苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)第4章一元一次方程(提优卷)特训（学生版+解析）

这是一份苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)第4章一元一次方程(提优卷)特训（学生版+解析），共36页。

姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（本题2分）（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）某商店有甲、乙两个进价不同的计算器，甲卖了120元，乙卖了100元，其中甲盈利，乙亏损，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不赔不赚B．赔了5元C．赚了5元D．赔了10元
2．（本题2分）（2022秋·江苏苏州·七年级苏州市第一初级中学校校考期末）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2023个小正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．673B．674C．675D．676
3．（本题2分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）甲单独做某项工程需天完成，乙单独做该项工程需天完成，现在甲先做天，剩下由甲乙合做．设完成此工程一共用了天，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（本题2分）（2023·江苏扬州·统考一模）学校组织九年级两个班的学生开展“游学”活动，生活委员李想要去面包店给每位同学买一个面包，购买时发现：该面包店的面包8元/个，购买总额达到一定金额时，可以打9.5折，李想经过计算发现只要再多买1个面包就可以打9.5折，价钱会比少买一个还便宜20元．你觉得聪明的李想实际购买的面包个数为（ ）
A．70B．69C．60D．59
5．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（本题2分）（2023春·江苏·七年级专题练习）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（ ）人．
A．14B．16C．18D．20
7．（本题2分）（2023春·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边和上，，，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为（ ）．
A．9B．10C．11D．12
8．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
A．秒或秒
B．秒或秒或秒或秒
C．3秒或7秒或秒或秒
D．秒或秒或秒或秒
9．（本题2分）（2021秋·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（ ）
A．ADB．DCC．BCD．AB
10．（本题2分）（2019·江苏无锡·校联考模拟预测）自行车前后轮胎的使用寿命不同，某种品牌的同样的新轮胎，前轮胎使用寿命为12000千米，后轮胎使用寿命为8000千米．为了使同时购买的前后轮胎同时报废，且使用时间尽可能的长，一般应在行驶a千米时前后轮胎互换，请问a的值为（ ）
A．6000B．5600C．5200D．4800
11．（本题2分）（2022秋·江苏镇江·七年级统考期末）如图，正方形的边长为3，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，则该三角形的面积为 ．
12．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·七年级南师附中宿迁分校校考阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以1cm/s的速度沿运动，最终到达点，在点运动了4秒后点开始以2cm/s的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为秒，当的面积为时，的值为 ．
13．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？设应用钢材做A部件，则可列一元一次方程为 ．（方程不需要化简）
14．（本题2分）（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ．
15．（本题2分）（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）数轴上有两点B和C所对应的数分别为和30，动点P和Q同时从原点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．当P，Q之间的距离为3时，则运动时间为 ．
16．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·七年级统考开学考试）如图，在数轴上，、两点同时从原点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度向右运动，运动的时间为，若线段上（含线段端点）恰好有个整数点，则时间的最小值是 ．
17．（本题2分）（2022秋·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校联考期末）若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ．
18．（本题2分）（2021秋·江苏苏州·七年级校考期末）如图，在直角三角形中，，，，，是的中点，点从点出发，以每秒的速度沿的路径匀速运动，当到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，当 时，三角形的面积为．
19．（本题2分）（2023秋·江苏·七年级专题练习）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升．
20．（本题2分）（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）将长为，宽为的长方形纸片（）如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若第次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则的值为 ．
21．（本题6分）（2022秋·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）计算、解方程：
(1)； (2)．
； (4)．
22．（本题6分）（2023秋·江苏·七年级专题练习）活动三：观察月历
(1)月历中右上角方框中的四个数之间有什么关系？任意一个这样的方框都存在这样的规律吗？
(2)月历中中间方框中的个数之间有什么关系？
(3)小明一家外出旅游天，这天的日期之和是．你能说出小明几号回家？
23．（本题8分）（2020秋·江苏南京·七年级统考期末）小莉和她爸爸两人沿长江边扬子江步道匀速跑步，他们从渡江胜利纪念馆同时出发，终点是绿博园．已知小莉比她爸爸每步少跑，两人的运动手环记录时间和步数如下：
(1)表格中表示的结束时间为___________，___________．
(2)小莉和她爸爸两人每步分别跑多少米？
(3)渡江胜利纪念馆到绿博园的路程是多少米？
