2025届广西省北海市九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2025届广西省北海市九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）用反证法证明“若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( )
A．a 不垂直于 cB．a垂直于bC．a、b 都不垂直于 cD．a 与 b 相交
2、（4分）边长为3cm的菱形的周长是( )
A．15cmB．12cmC．9cmD．3cm
3、（4分）用配方法解方程配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后，若，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）不等式-2x＞1的解集是（ ）
A．x＜-B．x＜-2C．x＞-D．x＞-2
6、（4分）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了武汉的冬季某天气温随时间的变化而变化的情况，下列说法错误的是（ ）
A．这一天凌晨4时气温最低
B．这一天14时气温最高
C．从4时至14时气温呈上升状态（即气温随时间增长而上升）
D．这一天气温呈先上升后下降的趋势
7、（4分）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
8、（4分）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区 户家庭一周的使用数量，结果如下（单位：个）：，，，，，，，，，．关于这组数据，下列结论错误的是( )
A．极差是 B．众数是 C．中位数是 D．平均数是
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若分式的值为0，则的值为________．
10、（4分）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
11、（4分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝10cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为_____cm．
12、（4分）函数 yl=" x" ( x ≥0 ) ,（ x > 0 ）的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ②当 x > 3时，③当 x ＝1时， BC = 8
④当 x 逐渐增大时， yl随着 x 的增大而增大，y2随着 x 的增大而减小．其中正确结论的序号是＿ .
13、（4分）如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F。
求证:DE=BF
15、（8分）某校八年级甲，乙两班各有名学生，为了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查.从这两个班各随机抽取名学生进行身体素质测试，测试成绩如下：
甲班
乙班
整理上面数据，得到如下统计表：
样本数据的平均数、众数.中位数如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求表中的值
（2）表中的值为（ ）
（3）若规定测试成绩在分以上（含分）的学生身体素质为优秀，请估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生的人数.
16、（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
17、（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
18、（10分）淮安日报社为了了解市民“获取新闻的主要途径”，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如图三种不完整的统计图表．
请根据图表信息解答下列问题：
（1）统计表中的m＝ ，n＝ ；
（2）并请补全条形统计图；
（3）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑上网”和“手机上网”作为“获取新闻的主要途径”的总人数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在第_______象限 .
20、（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b|+＝______．
21、（4分）在矩形中，，点是的中点，将沿折叠后得到，点的对应点为点.（1）若点恰好落在边上，则______,（2）延长交直线于点，已知，则______．
22、（4分）若不等式组的解集是，则m的值是________.
23、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，过矩形ABCD的对角线交点O作直线分别交CD、AB于点E、F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DE=______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，点D是正方形OABC的边AB上的动点，OC＝1．以AD为一边在AB的右侧作正方形ADEF，连结BF交DE于P点．
（1）请直接写出点A、B的坐标；
（2）在点D的运动过程中，OD与BF是否存在特殊的位置关系？若存在，试写出OD与BF的位置关系，并证明；若不存在，请说明理由．
（3）当P点为线段DE的三等分点时，试求出AF的长度．
26、（12分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AGBD交CB的延长线于点G．
（1）求证：DEBF；
（2）当∠G为何值时？四边形DEBF是菱形，请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答．
【详解】
解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
应假设：a不平行b或a与b相交．
故选择：D．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2、B
【解析】
由菱形的四条边长相等可求解．
【详解】
解：∵菱形的边长为3cm
∴这个菱形的周长=4×3=12cm
故选：B．
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
3、A
【解析】
本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【详解】
解：，
，
∴，
．
故选：．
此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4、B
【解析】
试题分析：利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与坐标轴交点坐标，进而利用图象判断y＞0时，x的取值范围． ∵将一次函数y=x的图象向上平移2个单位，
∴平移后解析式为：y=x+2， 当y=0时，x=﹣4， 当x=0时，y=2， 如图： ∴y＞0，
则x的取值范围是：x＞﹣4，
考点：一次函数图象与几何变换．
5、A
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤系数化为1可得．
【详解】
解：两边都除以-2，得：x＜-，
故选：A．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
6、D
【解析】
根据气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
【详解】
解：A．这一天凌晨4时气温最低为-3℃，故本选项正确；
B．这一天14时气温最高为8℃，故本选项正确；
C．从4时至14时气温呈上升状态，故本选项正确；
D．这一天气温呈先下降，再上升，最后下降的趋势，故本选项错误；
故选：D．
本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．
7、B
【解析】
试题分析：∵DE=BF，∴DF=BE。
∵在Rt△DCF和Rt△BAE中，CD=AB，DF=BE，∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）。
∴FC=EA。故①正确。
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC。
∵FC=EA，∴四边形CFAE是平行四边形。
∴EO=FO。故②正确。
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF=∠ABE。∴CD∥AB。
∵CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形。故③正确。
由上可得：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE等。故④图中共有6对全等三角形错误。
故正确的有3个。故选B。
8、B
【解析】
试题分析：根据极差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断：
A、极差=14﹣7=7，结论正确，故本选项错误；
B、众数为7，结论错误，故本选项正确；
C、中位数为8.5，结论正确，故本选项错误；
D、平均数是8，结论正确，故本选项错误．
故选B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
由分式的值为0时，分母不能为0，分子为0，可得2x-4=0，x+1≠0，解得x=2，
故选C.
