2023-2024学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷，共26页。

A．B．C．2D．
2．（4分）已知向量，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知函数满足，则等于（ ）
A．3B．C．0D．﹣3
4．（4分）已知平面α与平面β间的距离为3，定点A∈α，设集合S＝{B∈β|AB＝5}，则S表示的曲线的长度为（ ）
A．6πB．8πC．10πD．12π
5．（4分）已知函数f（x）＝ln（x+1），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）已知直线l恒过点（0，5），圆C：（x﹣3）2+y2＝9，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（4分）在△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣10n（n＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ）
A．a5＞0
B．数列{an}是单调递减数列
C．数列{an}前n项的乘积有最大值
D．数列{an}前n项的乘积有最小值
9．（4分）已知椭圆C：分别为左右焦点，P为椭圆上一点，满足cs∠F1PF2＝，则|OP|的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）
A．存在点E，EF∥平面ABB1A1
B．对任意点E，EF⊥DB1
C．存在点E，使得EF与BD所成的角是60°
D．不存在点E，使得EF与平面AA1C1C所成的角是30°
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知点F1，F2是椭圆的两个焦点，横坐标为4的点M在椭圆C上，则△F1MF2的周长为 ．
12．（5分）古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S﹣ABCD，如图2所示，其侧面SAD是边长为的等边三角形，AB＝1cm，且平面SAD⊥底面ABCD，则该四棱锥的体积为 cm3．
13．（5分）过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2＝4所截得的弦长为 ．
14．（5分）已知点（2，1）在函数的图像上，且f（x）有最小值，则常数a的一个取值为 ．
15．（5分）已知函数的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M是函数图象上的任意一点，过点M分别作直线l：y＝x和y轴的垂线，垂足分别为A，B．其中O为坐标原点．给出下列四个结论：
①k＝1；
②不存在点M，使得|MA|＝2023；
③|MA|•|MB|的值恒为；
④四边形OAMB面积的最小值为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程．
16．（14分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
17．（14分）已知直线l：x﹣ay﹣2＝0，圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2．
（1）若a＞1，求证：直线l与圆C相交；
（2）已知直线l与圆C相交于A，B两点．若△ABC的面积为1，求a的值．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB，PA＝AB＝1，AD＝2，E，F分别是BC，PA的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD与平面PAB夹角的余弦值．
条件①：平面PAB⊥平面ABCD；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．（14分）已知椭圆的短轴长为4，离心率为．直线l：x＝ty+2与椭圆交于P，Q两点，点A（3，2）不在直线l上，直线PA与x＝4交于点B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求直线QB的斜率．
20．（14分）已知函数f（x）＝ax+，曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+3﹣2ln2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（3）求函数f（x）的零点的个数．
21．（15分）设k，m是正整数，如果存在非负整数a1，a2，⋯，ak，c1，c2，⋯，ck使得，则称m是k﹣好数，否则称m是k﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数．
（1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；
（2）若m是偶数且是k﹣好数，求证：m是（k+1）﹣好数，且是k﹣好数；
（3）求最少的2023﹣坏数．
2023-2024学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）在复平面内，复数，则|z|等于（ ）
A．B．C．2D．
