2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题

这是一份2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．7
4．将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（ ）
A．49πB．56πC．65πD．130π
6．设数列的前面和为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．设曲线的方程为（，为系数），则（ ）
A．曲线一定经过第一象限B．当，曲线可能为抛物线
C．曲线一定经过第三象限D．当，曲线一定关于直线对称
8．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设是非空的实数集，若，则（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数值域为D．函数无极值
10．已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，现在丢失了其中一个数据，另外六个数据分别是7，9，10，7，15，7．将丢失数据的所有可能值从小到大排列成数列an，记，则（ ）
A．B．
C．an是等差数列D．an是等比数列
11．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
三、填空题
12．正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为 （用数字作答）．
13．将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为 ．
14．已知函数，则曲线的对称中心为 ．
四、解答题
15．在，角所对的边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)是否存在内一点使得且？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16．如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面．
(1)证明：；
(2)若点是圆上动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
17．已知函数．
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若有三个零点，求的取值范围．
18．为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
(2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；
(3)设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．
19．贝塞尔曲线是由法国数学家Pierre Bézier发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础．贝塞尔曲线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉上的冲击．
(1)在平面直角坐标系中，已知点在线段上．若Ax1,y1，Bx2,y2，，求动点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，已知，，，点在线段上，若动点在线段上，且满足，求动点的轨迹方程；
(3)如图，已知，若点分别在线段上，且，求动点的轨迹方程．
参考答案：
1．A
【分析】先将因式分解，然后解不等式，利用两个根的关系分类讨论，求出的取值范围即可.
【详解】由题可知，
当时，无解，得，此时；
当时，解，得，此时，；
当时，解，得，此时，要使，则；
综上所述，.
故选：A
2．D
【分析】设，利用复数乘法和复数相等的概念求出，再利用复数的模长公式求解即可.
【详解】设，
则，
所以，解得，
所以，.
故选：D.
3．B
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】在中，点是边上一点，，则，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
4．A
【分析】由图象的变换可得，进而解方程可得，可求的值..
【详解】将函数图象向右平移后，可得平移后的解析式为，
再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，可得，
由方程，可得，所以，
因为，所以，
因为方程在内有两不等实根，
所以，所以，
所以.
故选：A.
5．C
【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解.
【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得，
取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，
则四边形是等腰梯形，，而，
，整理得，而，则，
设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则，
令分别为正四棱台上下底面的中心，则，，
，，
当球心在线段时，，解得，球的表面积为；
当球心在线段的延长线时，，无解，
所以所求外接球表面积是.
故选：C
6．C
【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解.
【详解】数列an中，由，得，整理得，
则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
于是，即，而满足上式，
因此，，，ABD错误，C正确.
故选：C
7．D
【分析】分别对曲线的方程中的系数，进行赋值，即可排除A,C项，对于B，因时，曲线表示直线或抛物线，排除B，对于D，分都等于0和相等但不为0两种情况分析讨论，均能验证曲线关于直线对称.
【详解】对于A，当时，由化简得，，
则可得，或，此时曲线表示轴或开口向下且顶点在原点的抛物线，
显然图象不经过第一象限，故A错误；
对于B，当时，由化简得，可得，或，
当时，曲线显然不是抛物线，当时，曲线表示轴或焦点在轴上的抛物线，故B错误；
对于C，当时，由化简得，，即或，
即曲线表示轴或轴，因而图象不经过第三象限，故C错误；
对于D，若时，由C分析知，曲线表示轴或轴，显然关于直线对称；
若相等但不为0时，由可得，
若点在曲线上，即，
而对于，有，即必有在曲线上，
而点与关于直线对称，故D正确.
故选：D.
8．A
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
所以为偶函数，故C错误；
又对两边求导，得，
即，所以是偶函数，故B错误；
由，可得，
由，可得，
所以，即fx+2=−fx，即得，
所以是周期为4的函数，则，所以fx−1是奇函数，故A正确；
由，可得，即，
又由，可得，
所以，即为偶函数，所以为偶函数，故D错误.
故选：A.
9．AD
【分析】由函数定义可判断A和B，令，可判断C，对求导可判断D.
【详解】由函数的定义可知，集合中的任意一个数，
在集合中都有唯一确定的数和它对应，
所以函数的定义域为，值域为集合的子集，故A正确，B错误；
对于C，当，时，值域不为，故C错误；
对于D，，所以单调递增，无极值，故D正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】设丢失的数据是，求出平均值和众数，然后根据的大小得出中位数，根据已知等差数列求出的所有可能值，判断各个选项得出结论．
【详解】设丢失的数据是，则这组数据的平均数为，
众数显然是7，所以中位数为，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
所以丢失的数据所有可能值为，则.
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，D，由，，，所以是等差数列，故C正确，D错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确.
【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确；
对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误；
对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确；
对于D，因是阶聚合点集等价于，
因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，
故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确.
