高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题17坐标系与参数方程特训(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题17坐标系与参数方程特训(原卷版+解析)，共38页。
1．【2022年全国甲卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=−2+s6y=−s（s为参数）．
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2csθ−sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
2．【2022年全国乙卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cs2ty=2sint，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ+π3+m=0．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
3．【2021年全国甲卷理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=22csθ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足AP=2AM，写出Р的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
4．【2021年全国乙卷理科22】在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程;
（2）过点F(4,1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
5．【2020年全国1卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cskt,y=sinkt(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcsθ−16ρsinθ+3=0．
（1）当k=1时，C1是什么曲线？
（2）当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
6．【2020年全国2卷理科22】已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：x=4cs2θ，y=4sin2θ（θ为参数），C2：x=t+1t,y=t−1t（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
7．【2020年全国3卷理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2−t−t2y=2−3t+t2（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
8．【2019年新课标3理科22】如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（2，π4），C（2，3π4），D（2，π），弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是（1，0），（1，π2），（1，π），曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD．
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=3，求P的极坐标．
9．【2019年全国新课标2理科22】在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．
（1）当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
10．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1−t21+t2，y=4t1+t2（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcsθ+3ρsinθ+11＝0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
11．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcsθ﹣3＝0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
12．【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2csθy=4sinθ，（θ为参数），直线l的参数方程为x=1+tcsαy=2+tsinα，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
13．【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x=csθy=sinθ，（θ为参数），过点（0，−2）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
14．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3csθy=sinθ，（θ为参数），直线l的参数方程为 x=a+4ty=1−t，（t为参数）．
（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．
15．【2017年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcsθ＝4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，π3），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
16．【2017年新课标3理科22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=2+ty=kt，（t为参数），直线l2的参数方程为x=−2+my=mk，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（csθ+sinθ）−2=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
17．【2016年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=acsty=1+asint（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4csθ．
（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
18．【2016年新课标2理科23】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2＝25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是x=tcsαy=tsinα（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．
19．【2016年新课标3理科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3csαy=sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+π4）＝22．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
20．【2015年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
21．【2015年新课标2理科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1：x=tcsαy=tsinα（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23csθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
22．【2014年新课标1理科23】已知曲线C：x24+y29=1，直线l：x=2+ty=2−2t（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
23．【2014年新课标2理科23】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2csθ，θ∈[0，π2]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=3x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
24．【2013年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程为x=4+5csty=5+5sint（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
25．【2013年新课标2理科23】已知动点P、Q都在曲线C：x=2csβy=2sinβ（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
模拟好题
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=a+2csαy=2sinα（α为参数），直线l的参数方程为x=2t,y=2t（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M，N两点；以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和圆C的极坐标方程；
(2)求证：|OM|2+|ON|2为定值．
2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2csθ+1y=2sinθ−3（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcsθ−3ρsinθ+11=0
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l距离的最大值．
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A(−2,−4)，倾斜角为α．曲线C的参数方程为x=2t2y=2t（t为参数）．
(1)设α=3π4，P，Q分别为直线l和曲线C上的两个动点，求|PQ|的最小值；
(2)若直线l和曲线C交于M，N两点，且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列，求tanα的值．
4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y−12=1．P为曲线C1上一动点，且OQ=2OP，点Q的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为ρ2=21+sin2θ，点M为曲线C3上一动点，求MQ的最大值．
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：x=tcsαy=1+tsinα（t为参数，α∈0,π2），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcsθ=4tanθ．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P0,1，设曲线C1与曲线C2的交点分别为A，B，若PA⋅PB=−2，求α．
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2+3sinα(α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ=φρ∈R.
(1)求C1的极坐标方程；
(2)设C1与C2交于M,N两点，若OM+ON=42，求C2的直角坐标方程.
7．在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y−2m=0m∈R．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且AB=26，求m的值．
8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转2π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
9．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x=2+22ty=22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0.
(1)写出l的普通方程和曲线C的参数方程；
(2)点P在圆C上，当点P到直线l的距离最大时，求点P的直角坐标.
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=tcsα,y=tsinα,其中t为参数，α∈[0,π)，曲线C2的参数方程为x=2+3csθ,y=3sinθ（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)若α=π4，曲线C1，C2交于M，N两点，求1OM+1ON的值．
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=csα+sinαy=3csα−3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ+π4=−2．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P−1,1，直线l和曲线C相交于M、N两点，求1PM+1PN的值
12．已知中心在原点，焦点为F1 (−2,0)，F2 (2,0)的椭圆经过点(52,−32).
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，MF1交椭圆于点A，MF2交椭圆于点B，求|MF1||F1A|+|MF2||F2B|的值.