24．（本题8分）（2023·江苏·七年级假期作业）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”；如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如：，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”．
(1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．（填序号）
①
②
③
(2)若数对是“差积等数对”，求x的值．
(3)是否存在非零的有理数m，n，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
（提示：例如）
25．（本题8分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）某超市第一次用3000元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品100件，乙种商品150件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵10元．甲种商品售价为15元/件，乙种商品售价为35元/件．（注：利润=售价-进价）
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？
26．（本题8分）（2023·江苏镇江·校联考一模）某运动服装品牌旗舰店在三月分批购进A款卫衣和B款训练裤共计80件．A款卫衣的进价是每件200元，售价是每件320元；B款训练裤的进价是每条150元，售价是每条260元．店长在四月初盘账时发现，A款卫衣和B款训练裤深受青少年欢迎，三月所进的货销售一空，且一共获利9370元，请问该旗舰店在三月共购进多少件A款卫衣？
27．（本题8分）（2022秋·江苏镇江·七年级统考期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且

(1)填空，_______________，_______________；
(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，已知点为数轴上一动点，且满足，求出点表示的数；
(3)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在、两点之间上，且的值始终是一个定值，求点运动的方向及的值，
28．（本题8分）（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点出发沿移动，且点的速度是，设运动的时间为秒，若点与点、点连线所围成的三角形的面积表示为．

(1)当秒时， ；
(2)当时， 秒；
(3)如图2，若在点P运动的同时，点Q也从C点同时出发，沿C→B运动，速度为，若点与点、点连线所围成的的面积表示为，当时，求t的值．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节真题汇编检测卷（提优）
第4章 一元一次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：较难
1．（本题2分）（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）某商店有甲、乙两个进价不同的计算器，甲卖了120元，乙卖了100元，其中甲盈利，乙亏损，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不赔不赚B．赔了5元C．赚了5元D．赔了10元
【答案】B
【分析】设甲的进价为元，由题意得，，解得，，则甲的盈利为元，设乙的进价为元，由题意得，，解得，，则乙亏损了元，由，可知这家商店赔了5元，然后作答即可．
【详解】解：设甲的进价为元，
由题意得，，解得，，
∴甲的盈利为元，
设乙的进价为元，
由题意得，，解得，，
∴乙亏损了元，
∴，
∴这家商店赔了5元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，负数的意义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．（本题2分）（2022秋·江苏苏州·七年级苏州市第一初级中学校校考期末）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2023个小正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．673B．674C．675D．676
【答案】B
【分析】根据前几次操作的结果得出规律：第n次操作得到了个小正方形，进而可得方程，解方程即可求出答案.
【详解】解：第一次操作得到了4个小正方形，，
第二次操作得到了7个小正方形，，
第三次操作得到了10个小正方形，，
……，
所以，第n次操作得到了个小正方形；
当时，解得：，
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究和简单的一元一次方程的应用，得出规律是解题的关键.
3．（本题2分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）甲单独做某项工程需天完成，乙单独做该项工程需天完成，现在甲先做天，剩下由甲乙合做．设完成此工程一共用了天，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“甲先做天，乙再参加合做”找到等量关系列出方程即可．
【详解】由题意可得：，
故选：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据工作量之间的关系列出方程．
4．（本题2分）（2023·江苏扬州·统考一模）学校组织九年级两个班的学生开展“游学”活动，生活委员李想要去面包店给每位同学买一个面包，购买时发现：该面包店的面包8元/个，购买总额达到一定金额时，可以打9.5折，李想经过计算发现只要再多买1个面包就可以打9.5折，价钱会比少买一个还便宜20元．你觉得聪明的李想实际购买的面包个数为（ ）
A．70B．69C．60D．59
【答案】A
【分析】设李想实际购买的面包个数为x个,则打算购买少买一个为个，然后根据“李想经过计算发现只要再多买1个面包就可以打9.5折，价钱会比少买一个还便宜20元”列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设李想实际购买的面包个数为x个,则打算购买少买一个为个
则：，解得：．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
5．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意和表中数据填写表格，再根据购买中性笔的单价、购买数量及金额，即可列出方程．
【详解】解：填表如下：
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准数量关系，正确列出方程是解决本题的关键．
6．（本题2分）（2023春·江苏·七年级专题练习）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入了一些水，如果9个人淘水，4小时淘完，如果6个人淘水，10小时才能淘完，假设每个人向外淘水的速度一样，现在要在两个小时内淘完，需要（ ）人．
A．14B．16C．18D．20
【答案】A
【分析】设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，根据“如果9个人淘水，4小时淘完；如果6个人淘水，10小时才能淘完”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可用含z的代数式表示出x，y值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：设x为原有水量，y为每小时进水量，z为每个人每小时向外淘水量，