【分析】先根据复数的除法运算求复数z，再结合复数的模长公式运算求解．
【解答】解：由题意可得：，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2．（4分）已知向量，则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知先求出，然后利用求解即可．
【解答】解：因为，
所以，
则．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数量积与夹角，属于基础题．
3．（4分）已知函数满足，则等于（ ）
A．3B．C．0D．﹣3
【分析】根据三角函数的性质解方程得到，然后代入求即可．
【解答】解：因为，所以，整理得，
所以，解得，
因为，所以，，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4．（4分）已知平面α与平面β间的距离为3，定点A∈α，设集合S＝{B∈β|AB＝5}，则S表示的曲线的长度为（ ）
A．6πB．8πC．10πD．12π
【分析】根据题意结合球的定义和性质分析求解．
【解答】解：在空间中，集合T＝{B|AB＝5}表示以点A为球心，半径R＝5的球面，
记M＝{B|B∈β}表示平面β，可知S＝M∩T，
所以S表示：球A与平面β所截得的圆周，设其圆心为O，半径为r，
可知OA＝3，则，
所以S表示的曲线的长度为2πr＝8π．
故选：B．
【点评】本题考查球的几何性质，属于基础题．
5．（4分）已知函数f（x）＝ln（x+1），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】作出函数f（x）＝ln（x+1）的图象，根据（x，f（x））与（0，0）连线所在直线的斜率，即可判断大小关系．
【解答】解：作出函数f（x）＝ln（x+1）的图象，如图所示．
由图可知，曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x的增大而减小．
因为1＜2＜3，所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了直线的斜率和平均变化率，考查了数形结合思想，属基础题．
6．（4分）已知直线l恒过点（0，5），圆C：（x﹣3）2+y2＝9，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线l与圆C相切分析可知：直线l的斜率不存在或直线l的斜率为，结合充分、必要条件分析判断．
【解答】解：由题意可知：圆C：（x﹣3）2+y2＝9的圆心C（3，0），半径r＝3，
若直线l与圆C相切，则有：
当直线l的斜率不存在，则直线l：x＝0，符合题意；
当直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，
则圆心C（3，0）到线l的距离，解得；
综上所述：当且仅当直线l的斜率不存在或直线l的斜率为时，线l与圆C相切．
可知“直线l的斜率为”可以推出“直线l与圆C相切”，即充分性成立；
“直线l与圆C相切”不可以推出“直线l的斜率为”，即必要性不成立；
所以“直线l的斜率为”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，充要条件的判断，是中档题．
7．（4分）在△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理可得，由余弦定理可得a2＝2，再由三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理得：，
因为，
所以csC＝cs105°＝cs（60°+45°）＝cs60°cs45°﹣sin60°sin45°＝，
sinC＝sin105°＝sin（45°+60°）＝sin45°cs60°+cs45°sin60°＝，
由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcsC，
即，
解得a2＝2，所以＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
8．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣10n（n＝1，2，3，…），下列判断中正确的是（ ）
A．a5＞0
B．数列{an}是单调递减数列
C．数列{an}前n项的乘积有最大值
D．数列{an}前n项的乘积有最小值
【分析】根据题意，求出数列{an}的的通项公式，由此分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣10n，
当n＝1时，a1＝﹣9，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣11，
a1＝﹣9也符合该式，则an＝2n﹣11，故数列{an}是公差为2的等差数列，
由此分析选项：
对于A，a5＝10﹣11＝﹣1＜0，A错误；
对于B，数列{an}是公差为2的等差数列，是递增数列，B错误；
对于C和D，an＝2n﹣11，则a1＝﹣9，a2＝﹣7，a3＝﹣5，a4＝﹣3，a5＝﹣1，
即当1≤n≤5时，有an＜0，当n＞5时，an＞0，
则当n＝4时，数列{an}前n项的乘积有最大值，没有最小值，C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及等差数列的性质，属于基础题．