13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=tcsα,y=−2+tsinα（t∈R,t为参数α∈0,π2）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈π4,3π4．
（1）求半圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1+3，求α的值．
14．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα, α为参数，曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°．
（1）过O作线段AB的垂线，垂足为H，求点H的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）求A,B两点间的距离的取值范围．
15．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数）．
（1）若直线l1平行于直线l，且与曲线C只有一个公共点，求直线l1的方程；
（2）若直线l与曲线C交于两点P，Q，求△PQO的面积．
16．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转4π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:x=csφy=−1+sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2csθ．
(1)写出曲线C1的极坐标方程，曲线C2的直角坐标方程；
(2)设点M的极坐标为M(2,0)，射线θ=α−π40，
设M(−2+mcsα,−4+msinα)、N(−2+ncsα,−4+nsinα)，
则m+n=8sinα+2csαsin2α，mn=20sin2α>0，
又AM=(−2+mcsα+2)2+(4+msinα−4)2=m2(cs2α+sin2α)=m，
同理，AN=n，MN=m−n，因为AM、MN、AN成等比数列，
所以MN2=AMAN，即m−n2=mn，
所以(m+n)2−4mn=mn，即(m+n)2=5mn，
即(8sinα+2csαsin2α)2=100sin2α，化简得9sin2α−8sinαcsα−cs2α=0，
即9tan2α−8tanα−1=0，解得tanα=−19或tanα=1，
当tanα=−19时，1+8tanα−4tan2α=581>0，符合题意，
当tanα=1时，1+8tanα−4tan2α=5>0，符合题意，
所以tanα=−19或tanα=1.
4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y−12=1．P为曲线C1上一动点，且OQ=2OP，点Q的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为ρ2=21+sin2θ，点M为曲线C3上一动点，求MQ的最大值．
【答案】(1)ρ=2sinθ；ρ=4sinθ
(2)5
【解析】
(1)由题意可知，将x=ρcsθy=ρsinθ代入x2+y−12=1得ρ=2sinθ，
则曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，
设点P的极坐标为ρ0,θ0，则ρ0=2sinθ0，
点Q的极坐标为ρ,θ，由OQ=2OP得ρ=2ρ0θ=θ0，即ρ0=12ρθ=θ0，
将ρ0=12ρθ=θ0代入ρ0=2sinθ0得ρ=4sinθ，
所以点Q轨迹曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ；
(2)曲线C3直角坐标方程为x22+y2=1，设点M2csφ,sinφ，
曲线C2的直角坐标方程为x2+y−22=4，则圆心为N0,2，
MQmax=MNmax+2，
即MN=2csφ2+sinφ−22=−sin2φ−4sinφ+6
当sinφ=−1时，MNmax=3 ，所以MQmax=3+2=5.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：x=tcsαy=1+tsinα（t为参数，α∈0,π2），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcsθ=4tanθ．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P0,1，设曲线C1与曲线C2的交点分别为A，B，若PA⋅PB=−2，求α．
【答案】(1)y=xtanα+1 ,(α∈(0,π2))，x2=4y
(2)不存在
【解析】
(1)由题{x=tcsαy−1=tsinα，两式相除化简有C1的普通方程为y=xtanα+1,α∈(0,π2)，
∵ρcsθ=4tanθ ∴ ρcs2θ=4sinθ
∴ ρ2cs2θ=4ρsinθ ∴ x2=4y
∴C2的直角坐标方程为：x2=4y
(2)将{x=tcsαy=1+tsinα（t为参数）代入x2=4y中得，t2cs2α−4tsinα−4=0
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1⋅t2=−4cs2α
∵PA⋅PB=−2，即t1⋅t2=−2，
即 cs2α=2>1，∴满足条件的α不存在
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2+3sinα(α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ=φρ∈R.
(1)求C1的极坐标方程；
(2)设C1与C2交于M,N两点，若OM+ON=42，求C2的直角坐标方程.
【答案】(1)ρ2−4ρsinθ−5=0
(2)3x±y=0
【解析】
(1)因为C1的参数方程为x=3csαy=2+3sinα（α为参数），所以消去参数α可得C1的直角坐标方程为x2+(y−2)2=9，即x2+y2−4y−5=0，
又y=ρsinθx2+y2=ρ2，所以C1的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ−5=0.
(2)由于C1与C2交于M,N两点，联立ρ2−4ρsinθ−5=0θ=φ得ρ2−4ρsinφ−5=0，
设M,N两点所对应的极径为ρM,ρN，则ρM+ρN=4sinφ,ρMρN=−5，
故OM+ON=ρM−ρN=ρM+ρN2−4ρMρN=16sin2φ−4×−5=42，
整理得sin2φ=34，则sinφ=±32，
所以C2的直角坐标方程为3x±y=0.
7．在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y−2m=0m∈R．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且AB=26，求m的值．
【答案】(1)mρcsθ+ρsinθ−2m=0，x=2+22csty=2+22sint；
(2)±1.