故选：ACD.
12．12
【分析】根据给定条件，利用几何图形的组合计数问题，结合排除法列式计算即得.
【详解】作出正八面体，如图，正八面体共有6个顶点，其中有3组不同的四点共面，
则以正八面体顶点为顶点的三棱锥的个数为.
故答案为：12
13．/0.5
【分析】根据题意得到的值，然后利用离心率公式求出椭圆的离心率.
【详解】设圆柱的底面半径为，由题意可知，
，即，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．
【分析】根据给定条件，利用对称中心的定义计算判断即得.
【详解】曲线的对称中心为，则，
即，整理得，
依题意，与无关，则，解得，此时，
所以曲线的对称中心为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)不存在
【分析】（1）利用三角恒等变换以及辅助角公式可将原式化为，根据三角函数最值即可得，可得结论；
（2）由（1）可知点在的边的中线上，再由的最小值为可得，可得不成立.
【详解】（1）由题意可知，
即，则，
即，其中；
其中和的最大值为1，故上式只有当时，等号成立；
故，由正弦定理可得，
所以
（2）因为，所以为的重心，
因为，为各边中线的交点，因此；
又因为点在内部，点在内的直线上的动点，如下图所示：
当点与点重合时，取得最小值，即，
所以恒成立，显然与，即矛盾，
故内不存在点使得且同时成立.
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）在平面内过作，以为原点，建立空间直角坐标系，借助面面垂直求出平面的法向量，再计算即可得证.
（2）设出点的坐标，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出夹角余弦的函数关系即可求出范围.
【详解】（1）在平面内过作，而平面，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，设，
设平面的法向量，则，令，得，
而平面的法向量为，平面平面，则，解得，
于是，而，则，所以.
（2）设点，显然，，
设平面的法向量，则，令，得，
由（1）知，平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
于是，
所以平面与平面夹角余弦值的取值范围.
17．(1)或时，函数有一个零点，时，函数有三个零点；
(2)．
【分析】（1）求出函数的导数，在对按，和分类讨论确定的零点个数，其中要特别注意零点存在定理的应用.
（2）利用得，又，结合基本不等式可得范围．
【详解】（1），则，
令，则，
（i），即时，，函数单调递增，
函数在上的取值集合为，而在上的取值集合为，
则存在，使得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
而当趋近于0时，趋近于，因此只有一个零点；
（ii）当，即时，，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
函数在上单调递减，而，因此只有一个零点；
（iii）当，即时，由，得，由，得，
函数，即在上单调递增，在上单调递减，，
由（i）知，存在，使得，
而，令，，
又，则存在，使得，
即当或时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，显然，
因此，又当趋近于0时，趋近于，因此在上有一个零点，
而，，令，，
求导得，令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递减，，
函数在上单调递减，，
函数在上单调递减，，即，
因此在上有一个零点，又1是的零点，此时有三个零点，
所以或时，有一个零点，时，有三个零点．
（2）由（1）讨论知是函数的一个零点，
又，则，即，，
因此，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数确定函数零点个数问题有两种基本方法，一是利用函数的导数确定函数的单调性、极值，然后结合零点存在定理得出零点个数，二是利用参数分离法，转化为求直线与函数图象的交点个数，从而只要利用导数确定新函数的单调性与极值，得出函数的变化趋势后可得结论．
18．(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）利用条件概率公式计算；
（2）将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后结合等比数列求和公式计算概率；
（3）根据概率最大列不等式，然后解不等式即可.
【详解】（1）设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件，
，，
故，
所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为.
（2）由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
，
故数列的通项公式为.
（3）设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率，
要使最大，即使最大，
所以，
即，化简得，且，
又在0,+∞上单调递减，
所以，综上所述，.
【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后求概率.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得，再由向量的坐标运算可求坐标；
（2）由题意得，，，依次进行向量的坐标运算，代入的坐标则可用参数表示的坐标，消去参数可得轨迹方程；
（3）结合（1）（2）的运算，同理可得的坐标，消去参数可得轨迹方程；
【详解】（1）由题意可知，设，
则， ，
因为，且点在线段上，
所以，则有，
解得，
所以点坐标为.
（2）
设，
由题意得，，，.
结合（1）同理可得，，
又，
则，
且，
则
将，，，坐标代入得
，
设，则，消得.
又由，得.
故的轨迹方程为：.
（3）设，
由题意结合（1）（2）同理可得，
，
且，
，
且， 其中.
则
，
同理.
故，
将代入得
，
，
设，则，消得，
又由，得.
故的轨迹方程为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点有两点：一是将共线与长度比关系转化为向量关系式，再利用向量的坐标运算求解点的坐标；二是用参数表示动点坐标，再消参求解动点轨迹方程，并注意参数的取值范围.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
C
C
D
A
AD
AC
题号
11









答案
ACD