9．（4分）已知椭圆C：分别为左右焦点，P为椭圆上一点，满足cs∠F1PF2＝，则|OP|的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知结合余弦定理求得|PF1||PF2|＝8，再结合三角形的中线向量的有关知识即可求解结论．
【解答】解；由椭圆方程可得a＝3，b＝，故c＝＝2，
|PF1|+|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝2c＝4，
在△F1PF2中，|F1F2|＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，
即16＝36﹣2|PF1||PF2|﹣|PF1||PF2|，
可得|PF1||PF2|＝8，
因为O为线段F1F2的中点，
则＝（），
可得2＝（）2＝（++2•）＝[（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|+2|PF1||PF2|cs∠F1PF2]＝×24＝6，
故|OP|＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆性质的应用，余弦定理以及向量的有关知识，属于中档题．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）
A．存在点E，EF∥平面ABB1A1
B．对任意点E，EF⊥DB1
C．存在点E，使得EF与BD所成的角是60°
D．不存在点E，使得EF与平面AA1C1C所成的角是30°
【分析】设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法逐一分析选项即可．选项A，取平面ABB1A1的一个法向量，将EF∥平面ABB1A1转化为；选项B，由可判断；选项C，令，求出点E的坐标，即可判断；选项D，由BD⊥平面AA1C1C，结合选项C，即可得解．
【解答】解：设正方体的棱长为1，
以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），，
设E（x，y，1），，则（x，y﹣1，0）＝λ（1，﹣1，0），
∴x＝λ，y＝1﹣λ，即E（λ，1﹣λ，1），
∴＝（﹣λ，λ，﹣），
选项A，取平面ABB1A1的一个法向量为，
令，解得，此时，
∴当时，EF⊥DA，
∵EF⊄平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1，即选项A正确；
选项B，，
∵，
∴对任意点E，EF⊥DB1，即选项B正确；
选项C，由，知，
∵EF与BD所成的角是60°，
∴，
化简得2λ2﹣λ＝0，解得或λ＝0，
故存在点E，使得EF与BD所成的角是60°，即选项C正确；
选项D，连接BD，
由底面ABCD是正方形，知AC⊥BD，
∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，
又AA1，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1C1C，即是平面AA1C1C的一个法向量，
由选项C可知，存在点E，使得EF与BD所成的角是60°，
∴存在点E，使得EF与平面AA1C1C所成的角是30°，即选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法证明线面平行，线线垂直，求异面直线的夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知点F1，F2是椭圆的两个焦点，横坐标为4的点M在椭圆C上，则△F1MF2的周长为 18 ．
【分析】根据椭圆的定义求出|MF1|+|MF2|以及|F1F2|的长，从而得到△F1MF2的周长．
【解答】解：因为椭圆，
由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|＝10，|F1F2|＝8，
所以△F1MF2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
12．（5分）古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．如图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥S﹣ABCD，如图2所示，其侧面SAD是边长为的等边三角形，AB＝1cm，且平面SAD⊥底面ABCD，则该四棱锥的体积为 cm3．
【分析】由面面垂直的性质定理得线面垂直关系，从而得四棱锥的高，进而求出体积．
【解答】解：取AD的中点E，连接SE，
由侧面SAD是边长为的等边三角形，得SE⊥AD，
已知平面SAD⊥底面ABCD，
又SE⊂平面SAD，平面SAD∩底面ABCD＝AD，
所以SE⊥底面ABCD，
即四棱锥S﹣ABCD的高为SE，且，
又底面矩形ABCD的面积为，
则四棱锥S﹣ABCD的体积cm3．
故答案为：．
【点评】本题考查四棱锥的体积的求解，属中档题．
13．（5分）过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+（y﹣2）2＝4所截得的弦长为 2 ．
【分析】求得直线方程，以及圆心和半径，运用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由弦长公式计算可得所求弦长．