【解析】
(1)将x=ρcsθy=ρsinθ代入mx+y−2m=0m∈R
得：ρ(mcsθ+sinθ)=2m⇒mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
即直线l的极坐标方程为mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
由圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ可得：
ρ2=4ρ(csθ+sinθ)⇒x2+y2−4x−4y=0⇒(x−2)2+(y−2)2=8
故圆C的参数方程为x=2+22csty=2+22sint.
(2)点 C(2,2)到直线l：mx+y−2m=0m∈R的距离d=|2m+2−2m|m2+1=2m2+1，
则28−(2m2+1)2=|AB|=26⇒4m2+1=2⇒m=±1.
8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转2π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
9．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x=2+22ty=22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0.
(1)写出l的普通方程和曲线C的参数方程；
(2)点P在圆C上，当点P到直线l的距离最大时，求点P的直角坐标.
【答案】(1)x−y−2=0，x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）
(2)P1+2,−22
【解析】
(1)由x=2+22ty=22t可得x−y=2
所以l的普通方程为x−y−2=0，
由ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0可得x2+y2−2x+22y−1=0，
所以曲线C的直角坐标方程为x−12+y+22=4，参数方程为x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）.
(2)设点P1+2csφ,−2+2sinφ，则点P到l的距离d=1+2csφ+2−2sinφ−22=1−22sinφ−π42，
所以sinφ−π4=−1时，d最大，
此时φ=2kπ−π4k∈Z，csφ=22，sinφ=−22，
所以P1+2,−22.
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=tcsα,y=tsinα,其中t为参数，α∈[0,π)，曲线C2的参数方程为x=2+3csθ,y=3sinθ（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)若α=π4，曲线C1，C2交于M，N两点，求1OM+1ON的值．
【答案】(1)θ=α(ρ∈R)，ρ2−4ρcsθ+1=0
(2)22
【解析】
(1)依题意，曲线C1的普通方程为csα⋅y−sinα⋅x=0，
即曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．
曲线C2的普通方程为(x−2)2+y2=3，即x2+y2−4x+1=0，
故曲线C2的极坐标方程为ρ2−4ρcsθ+1=0．
(2)由α=π4，得θ=π4，
将θ=π4代入曲线C2的极坐标方程ρ2−4ρcsθ+1=0中，
可得ρ2−22ρ+1=0，
设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=1，ρ1+ρ2=22，
故1|OM|+1|ON|=|OM|+|ON||OM|⋅|ON|=ρ1+ρ2ρ1⋅ρ2=22．
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=csα+sinαy=3csα−3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ+π4=−2．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P−1,1，直线l和曲线C相交于M、N两点，求1PM+1PN的值
【答案】(1)x22+y26=1，x−y+2=0；
(2)6
【解析】
(1)由x=csα+sinαy=3csα−3sinα得3x+y23=csα3x−y23=sinα
利用sin2α+cs2α=1，得x22+y26=1，即为C的普通方程，
由ρcsθ+π4=−2，得ρ(csθcsπ4−sinθsinπ4)=−2，
即ρcsθ−ρsinθ=−2，即x−y=−2，直线l的直角坐标方程为x−y+2=0；
(2)点P−1,1在直线l上，可得其参数方程为x=−1+22ty=1+22t（t为参数），
把x=−1+22ty=1+22t代入x22+y26=1得，t2−2t−1=0，
所以t1+t2=2，t1t2=−1，t1,t2不同号．
1PM+1PN=1t1+1t2=t1−t2t1t2=t1+t22−4t1t2t1t2=6．
12．已知中心在原点，焦点为F1 (−2,0)，F2 (2,0)的椭圆经过点(52,−32).
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，MF1交椭圆于点A，MF2交椭圆于点B，求|MF1||F1A|+|MF2||F2B|的值.
【答案】（1）x210+y26=1；（2）143.
【解析】
（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由椭圆定义知：2a=(52+2)2+(−32)2+(52−2)2+(−32)2=210，即a=10，又c=2，
∴b2=a2−c2=6，故椭圆方程为x210+y26=1.
（2）法一：以左焦点为极点，F1F2为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1−ecsθ(e为离心率且p=a2c−c).
设M(ρ1,θ)，A(ρ2,π+θ)，则|MF1|=ρ1=ep1−ecsθ，|F1A|=ep1+ecsθ.
∴|MF1||F1A|=1+ecsθ1−ecsθ=21−ecsθ−1，即|MF1||F1A|=2|MF1|ep−1.同理，有|MF2||F2B|=2|MF2|ep−1.
∴|MF1||F1A|+|MF2||F2B|=2|MF1|ep−1+2|MF2|ep−1=2(|MF1|+|MF2|)ep−2=4a2b2−2=4×106−2=143.