10、1或1或1
【解析】
本题根据题意分三种情况进行分类求解，结合三角函数，等边三角形的性质即可解题.
【详解】
试题分析：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴；
当∠ABP=90°时（如图1），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴，
在直角三角形ABP中，
，
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=1，
故答案为或或1．
考点：勾股定理．
11、40或．
【解析】
利用30°角直角三角形的性质，首先根据勾股定理求出DE的长，再分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】
如图1中，
，，，
，，设，
在中，，
，
，
如图2中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，此时周长．
如图中，当时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，此时周长
综上所述，满足条件的平行四边形的周长为或，
故答案为为或．
本题考查翻折变换、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12、①③④
【解析】
逐项分析求解后利用排除法求解．①可列方程组求出交点A的坐标加以论证．②由图象分析论证．③根据已知先确定B、C点的坐标再求出BC．④由已知和函数图象分析．
解：①根据题意列解方程组，
解得，；
∴这两个函数在第一象限内的交点A的坐标为（3，3），正确；
②当x＞3时，y1在y2的上方，故y1＞y2，错误；
③当x=1时，y1=1，y2==9，即点C的坐标为（1，1），点B的坐标为（1，9），所以BC=9-1=8，正确；
④由于y1=x（x≥0）的图象自左向右呈上升趋势，故y1随x的增大而增大，
y2=（x＞0）的图象自左向右呈下降趋势，故y2随x的增大而减小，正确．
因此①③④正确，②错误．
故答案为①③④．
本题考查了一次函数和反比例函数图象的性质．解决此类问题的关键是由已知和函数图象求出正确答案加以论证．
13、
【解析】
连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．
【详解】
连接BF，
∵BC=6,点E为BC的中点,
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴
∴
则
∵FE=BE=EC，
∴
∴
故答案为
考查翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置不变，对应边和对应角相等是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、详见解析
【解析】
根据平行线的性质，利用全等三角形的判定定理（AAS）和性质，可得出结论.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∴∠DAE=∠CBF，
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEA=∠BFC=90°，
在△AED和△BFC中，
，
∴△AED≌△BFC，
∴BF=DE．
考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的性质与判定,解题关键是灵活运用其性质．
15、（1）72；（2）70；（3）20.
【解析】
(1) 利用平均数的公式，可以求出平均数m;
(2)由众数的概念可得乙班的众数n的值是70；
（3）用总人数乘以后两组数的频率之和即可得出答案.
【详解】
（1）
的值为．
（2）整理乙班数据可知70出现的次数最多，为三次，则乙班的众数n=
（3）（人）
答：乙班名学生中身体素质为优秀的学生约为人．
此题考查了频率分布直方图、频率分布表、平均数、众数，关键是读懂频数分布直方图和统计表，能获取有关信息，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
16、（1）、证明过程见解析；（2）、60°.