【解答】解：过原点且倾斜角为30°的直线方程为y＝x，
圆x2+（y﹣2）2＝4的圆心为（0，2），半径r＝2，
圆心到直线的距离为d＝＝，
则截得的弦长为2＝2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知点（2，1）在函数的图像上，且f（x）有最小值，则常数a的一个取值为 1（不唯一） ．
【分析】分别画出函数y＝x2+2x和y＝2x﹣3的图像，再根据条件求解．
【解答】解：设g（x）＝x2+2x，h（x）＝2x﹣3，分别绘制g（x），h（x）函数的大致图像如下图：
其中g（x）＝x2+2x有最小值，g（x）min＝g（﹣1）＝﹣1，h（x）＝2x﹣3没有最小值，y＝﹣3是它的渐近线，
点（2，1）在h（x）上，∴a＜2，h（1）＝﹣1，如上图，当a＜1时，f（x）不存在最小值，
∴1≤a＜2；
故答案为：a＝1（不唯一）．
【点评】本题主要考查函数最值的求法，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M是函数图象上的任意一点，过点M分别作直线l：y＝x和y轴的垂线，垂足分别为A，B．其中O为坐标原点．给出下列四个结论：
①k＝1；
②不存在点M，使得|MA|＝2023；
③|MA|•|MB|的值恒为；
④四边形OAMB面积的最小值为．
其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】由函数在定义域内的最小值求出k的值验证结论①；设，由点到直线y＝x的距离表示出|MA|，由|MA|＝2023是否有解判断结论②；计算|MA|•|MB|的值判断结论③；④把四边形OAMB面积表示成x0的函数，利用基本不等式求最小值判断结论④．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），其最小值为2，
当k≤0时，在（0，+∞）上单调递增，没有最小值，不合题意，则有k＞0，
，当且仅当，即时等号成立，
∴f（x）在（0，+∞）上有最小值，得，解得k＝1，故结论①成立；
，设，则|MB|＝x0，，
由点M到直线y＝x的距离可得：，
当时，解得，此时|MA|＝2023，故结论②错误；
，故结论③成立；
MA所在直线方程为，与方程y＝x联立，解得，
则有，则，
四边形OAMB面积
＝
＝1+，
当且仅当，即时等号成立，
∴四边形OAMB面积的最小值为，故结论④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查对勾函数的单调性，训练了利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程．
16．（14分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
【分析】（1）通过先展开再合一构造新的三角函数，根据三角函数求解增区间；
（2）根据定义域求出整体的范围，再根据函数图像求出值域．
【解答】解：（1）
＝
＝，
令（k∈Z），
解得（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；
（2）当时，所以，
如图所示，
所以，
所以f（x）在区间上的值域为[﹣2，1]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
17．（14分）已知直线l：x﹣ay﹣2＝0，圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2．
（1）若a＞1，求证：直线l与圆C相交；
（2）已知直线l与圆C相交于A，B两点．若△ABC的面积为1，求a的值．
【分析】（1）求解圆的圆心与半径，利用点到直线的距离，证明即可．
（2）求出圆心C到直线l的距离，结合△ABC的面积，求解∠ACB＝，从而求出a的值．
【解答】解：（1）证明：圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2，圆的圆心（a，1），半径为，
圆心到直线的距离为d＝＝，因为a＞1，所以＜，
所以a＞1时，直线l与圆C相交．
（2）由直线l：x﹣ay﹣2＝0，恒过（2，0）点，
圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2，圆的圆心（a，1），半径为，△ABC的面积为1，＝1，可得∠ACB＝，
圆心到直线的距离为d＝＝1，
解得a＝．
【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查了勾股定理的应用问题，是综合性题目．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB，PA＝AB＝1，AD＝2，E，F分别是BC，PA的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面EFD与平面PAB夹角的余弦值．
条件①：平面PAB⊥平面ABCD；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）取PD的中点G，连接GF，CG，可证EF∥CG，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）若条件①：根据面面垂直的性质定理可证PA⊥平面ABCD，建系，利用空间向量 求面面夹角；