法二：设M，A， F1在左准线x=−a2c上的射影分别为M1，A1，Q，如下图，
∴|MM1|=|MF1|e，|F1Q|=a2c−c=b2c，|AA1|=|AF1|e，
由相似形及和分比定理得|AM||AF1|=|AF1|+|F1M||AF1| =|MF1|e−|AF1|eb2c−|AF1|e=|MF1|−|AF1|eb2c−|AF1|=2|MF1|eb2c，
∴|MF1||AF1|=2|MF1|eb2c−1，同理，得|MF2||BF2|=2|MF2|eb2c−1，
∴|MF1||AF1|+|MF2||BF2|=2eb2c(|MF1|+|MF2|)−2=4a2b2−2=406−2=143.
13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=tcsα,y=−2+tsinα（t∈R,t为参数α∈0,π2）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈π4,3π4．
（1）求半圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1+3，求α的值．
【答案】（1）C：x=csφ,y=1+sinφ（φ为参数，φ∈(0,π)），l：y=xtanα−2,α∈0,π2；（2）α=π3
【解析】
（1）半圆C的参数方程为x=csφ,y=1+sinφ（其中φ为参数，φ∈(0,π)），
直线l的直角坐标方程为y=xtanα−2,α∈0,π2.
（2）由题意可知，可设D(cs2α,1+sin2α)，其中α∈0,π2
所以点D到直线AB的距离为：d=tanα⋅cs2α−(1+sin2α)−21+tan2α
=sinαcs2α−csαsin2α−3csα=sinα+3csα,
又A2tanα,0, B(0,−2)，∴AB=(−2)2+2tanα2=2sinα.
∴三角形ABD的面积S=12⋅AB⋅d=12⋅2sinα⋅sinα+3csα=1+3tanα=1+3.
∴tanα=3，
又∵α∈0,π2，∴α=π3.
14．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα, α为参数，曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°．
（1）过O作线段AB的垂线，垂足为H，求点H的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）求A,B两点间的距离的取值范围．
【答案】（1）x2+y2=3613；（2）121313,13
【解析】
（1）因为曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα,所以曲线C1的普通方程为x29+y24=1．
因为曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°，
所以点A,B的直角坐标分别为
Aρ1csθ1,ρ1sinθ1,Bρ2csθ1+90°,ρ2sinθ1+90°，
代入曲线C1的方程得ρ1csθ129+ρ1sinθ124=1,−ρ2sinθ129+ρ2csθ124=1，
所以csθ129+sinθ124=1ρ12,sinθ129+csθ124=1ρ22，
所以两个式子相加得1ρ12+1ρ22=19+14=1336．
由题意可知OH⋅AB=OA⋅OB，所以OH2=OA2⋅OB2OA2+OB2=ρ12⋅ρ22ρ12+ρ22=3613，
所以点H的轨迹是圆， 所以点H的轨迹C2的方程为x2+y2=3613．
（2）A,B两点间的距离为|AB|=ρ12+ρ22，设x=ρ12∈[4,9]，则ρ22=36x13x−36，
令函数f(x)=x+36x13x−36=13x213x−36，
所以f'(x)=1313x2−72x(13x−36)2，所以f(x)在区间4,7213上是减函数，
在区间7213,9上是增函数． 又f(4)=f(9)=13,f7213=14413，
所以函数f(x)的最大值为13，最小值为14413，
所以A,B两点间的距离|AB|的取值范围是121313,13．
15．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数）．
（1）若直线l1平行于直线l，且与曲线C只有一个公共点，求直线l1的方程；
（2）若直线l与曲线C交于两点P，Q，求△PQO的面积．
【答案】（1）y=x+1；（2）22.
【解析】
（1）因为直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，
所以化为平面直角坐标系下的方程为x−y−1=0，
因为曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数），所以化为普通方程为y2=4x．
因为直线l1平行于直线l，所以可设直线l1的方程为y=x+m，
代入曲线C的方程，可得x2+2m−4x+m2=0，
因为直线l1与曲线C只有一个公共点，
所以Δ=2m−42−4m2=0，解得m=1，
所以直线l1的方程为y=x+1．
（2）由（1）知直线l的方程为x−y−1=0，曲线C的方程为y2=4x，
联立方程组x−y−1=0y2=4x，整理得x2−6x+1=0，所以x1+x2=6，x1x2=1，
所以弦长PQ=1+1x1−x2=2x1+x22−4x1x2=8，
点O到直线l的距离为d=−11+1=12，
所以△PQO的面积为S=12×8×12=22．
16．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转4π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:x=csφy=−1+sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2csθ．
(1)写出曲线C1的极坐标方程，曲线C2的直角坐标方程；
(2)设点M的极坐标为M(2,0)，射线θ=α−π4