第一次月考卷（扬州专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用）

这是一份第一次月考卷（扬州专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用），共25页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共28题。答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．考试范围：九年级数学上册第1-2章（苏科版）
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x-1=0 C．7x2-6=0 D．2x2-5y=0
2．（24-25九年级上·全国·单元测试）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024九年级上·全国·专题练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南安阳·二模）如图，圆O的弦的长度为，点A，B， C为圆周上三点，若，则圆O半径为（ ）

A．1B．2C．D．
6．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A．B．C．或D．或
7．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ）

A．1B．C．D．2
8．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交AB于G，则长为（ ）
A．7B．C．D．
二、填空题（10小题，每小题3分，共30分）
9．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为．
10．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为.
11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为．

12．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为．
13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．
14．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心．若，则．
15．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为（结果保留）．
16．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为
17．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：
若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有个．（填个数）
18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为．
三、解答题（10小题，共96分）
19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程：
（1）；（2）．
20．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中有，请在图中画出外接圆的圆心P．
（1）圆心P的坐标是________；
（2）判断点是否在上？
21．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．

（1）那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由．
（2）分别连接AB、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径．
22．（16-17九年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该一元二次方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
（2）若该一元二次方程有一个根为，求方程的另一个根．
24．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元．
（1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）：
（2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？
25．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，是弦，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
26．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值．
27．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的外接圆，，过点A作交于点D，连接，延长到点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
28．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为______．

月份
1
2
3
4
5
收入/万元
10

12
14

参考答案
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的定义包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，另外一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．x-1=0是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．7x2-6=0是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．2x2-5y=0是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设增长率为x，列方程为，
故选B．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了圆周角定理，以及勾股定理．熟练掌握定理是解题的关键．先利用圆周角定理求出所对应的圆心角的角度，再利用勾股定理求出半径的长度．
【详解】解：，
，
，
，
在中，
，
解得：或（舍）
故选：A．
6．C
【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可．
本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
整理，得，
解得或，
故选C．
7．A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，

∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴等边的面积为，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴等边三角形的边长为，
故选：A．
8．B
【分析】连结，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案．
【详解】连结，
∵与分别相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点都在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：B．
【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（10小题，每小题3分，共30分）
9．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得，，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为．
10．4046
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可．
【详解】解：是方程的根，
，
，
，
故答案为：4046．
11．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题的关键．
确定平行于墙的一边与★的关系即可求解．
【详解】解：由题意可得：平行于墙的一边为：，
由可得，★表示的为平行于墙的一边的长度，
即为：★表示的代数式为，
故答案为．
12．6或4
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论．
分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可．
【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6；
当点A在圆外时，的直径长为，半径为4；
即的半径长为6或4．
故答案为：6或4．
13．
【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得，
解得：
故答案为：．
14．/42度
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，如图，根据切线的性质得到，再利用圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键．
【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积
，
故答案为：．
16．
【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，
当，，当，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时即最小，
∴当时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．
17．3
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可．
【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确；
②若，则可知方程有一个根为，
则，故②正确；
③若方程的两个根是，
所以方程的两个根为，，故③正确；
④若c是方程的一个根，
则，
当时，则一定有成立，故④错误．
综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个．
故答案为：3．
18．
【分析】延长交的延长线于，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，设，则，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后根据直角三角形的外接圆的性质求解即可得．
【详解】解：如图，延长交的延长线于，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
设，则，
∵，，是的中点，
∴，，
∴，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
又∵，
∴的外接圆半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、一元二次方程的应用、三角形外接圆的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
三、解答题（10小题，共96分）
19．（1），；（2）
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程．
【详解】（1）解：，
原方程可变为：，
因式分解得：，
或，
所以，；
（2）解：，
移项得：，
，
配方得：，
开平方得：，
所以．
20．（1）作图见解析；
（2）点M不在上，在内
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
（1）作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后直接读出的外接圆的圆心坐标．
（2）先求出的值，根据点和圆的位置关系进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求；
所以点P的坐标为．
故答案为：．
（2）解：，
圆的半径，
∵，
∴点M在内，不在上．
21．（1）能，见解析；（2）
【分析】题考查作图——复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接AB，，并作AB，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以为半径作，即为所作；
（2）根据垂径定理可以求出，，然后解直角三角形求出长即可．
【详解】（1）如图所示，圆O为所求圆．

（2）连接，，于点D，

∵是等边三角形，
∴弧等于圆周长的三分之一，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
22．（1）长和宽分别为18米，10米
（2）不能达到200m2，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键．
（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可；
（2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可．
【详解】（1）解：设，则；
根据题意列方程，得：
，
解得；
当时，（米），
当时，（米），不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米；
（2）根据题意列方程得，
，
整理得出：；
，
故此方程没有实数根，
答：满足条件的花园面积不能达到．
23．（1）；（2）
【分析】本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的根与系数关系．
（1）根据题意可得根的判别式，列出不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得，把代入，求出方程的另一个根．
【详解】（1）解：根据题意得，，
解得，；
（2）解：设是一元二次方程的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可知，，
∵，
∴．
即一元二次方程的另一个根为
24．（1）；（2）每套纪念品应定价50元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意即可得出结论；
（2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，平均每天的销售量为套，
故答案为：；
（2）解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：每套纪念品应定价50元．
25．（1）证明见解析；（2）
【分析】本题考查圆的相关知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，垂径定理，扇形的面积公式，进行计算，即可．
（1）根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，再根据等边对等角，则，进行等量代换，即可；
（2）根据题意，则，根据同弧或者等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，则，根据三角形的内角和，则，设，则，根据勾股定理求出，再根据阴影部分的面积等于扇形面积减去，即可．
【详解】（1）∵所对的圆周角为，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵是的直径，是弦，于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴阴影部分面积为：．
26．（1）证明见解析；（2），，，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．
（1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，
∵，
∴方程都有两个不相等的实数根，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴也为整数，
∵m为整数，
∴或，
∴整数m所有可能的值为，，，．
27．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，设与相交于点F，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，，
∴，，
∵，过圆心，
∴，
∴，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
28．（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可；
（2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可；
（3）连接，，作于，的延长线交于．关于的方程是“勾系一元二次方程”，则，再结合勾股定理，证明出，得出，从而得出，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】（1）解：方程是“勾系一元二次方程”，理由如下：
，
由题意知：，
满足且，
故方程是“勾系一元二次方程”；
（2）证明：是“勾系一元二次方程”，
，
，
必有实数根；
（3）解：连接，，作于，的延长线交于．

关于的方程是“勾系一元二次方程”，
，
，，
，
，
，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．