若条件②：根据线面垂直的 判定定理可证PA⊥平面ABCD，建系，利 用空间向量求面面夹角．
【解答】解：（1）证明：取PD的中点G，连接GF，CG，
因为G，F分别为PD，PA的中点，则GF∥AD，且，
又因为ABCD为矩形，且E分别为BC的中点，
则CE∥AD，且，可得GF∥CE，且GF＝CE，即CEFG为平行四边形，
则EF∥CG，且EF⊄平面PCD，CG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．
（2）若选条件①：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD，
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，1），E（1，1，0），，
可得＝（1，﹣1，0），＝（0，﹣2，），
设平面EFD的法向量＝（x，y，z），
则，
令x＝1，则y＝1，z＝4，可得，
由题意可知：平面PAB的法向量，
可得cs＜，＞＝＝＝．
所以平面EFD与平面PAB夹角的余弦值为．
若选条件②：．
连接AC，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，
则可得AC＝，又AP＝1，
则PA2+AC2＝1+5＝6＝PC2，所以PA⊥AC，
又PA⊥AB，AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABCD，
下同选条件①．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆的短轴长为4，离心率为．直线l：x＝ty+2与椭圆交于P，Q两点，点A（3，2）不在直线l上，直线PA与x＝4交于点B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求直线QB的斜率．
【分析】（1）根据短轴长求出b，再由离心率，及a2＝b2+c2求出c，a，即可求出椭圆方程；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线和椭圆方程，得出，，根据题意表示出点B坐标，再由斜率公式求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆的短轴长为4，
所以2b＝4，b＝2，
因为离心率为，
所以，
又a2＝b2+c2，
所以c＝2，，
所以椭圆E的方程．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，化简可得（t2+2）y2+4ty﹣4＝0，
令Δ＝（4t）2﹣4（t2+2）•（﹣4）＝32t2+32＞0，即t2+1＞0，
，，
因为A（3，2）不在直线l上，
所以3≠2t+2，即，
则直线PA方程为：，令x＝4，则，
因为直线PA与x＝4交于点B，
所以，
所以，
将，代入，可得，
所以直线QB的斜率为2．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）＝ax+，曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+3﹣2ln2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（3）求函数f（x）的零点的个数．
【分析】（1）根据曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+3﹣2ln2＝0，列出相应的等式，再求出a，b得值；
（2）根据函数解析式可求得其定义域；结合（1）的结果，可得函数的导数的表达式，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2）的结论以及零点存在定理，即可判断函数零点个数．
【解答】解：（1）由，得（x＜1，且x≠0），
则f′（﹣1）＝a﹣b﹣1，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2，
因为曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+3﹣2ln2＝0，
所以f′（﹣1）＝a﹣b﹣1＝0，f（﹣1）＝﹣a﹣b+2ln2＝﹣3+2ln2，
解得a＝2，b＝1；
（2）由（1）可知，，需满足，
则其定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）；
而，
因为，
所以令f′（x）＞0，解得x＜﹣1；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1且x≠0，
所以f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，0），（0，1）；
（3）由（2）可知，当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝﹣3+2ln2＜0，
当x＜0且x无限趋近于0时，的值趋向于负无穷大，
即f（x）在区间（﹣∞，0）内无零点；
当x＞0且x无限趋近于0时，的值趋向于正无穷大，
当x＜1且x无限趋近于1时，的值趋向于负无穷大，
由此可作出函数f（x）的图象，如图所示．
结合
，
，
所以f（x）在（﹣∞，0）∪（0，1）内的零点个数为1．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性，函数的零点，考查了数形结合思想和转化思想，属难题．