【解析】
试题分析：根据正方形的性质得出AD∥BF，结合AE=CF可得四边形ACFE是平行四边形，从而得出EF∥AC；连接BG，根据EF∥AC可得∠F=∠ACB=45°，根据∠GCF=90°可得∠CGF=∠F=45°可得CG=CF，根据AE=CF可得AE=CG，从而得出△BAE≌△BCG，即BE=EG，得出△BEG为等边三角形，得出∠BEF的度数.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AD∥BF ∵AE="CF" ∴四边形ACFE是平行四边形 ∴EF∥AC
（2）连接BG ∵EF∥AC， ∴∠F=∠ACB=45°，
∵∠GCF=90°， ∴∠CGF=∠F=45°， ∴CG=CF，
∵AE=CF， ∴AE=CG， ∴△BAE≌△BCG（SAS）
∴BE=BG， ∵BE=EG， ∴△BEG是等边三角形，
∴∠BEF=60°
考点：平行四边形的判定、矩形的性质、三角形全等的应用.
17、（1）BD=CD．理由见解析；（2）AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由见解析
【解析】
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
【详解】
（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形．
考点：1.矩形的判定；2.全等三角形的判定与性质．
18、（1）m=400，n=100；（2）见解析；（3）54.4万人；
【解析】
（1）先根据样本中看电视获取新闻的人数与占比求出此次调查的总人数，再根据B组别的占比即可求出人数m，再用用人数将去各组别即可求出n；
（2）根据数据即可补全统计图；
（3）求出样本中“电脑上网”和“手机上网”作为“获取新闻的主要途径”的占比，再乘以该市总人数即可.
【详解】
（1）此次调查的总人数为140÷14%=1000（人），
∴m=1000×40%=400，
n=1000-280-400-140-80=100；
（2）补全统计图如下：
（3）该市将“电脑上网”和“手机上网”作为“获取新闻的主要途径”的人数约为
80×=54.4（万人）
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、四
【解析】
根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果．
【详解】
解：直线y=2x+3过一、二、三象限；
当m＞0时，直线y=-x+m过一、二、四象限，
两直线交点可能在一或二象限；
当m＜0时，直线y=-x+m过二、三、四象限，
两直线交点可能在二或三象限；
综上所述，直线y=2x+3与直线y=-x+m的交点不可能在第四象限，
故答案为四．
本题主要考查了两直线相交问题，熟记一次函数图象与系数的关系是解答此题的关键．
20、﹣a
【解析】
根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，再根据有理数的加法法则和二次根式的性质，把原式进行化简即可．
【详解】
解：由数轴可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
则a+b＜0，
∴原式＝b+|a+b|=b﹣（a+b）
＝b﹣a﹣b
＝﹣a，
故答案为﹣a．
本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质，以及有理数的加法法则，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系及绝对值性质是解答此题的关键．
21、6 或
【解析】
（1）由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，由平行线的性质得出，推出，得出，即可得出结果；
（2）①当点在矩形内时，连接，由折叠的性质得出，，，由矩形的性质和是的中点，得出，，，由证得，得出，由，得出，，，由勾股定理即可求出；
②当点在矩形外时，连接，由折叠的性质得出，，，由矩形的性质和是的中点，得出，，，由证得，得出，由，得出，由勾股定理得出：，即，即可求出．
【详解】
解：（1）四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，如图1所示：
，
，
，
，
是的中点，
，
，
（2）①当点在矩形内时，连接，如图2所示：
由折叠的性质可知，，，，
四边形是矩形，是的中点，
，，，
在和中，，
，
，
，
，，，
；
②当点在矩形外时，连接，如图3所示：
由折叠的性质可知，，，，
四边形是矩形，是的中点，
，，，
在和中，，
，
，
，
，
，
即：，
，
解得：，（不合题意舍去），
综上所述，或，
故答案为（1）6；（2）或．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质、证明三角形全等并运用勾股定理得出方程是解题的关键．
22、2
【解析】
分别求出每个不等式的解集，取共同部分，即可得到m的值.
【详解】
解：，解得：，
∵不等式组的解集为：，
∴;
故答案为：2.
本题考查了由不等式组的解集求参数，解题的关键是根据不等式组的解集求参数.