依题意，得： ．
解得 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（本题2分）（2023春·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边和上，，，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为（ ）．
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】连接，设，则，然后再根据三角形的等分线的性质表示出、、、，进而表示出、、，再根据列出关于x的方程并求解，最后将x的值代入计算即可．
【详解】解：如图：连接，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的等分线、一元一次方程的应用等知识点，根据等分线的知识明确各角间的关系是解答本题的关键．
8．（本题2分）（2022秋·七年级单元测试）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
A．秒或秒
B．秒或秒或秒或秒
C．3秒或7秒或秒或秒
D．秒或秒或秒或秒
【答案】D
【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．
【详解】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t−5|＝2，
∴2t−5＝−2，或2t−5＝2，
解得t＝或t＝；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，
∵PB＝2，
∴|20−2t−5|＝2，
∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2，
解得t＝或t＝．
综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．
9．（本题2分）（2021秋·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（ ）
A．ADB．DCC．BCD．AB
【答案】C
【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇；
……
四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上．
故选择C．
【点睛】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
10．（本题2分）（2019·江苏无锡·校联考模拟预测）自行车前后轮胎的使用寿命不同，某种品牌的同样的新轮胎，前轮胎使用寿命为12000千米，后轮胎使用寿命为8000千米．为了使同时购买的前后轮胎同时报废，且使用时间尽可能的长，一般应在行驶a千米时前后轮胎互换，请问a的值为（ ）
A．6000B．5600C．5200D．4800
【答案】D
【分析】由前轮剩余寿命为，换成后轮后，每跑一千米需损耗寿命，则前轮剩余寿命除以为还能跑的千米数，对后轮同样的分析，根据换轮后还能跑的千米数相等进行列式求解．
【详解】由题意知， ，
解得，，
故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，把一只轮胎的寿命看做1是解题的关键．
11．（本题2分）（2022秋·江苏镇江·七年级统考期末）如图，正方形的边长为3，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，则该三角形的面积为 ．
【答案】6
【分析】设三角形的面积为，根据题意即可列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设三角形的面积为，
根据题意得：，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．
12．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·七年级南师附中宿迁分校校考阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以1cm/s的速度沿运动，最终到达点，在点运动了4秒后点开始以2cm/s的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为秒，当的面积为时，的值为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，①点在上时，点在处；②点在上时；由三角形面积分别求出t的值即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，
分两种情况：
①点在上时，点在处，如图1所示：
∵的面积为，
∴，即，
解得：；
②点在上时，如图2所示：
∵的面积为，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，当的面积为时，的值为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了用一元一次方程解决问题；根据题意正确的列出方程是解题的关键．
13．（本题2分）（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？设应用钢材做A部件，则可列一元一次方程为 ．（方程不需要化简）
【答案】
【分析】设应用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，根据两个A部件和三个B部件刚好配成套，列方程即可．
【详解】解：设应用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．
14．（本题2分）（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】先求出的解，将其代入，求出的值，再将的值代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，整理得：，
∴，
将代入，得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，代数式求值．熟练掌握解一元一次方程的步骤，准确的求出方程的解，是解题的关键．
15．（本题2分）（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）数轴上有两点B和C所对应的数分别为和30，动点P和Q同时从原点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．当P，Q之间的距离为3时，则运动时间为 ．
【答案】秒或3秒或秒或5秒
【分析】分，和三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵B和C所对应的数分别为和30，
∴，
∴点P到达C点的时间为：秒；点Q到达C点的时间为：秒，
①当时，点表示的数为，点表示的数为，
依题意得：，
即或，
解得：或；
②当时，点表示的数为，点表示的数，
依题意，得：，
即或，
解得： 或﹔
③当时，点表示的数为30，点表示的数为，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
综上：当为秒或3秒或秒或5秒时，，之间的距离为3．
故答案为：秒或3秒或秒或5秒．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，找准等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