21．（15分）设k，m是正整数，如果存在非负整数a1，a2，⋯，ak，c1，c2，⋯，ck使得，则称m是k﹣好数，否则称m是k﹣坏数．例如：2＝（﹣1）0•20+（﹣1）0•20，所以2是2﹣好数．
（1）分别判断22，23，24是否为3﹣好数；
（2）若m是偶数且是k﹣好数，求证：m是（k+1）﹣好数，且是k﹣好数；
（3）求最少的2023﹣坏数．
【分析】（1）直接由k﹣好数的定义验证即可；
（2）证明m是（k+1）﹣好数时，分是否存在ci＝0使得两种情况讨论即可，证明是k﹣好数时，将表达式中的数分成四类，即：，从而即可证明；
（3）注意到表达式，由此联系到用二进制表示，通过归纳得知最小的1﹣坏数是3，最小的2﹣坏数是11，最小的3﹣坏数是43，最小的4﹣坏数是171，且注意到3＝11（2），11＝1011（2），应该是在破坏数码和，通过分析得知，k﹣坏数要满足二进制至少有（k+1）个数码是1，而且在二进制表示左右两头的1之间0段的数目至少是（k﹣1），由此即可猜出最小的k﹣坏数是n＝1+2+23+25+⋯+22k﹣1，k≥1，从而证明即可得解．
【解答】解：（1）因为22＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•21，
所以22是3﹣好数，
因为23＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•23+（﹣1）1•20，
所以23是3﹣好数，
因为24＝（﹣1）0•24+（﹣1）0•22+（﹣1）0•22，
所以24是3﹣好数；
（2）由题意m是k﹣好数当且仅当，a1，a2，⋯，ak，c1，c2，⋯，ck是非负整数，分以下两种情形来说明m是（k+1）﹣好数，
①若存在ci＝0，不妨设为，此时或，
则当k≥2时，，或，
因此，或，
即此时m是（k+1）﹣好数；
当k＝1时，，由题意m＞0，因此不妨取，即，
因为m是偶数，所以c1≥1，c1﹣1≥0，从而是（k+1）﹣好数；
②若不存在ci＝0，则任取ci，均有ci≥1，当然也有c1≥1，而此时或，
则当k≥2时，，或，
由①可知，当c1≥1，c1﹣1≥0时，，
因此，或，
即此时m是（k+1）﹣好数；
当k＝1时，，由题意m＞0，因此不妨取，即，
因为c1≥1，c1﹣1≥0，从而是（k+1）﹣好数；
综上所述：若m是偶数且是k﹣好数，则m是（k+1）﹣好数．
若m是偶数且是k﹣好数，接下来我们说明是k﹣好数，
即已知是偶数，a1，a2，⋯，ak，c1，c2，⋯，ck是非负整数，
由以上分析可知或，或是偶数，
且（﹣1）0•21+（﹣1）1•20＝1，，，
不妨设，，
，，
所以，
因为均是偶数，
所以是偶数，是偶数，
所以＝，
综上所述，若m是偶数且是k﹣好数，则 也是k﹣好数；
（3）记n＝1+2+23+25+⋯+22k﹣1，k≥1，设m＜n：
①若m的二进制表示中只有至多有k个1，那么m显然是k﹣好数；
②若m的二进制表示中有至少有（k+1）个1，那么m的二进制表示至多有（2k﹣1）位，
此时，m的二进制表示中的那些0隔出了若干个1串，
如果一个1串的长度为1，它一定能表示为2t，
如果一个1串的长度大于1，它一定能表示为2u﹣2v，
假设m是k﹣坏数，长度为1的1串的数量为p，长度大于1的1串的数量为q，
那么就意味着p+2q＞k，
记K＝p+2q，
如果我们标出每个1串最左边和最右边的1，那么这些1两两不相邻，且总数目为K，
但事实上，由于一共至多有（2k﹣1）位，所以K≤k，产生矛盾，
这就意味着m一定是k﹣好数，
所以小于n的正整数都是k﹣好数，
接下来我们用反证法来证明n是k﹣坏数，
假设n是k﹣好数，
由于n的二进制表示中，1的个数是大于k的，
所以n的那个表示里，肯定存在负号项，
也就是说n可以表示成两个正整数P，Q之差，不妨设n＝P﹣Q，
且P，Q的二进制中1的个数之和不超过k，
而且我们还可以同时去掉P，Q的那些位数相同的1，全都变成0，
所以n可以表示成两个正整数P，Q的差，P，Q的二进制中1的个数之和不超过k，且没有相同位置的1，
那么就设P，Q的二进制表示中，1的数量分别是u，v，
则u+v≤k，
那么：（1）P的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u﹣1）个；
（2）每给P减掉一个2t（且P的2t位为0），最左最右两个1之间的0段的数目至多增加1个，
增加1个当且仅当减掉的这个位置左边最近的1的左边还是1，且这个位置的右边是0；
（3）n的二进制表示中，最左最右两个1之间有（k﹣1）个0段，
由（1）（2）我们知道，n的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有（u+v﹣1）个，
结合（3）就可以知道（u+v）必须等于k，且（1），（2），（3）的每个不等关系都取等，
由于（1）的不等关系取等，
所以P的最后一位必须是0，
但n的最后一位是1，
所以Q的最后一位是1，
但是由于（2）的不等关系取等，
所以最后在减掉20＝1这步时，右边还有0，
而这不可能，因为已经是最后一位了，
所以假设不成立，
从而n是k﹣坏数，
所以最小的k﹣坏数是，
因此最小的2023﹣坏数是．
【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了归纳推理，以及演绎推理，属于难题．
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