23、或1
【解析】
连接AC，如图1所示：由矩形的性质得到∠D=90°，AD=BC=4，OA=OC，AB∥DC，求得∠OAF=∠OCE，根据全等三角形的性质得到AF=CE，若△AEF是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE=AF时，如图1所示：设AE=AF=CE=x，则DE=6-x，根据勾股定理即可得到结论；
②当AE=EF时，作EG⊥AF于G，如图1所示：设AF=CE=x，则DE=6-x，AG=x，列方程即可得到结论；
③当AF=FE时，作FH⊥CD于H，如图3所示：设AF=FE=CE=x，则BF=6-x，则CH=BF=6-x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=4，OA=OC，AB∥DC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
若△AEF是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE=AF时，如图1所示：
设AE=AF=CE=x，则DE=6-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：41+（6-x）1=x1，
解得：x=，即DE=；
②当AE=EF时，
作EG⊥AF于G，如图1所示：
则AG=AE=DE，
设AF=CE=x，则DE=6-x，AG=x，
∴x=6-x，解得：x=4，
∴DE=1；
③当AF=FE时，作FH⊥CD于H，如图3所示：
设AF=FE=CE=x，则BF=6-x，则CH=BF=6-x，
∴EH=CE-CH=x-（6-x）=1x-6，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：41+（1x-6）1=x1，
整理得：3x1-14x+51=0，
∵△=（-14）1-4×3×51＜0，
∴此方程无解；
综上所述：△AEF是等腰三角形，则DE为或1；
故答案为：或1．
此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，根据勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）x1＝﹣3，x2＝3；（2）x1＝0，x2＝﹣2；（3），；（4）x＝﹣1
【解析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用配方法解方程；
（4）去分母得到2（2x+1）＝3（x﹣1），然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．
【详解】
解：（1）（x+3）（x﹣3）＝0，
x+3＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝3；
（2）x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2；
（3）x2﹣6x+9＝8，
（x﹣3）2＝8，
x﹣3＝±2，
所以，；
（4）两边同时乘以（x﹣1）（2x+1），得
2（2x+1）＝3（x﹣1），
解得x＝﹣1，
经检验，原方程的解为x＝﹣1．
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程．
25、（1）A（1，0），B（1，1）；（2）OD⊥BF，理由见解析；（3）当P点为线段DE的三等分点时，AF的长度为2或2．
【解析】
（1）利用正方形的性质得出OA=AB=1，即可得出结论；
（2）利用SAS判断出△AOD≌△BAF，进而得出∠AOD=∠BAF，即可得出结论；
（3）先表示出BD，DP，再判断出△BDP∽△BAF，得出，代入解方程即可得出结论。
【详解】
（1）∵四边形OABC是正方形，
∴BC⊥OC，AB⊥OA，OB＝AB＝BC＝OC，
∵OC＝1，
∴BC＝AB＝1，
∴A（1，0），B（1，1）；
（2）OD⊥BF，理由：如图，延长OD交BF于G，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠BAF＝∠OAD，
在△AOD和△BAF中， ，
∴△AOD≌△BAF（SAS），
∴∠AOD＝∠BAF，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠AOD+AFB＝90°，
∴∠OGF＝90°，
∴OD⊥BF；
（3）设正方形ADEF的边长为x，
∴AF＝AD＝DE＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝1﹣x，
∵点P是DE的三等分点，
∴DP＝AF＝x或DP＝AF＝x
∵DE∥AF，
∴△BDP∽△BAF，
∴，
∴或 ，
∴x＝2或x＝2，
当P点为线段DE的三等分点时，AF的长度为2或2．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的
26、（1）详见解析；（2）当∠G=90°时，四边形DEBF是菱形，理由详见解析
【解析】
（1）根据已知条件证明DFBE，DF=BE，从而得出四边形DEBF为平行四边形，即可证明DEBF；
（2）当∠G=90°时，四边形DEBF是菱形．先证明BF=DC＝DF，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
【详解】
证明：(1)在□ABCD中，ABCD，AB=CD ，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=DC，BE=AB，
∴DFBE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DEBF
（2）当∠G=90°时，四边形DEBF是菱形．
理由：∵ AGBD ，
∴ ∠DBC=∠G=90°，
∴ 为直角三角形，
又∵F为边CD的中点，
∴BF=DC＝DF
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF为菱形
本题考查了平行四边形的综合问题，掌握平行四边形的性质、菱形的性质是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分