在中，，，解得：，故选B  【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．【变式训练】1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．下面的说法正确的是（    ）A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．两人都不对 D．两人都对【答案】D【分析】甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，根据图形可知：，，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，根据图形可知：，，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答．【详解】甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，根据图形可知：，，∵，∴，设圆O的半径为r，∴，在中，有：，∴，解方程即可求出r，即甲的说法正确；乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，根据图形可知：，，设圆O的半径为r，同理可得：，解方程即可求出r，即乙的说法正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分．【答案】 相交 1【分析】首先根据海平面与圆有两个交点可判断出直线与圆的位置关系，然后连接，过点O作于D，由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．【详解】解：∵海平面与圆有两个交点∴现在“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；设“图上”圆的圆心为O，连接，过点O作于D，如图所示：∵厘米，∴（厘米），∵厘米，∴（厘米），∴海平线以下部分的高度（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为8分钟，∴“图上”太阳升起的速度（厘米/分），故答案为：相交，1．【点睛】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．（2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线上的点在圆心的正下方，筷子与右下方交于，两点，线段，分别垂直于点，．测得，，则圆盘的半径为 ．【答案】【分析】连接，过点作于点，交于点，易证四边形、是矩形，从而得出，，，设，则可求，，根据勾股定理建立关于的方程，即可求出的值，最后在中根据勾股定理即可求出半径．【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点，，∵线段，分别垂直于点，∴，∴，∵水平线上的点在圆心的正下方，∴，∴四边形、都是矩形，∴，，，  ∵，，∴，，设，则，，在中，，在中，，又∵，∴，∴，∴，∴，即圆盘的半径为．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理建立关于的方程是解题的关键．4．（2022秋·广西河池·九年级统考期末）将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上．(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；(2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径．【答案】(1)作图见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理的推论，分别作弦和的垂直平分线，两垂直平分线交点即为所求；（2）连接，，利用垂径定理推论和勾股定理可求出圆片的半径．【详解】（1）解：如图，分别作垂直平分、垂直平分，交于点，∴和都经过弧所在圆的圆心，∴点为该轮子的圆心．则点即为所作．（2）如图，连接交于，连接，∵点是的中点，，∴，，∵点到的距离是，轮子的半径，∴，∵，，在中，，∴，解得：，∴轮子的半径为．【点睛】本题考查垂径定理的推论，可以把垂径定理的题设和结论叙述为：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．掌握垂径定理的推论是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）        问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）【答案】(1)；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解．【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转，当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，∵，∴；（2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，  在中，，，∴，，在中，，，∴，∴(米)，答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【经典例题七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】【例7】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）  A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．【详解】解：A、∵点A是中点，∴，∴，无法得出，故选项A错误；B、如图：连接，∵，∴，∵，∴，∴，故此选项正确；C、∵，∴，故选项C错误；D、无法得出，故选项D错误．故选：B．  【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．【变式训练】1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案．【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图，∵C为折叠后的中点，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，在中，,∴，∵沿折叠得到，，∴点C和点D关于对称，∴，∴，故选C【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D（1）＝ ；（2）当点D恰好为的中点时，＝ ．【答案】 60° 【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以； （2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案．【详解】解：（1）,，，，，为圆O的直径，，；故答案为：；（2）设，∵点D恰好为的中点，，在中，，，在中，根据勾股定理得，，即，解得（舍去），∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ．【答案】75°/75度【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，再根据正方形的性质求得∠O1FE=45°，计算角的差即可解答；【详解】解：如图，连接OA，OF，OE，∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°，由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°，∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°，∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°，∵O1是正方形的中心，∴∠O1FE=45°，∴∠AFO1=∠AFE-∠O1FE=75°，故答案为：75°；【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌握相关性质是解题关键．4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D，(1)__________；(2)当点D恰好为的中点时，__________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以； （2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案．【详解】（1）解：∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴； 故答案为：60°；（2）解：设， ∵点D恰好为的中点， ∴， 在中，， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∵圆O半径为，则，∴， 解得（舍去 ）， ∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．我们由定理可以进一步得出结论：，，．定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．探究问题：如图，在和中，，，，连接交于点，交于点，连接．(1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度；(3)若，求证．【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解【分析】（1）根据题意，证明即可求证；（2）由（1）可知，在，中即可求解；根据定理一，可知四点共圆，由此即可求解；（3）根据定理二，如图所示（见详解），，证明是等腰三角形，即可求证．【详解】（1）证明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）解：由（1）可知，，∴，在，，∴在中，，∴；∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示，∵，，∴是等腰直角三角形，即，∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，．（3）解：如图所示，取的中点，连接，由（2）可知，，，∴在中，点是的中点，∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且，∵是外角，∴，在中，，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴．【点睛】本题主要考查圆、直角三角形、等腰三角形的综合，掌握圆的基础知识，定理一，定理二，等腰三角形的性质是解题的关键．【经典例题八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【详解】解：如图，连接．，，，点D是弧的中点，，，，，设,在中，则有，解得，，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（    ）A．当时， B．C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形【答案】C【分析】根据尺规作图可知所作的平分，据此结合等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质、垂直平分线的判定即可作答．【详解】根据尺规作图可知所作的平分，，∴，A项，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∵平分，∴，∴在中，，即有，∵，∴，故该项正确，不符合题意；B项，∵，∴，故该项正确，不符合题意；D项，连接、，∵是等腰三角形，平分，∴垂直平分，∴， ∴是等腰三角形，故该项正确，不符合题意；C项，根据图形只能证明垂直平分，不能证明垂直平分，故该项不正确，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，同圆中相等的圆心角所对应的弧也相等等知识，掌握等腰三角形的判定，是解答本题的关键．2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论①；②；③若四边形是正方形，则；④若为弧的中点，则为中点．所有正确结论的序号是 ．【答案】①②④【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．【详解】解：连接、，如图， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ， 故③错误， 若是的中点，连接，而 ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．  (1)连接，判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求圆O的半径；【答案】(1)，证明见详解(2)5【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．【详解】（1）解：，理由如下：延长交于点，连接，  ，，；（2）解：由（1）中结论，，，，设的半径为，则，在中，，即，解得：，即的半径为5．  【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图2，在上截取，连接，，和是弧的中点，∴，……(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.(3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可证明结论；（2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论；（3）过点作，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，．在和中，，，又，，．（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为故答案为：．（3）解：如图所示，过点作，由阿基米德折弦定理得：，∵∴∴，∴的周长为【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”是解答本题的关键． 条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆 条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