贵州省贵阳市南明区小碧中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份贵州省贵阳市南明区小碧中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共36分每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2B．1C．D．4
3．若是一元二次方程的根，则（ ）
A．B．C．2D．4
4．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．9B．C．11D．
5．关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．，D．，
6．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
8．已知m是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．6C．4D．
9．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．10或12
11．参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，将边长为的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把沿着AD方向平移，得到．若两个三角形重叠部分的面积为，则它平移的距离等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．已知，则______．
14．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______．
15．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是______．
16．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则x的值是______．
三、解答题（本大题共9题，共98分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）．
18．（本题满分10分）数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：．
小明同学的做法如下：
解：两边同时除以，得．……….第一步
去括号，得．……….第二步
移项，得．……….第三步
合并同类项，得．……….第四步
（1）上面的运算过程中从第______步开始出现了错误；
（2）请写出正确的解题过程．
19．（本题满分10分）关岭火龙果是安顺市关岭县的特产，也是中国国家地理标志产品．随着种植技术的改进，火龙果产量逐年增加，已知2022年该火龙果的产量为350t，预计2024年该火龙果的产量为423.5t，求这两年该火龙果产量的年均增长率．
20．（本题满分10分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不等的实数根；
（2）若，是原方程的两根，且，求m的值．
21．（本题满分10分）某单位要新建一个矩形的活动区（图中阴影部分），根据规划，活动区的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为．求小路的宽度．
22．（本题满分10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元，则商场每天销售该衬衫可盈利______元；
（2）若商场平均每天要通过销售该衬衫盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？
23．（本题满分12分）阅读材料：解方程：，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得，．
当时，，所以，所以；
当时，，所以，所以．
所以原方程的解为，，，．
请利用以上知识解决下列问题：
已知，求的值．
24．（本题满分12分）已知矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD为正方形？并说明理由；
（2）若AB的长为2，求矩形ABCD的对角线长．
25．（本题满分12分）【概念理解】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”
【初步运用】
（1）通过计算，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
【拓展运用】
（2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
【能力提升】
（3）已知关于x的一元二次方程（n是常数）是“倍根方程”，请直接写出n的值．
答案：
1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．C 11．B 12．B
13．2或 14． 15．98 16．5或
17．（1）解：移项，得．
配方，得，．
由此可得，，．
（2）解：，，．．
方程有两个不等的实数根，，
即，．
18．（1）一
（2）解：移项，得．
因式分解，得．
于是得，或，，．
19．解：设这两年该火龙果产量的年均增长率为x．
根据题意，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：这两年该火龙果产量的年均增长率为10%．
20．（1）证明：因为，
所以无论m取何值，方程总有两个不等的实数根．
（2）解：因为，所以．
由题意得，，
所以，解得，．即m的值为或．
21．解：设小路的宽度为．根据题意，得．
整理，得．解得，（不合题意，舍去），
答：小路的宽度为．
22．（1）1008
（2）解：设每件衬衫应降价x元，则平均每天可售出件．
根据题意，得．
整理，得，解得，．
因为要扩大销售，减少库存，且让顾客尽可能多得实惠，所以．
答：每件衬衫应降价20元．
23．解：设．则原方程化为，
即，解得，．因为，所以．
24．解：（1）当时，四边形ABCD为正方形．
理由如下：当时，矩形ABCD为正方形，此时，即，
解得．所以当时，四边形ABCD为正方形．
（2）设，根据根与系数的关系得，，所以，即，
所以矩形ABCD的对角线长为．
25．解：（2），或，解得，．
因为是“倍根方程”，所以或．
当时，．当时，．
综上所述，代数式的值为26或5．
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为，，
根据根与系数的关系得，，
所以，或，．所以n的值为13或．