第一次月考卷（徐州专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用）

这是一份第一次月考卷（徐州专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用），共24页。试卷主要包含了考试范围，正五边形的一个中心角等于度，关于x的方程的一个根为3，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分140分，考试时间120分钟，试题共26题。答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．考试范围：九年级数学上册第1-2章（苏科版）
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．若一元二次方程（k-1）x2+3x+ k2-1=0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k=0B．k=1C．k=-1D．k=1或k=-1
2．一元二次方程x2-4x+3=0配方后变形为（ ）
A．（x-4）2=1 B．（x-2）2=1 C．（x+4）2=1 D．（x+2）2=1
3．下列说法正确的个数有（ ）
①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆；
A．1B．2C．3D．4
4．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45B．50C．55D．60
5．如图，，是的两条弦，且，点，分别在，上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交AB于G，则长为（ ）
A．7B．C．D．
二、填空题（10小题，每小题3分，共30分）
9．正五边形的一个中心角等于度．
10．关于x的方程的一个根为3，则．
11．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为．
12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．
13．在中，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为．
14．如图，是的切线，切点为，连接交于点，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为．
15．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为．
16．已知实数x、y（）满足，，则的值等于．
17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为．
18．如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为．
三、解答题（8小题，共86分）
19．解下列方程：
（1）；（2）．
20．如图，中，弦，相交于点，．
（1）比较与的长度，并证明你的结论；
（2）求证：．
21．某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元．
（1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）：
（2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？
22．如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
23．关于的一元二次方程．
（1）如果方程有实数根，求的取值范围；
（2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值．
24．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为，的半径为，求的长．
25．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
26．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．
（1）当 时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为；
（2）当为何值时，直线与半圆所在的圆相切；
（3）当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积．
参考答案
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，以及一元二次方程的定义，把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+ k2-1=0，求出k值，然后再根据一元二次方程的定义选择合适的k值即可．
【详解】解：把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+ k2-1=0，
得k2-1=0，解得k=-1或1；
又k-1≠0，即k≠1；所以k=-1．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
即．
故选：B
3．B
【分析】本题考查的是圆的基本性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键．
由圆心角，弧，弦之间的关系可判断①，由三角形的外心的性质可判断②，由圆的对称轴是直线可判断③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，从而可得答案．
【详解】解：①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意；
②由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意；
③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意；
④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
5．B
【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角或弧的度数的一半．
根据圆内接四边形对角互补求得的度数，即可求得的度数，进而求得的度数，的度数，则的度数即可求解．
【详解】解：在圆内接四边形中，，
则所对的圆心角度数是，
又∵，
∴所对的圆心角的度数=所对的圆心角的度数，
∴所对的圆心角的度数是，
∴．
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理，先根据正方形的性质，得出，，，根据勾股定理求出，得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
7．A
【分析】连接，由切线的性质，可以证明，由平行线的性质、等腰三角形的性质，得到，由，求出的度数，即可得除答案．
【详解】解：连接，
∵与相切于点C，
∴半径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，关键是由条件证明．
8．B
【分析】连结，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案．
【详解】连结，
∵与分别相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点都在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：B．
【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（10小题，每小题3分，共30分）
9．72
【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．
【详解】解：正十边形的中心角为：．
故答案为：
10．-1
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．/28度
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明是直角三角形是解决问题的关键．由根的判别式求出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得（舍去）
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴边上的中线长；
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了切线的性质、扇形面积以及圆的性质，根据切线的性质可以得到，由于，算出后即可求出面积．
【详解】解：是的切线，切点为，
，
，
是的直径
，
，
在中，
，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
15．42
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，过O作于F，连接，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，过圆心O，
∴，
∴
故答案为：．
16．24
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，观察题目中条件中的两个方程和目标式，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键．把方程变形为，可知x，是一元二次方程的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
x，是一元二次方程的两个不同的根，
，
，
故答案为：24．
17．
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
当时，解不等式得：，
∴；
当时，解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，作的外接圆，

∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵为等边三角形，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：；
三、解答题（8小题，共86分）
19．（1）；（2）．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）运用配方法解一元二次方程即可求解；
（2）运用因式分解法求一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∴或，
∴，．
20．（1）相等，理由见解析；（2）见解析
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到．
（2）由证明，即可推出．
【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下：
，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
21．（1）；（2）每套纪念品应定价50元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意即可得出结论；
（2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，平均每天的销售量为套，
故答案为：；
（2）解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：每套纪念品应定价50元．
22．（1）是的切线；见解析；（2）
【分析】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键．
（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解；
（2）根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
根据题意得，，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积．
23．（1）；（2）
【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键．
（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
解得：；
（2）∵，是这个方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
，
解得：．
24．（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键．
（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线；
（2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（1）①
（2）的值为18
（3）代数式的值为或
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用．
（1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”；
（2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18；
（3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可．
【详解】（1）的根为，，
，
是“倍根方程”；
的根为，，
，
不是“倍根方程”；
故答案为：①；
（2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和，
，
解得；
经检验，符合题意，
的值为18；
（3）由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
当时，；
当时，；
代数式的值为或．
26．（1）1，
（2）当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切
（3）或
【分析】（1）求出路程的长，即可以求时间，作到的距离，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可以得：；
（2）根据到的距离为，圆的半径为，所以与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切，秒；当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，在中，求出的长度，进行求解即可；
（3）有两种情况：①当半圆与边相切于时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；②当半圆与相切于时，如图4，连接，重叠部分的面积是扇形的面积的面积．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
当时，与所在直线第一次相切；
如图1，过作于，
中，
，，
，
故答案为：1，；
（2）如图2，过作于，
同理（1）得：，
当直线与半圆所在的圆相切时，
又圆心到的距离为6，半圆的半径为6，
且圆心又在直线上，
与重合，
即当点运动到点时，半圆与的边相切，
此时，点运动了，所求运动时间；
如图3，当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，
在中，，则，
即与半圆所在的圆相切，此时点运动了，
所求运动时间，
综上所述，当为4秒或16秒时，直线与半圆所在的圆相切；
（3）有两种情况：
①当半圆与边相切于时，如图2，
重叠部分的面积；
②当半圆与相切于时，如图4，连接，
，
与重合，与重合，
，
，
，
过作于，
，
，
由勾股定理得：，
，
此时重叠部分的面积；
综上所述，重叠部分的面积为或．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，含30度角的直角三角形的特征，分情况求解，准确作出辅助线是解答本题的关键．