16．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·七年级统考开学考试）如图，在数轴上，、两点同时从原点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度向右运动，运动的时间为，若线段上（含线段端点）恰好有个整数点，则时间的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，分别表示出两点，秒后对应的数，进而求得的长度，结合题意即可求解．
【详解】解：依题意，秒后对应的数分别为，
∴，
∵线段上（含线段端点）恰好有个整数点，
∴，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意表示出的长是解题的关键．
17．（本题2分）（2022秋·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校联考期末）若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ．
【答案】
【分析】将转化，即可得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于的一元一次方程的解是，
∴一元一次方程的解为：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及解一元一次方程．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
18．（本题2分）（2021秋·江苏苏州·七年级校考期末）如图，在直角三角形中，，，，，是的中点，点从点出发，以每秒的速度沿的路径匀速运动，当到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，当 时，三角形的面积为．
【答案】2.5秒或9秒或16秒
【分析】当点在中点，中点，中点时，三角形的面积为，分别计算时间即可．
【详解】解：，，
，
是的中点，
，
当点在中点，中点，中点时，三角形的面积为，
，
秒或9秒或16秒时，三角形的面积为，
故答案为：2.5秒或9秒或16秒．
【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，能够熟练的通过面积计算底和高是解题关键．
19．（本题2分）（2023秋·江苏·七年级专题练习）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米．……”．问题：有2斗的粟（1斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为 升．
【答案】12
【分析】先将单位换成升，根据：单位的粟，可换得单位的粝米．……，列比例式计算可得结论．
【详解】解：根据题意得：2斗升，
设可以换得的粝米为x升，
则，
解得：，
故2斗的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为12升．
故选：12．
【点睛】本题考查了比例的应用，本题首先要弄清题意，正确列比例式是解决本题的关键．
20．（本题2分）（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）将长为，宽为的长方形纸片（）如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若第次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则的值为 ．
【答案】或
【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为，另一边长为；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为 、；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长为正方形，则可列方程．
【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的长宽分别为、，由，得，第2次操作，剪下的正方形边长为，所以剩下的长方形的两边分别为 、，
①当，即时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、，则，解得；
②，即时则第3次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、，则，解得．
综上，的值为 或．
故答案为： 或．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用及分类讨论思想是解题的关键．
21．（本题6分）（2022秋·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）计算、解方程：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）根据有理数的混合计算法则求解即可；
（3）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程．
【详解】（1）解：；
（2）解：原式
；
（3）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的四则混合计算，解一元一次方程，熟知相关计算方法是解题的关键．
22．（本题6分）（2023秋·江苏·七年级专题练习）活动三：观察月历
(1)月历中右上角方框中的四个数之间有什么关系？任意一个这样的方框都存在这样的规律吗？
(2)月历中中间方框中的个数之间有什么关系？
(3)小明一家外出旅游天，这天的日期之和是．你能说出小明几号回家？
【答案】(1)方框内四个数对角相加相等，任意一个这样的方框都存在这样的规律．
(2)月历中中间方框中的个数的和等于最中间数的倍，两对角线上的数的和相等，都等于最中间数的倍；
(3)6．
【分析】（1）先求出方框内四个数分别为多少，然后从中找出规律；
（2）分别表示出这个数，找出这个数的和以及对角线上数的和与最中间数的关系即可；
（3）先设小明一家号出发，从而表示这天的日期和与相等，从而求出．
【详解】（1）解：从月历中可以得到如下规律∶；
∴方框内四个数对角相加相等．
任意一个这样的方框都存在这样的规律．理由如下：
设左上角的数为，则右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为，
∴，
∴任意一个这样的方框内四个数对角相加相等．
（2）解：设最中间的一个数为，则这九个数可表示为∶，，，，，，，，，
∴，
∴月历中中间方框中的个数的和等于最中间数的倍；
∵两对角线上的数相加：，
∴月历中中间方框中两对角线上的数的和相等，都等于最中间数的倍；
（3）解：设小明一家号回家，则前四天依次为，，，，
可得，
所以，
所以小明号回家．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数字规律，解答本题的关键是得出数字排列规律，此类题目经常考到，同学们注意掌握这类题目的解题思想．
23．（本题8分）（2020秋·江苏南京·七年级统考期末）小莉和她爸爸两人沿长江边扬子江步道匀速跑步，他们从渡江胜利纪念馆同时出发，终点是绿博园．已知小莉比她爸爸每步少跑，两人的运动手环记录时间和步数如下：
(1)表格中表示的结束时间为___________，___________．
(2)小莉和她爸爸两人每步分别跑多少米？
(3)渡江胜利纪念馆到绿博园的路程是多少米？
【答案】(1)
(2)米，米
(3)6000米
【分析】（1）分别根据小莉和爸爸的出发到途中的时间和步数变化，求出每人速度，再根据途中和结束的时间内步数变化求出时间，最后确定两人结束的时间和步数；
（2）由总路程等于步数乘以每步的长度，根据两人路程相等列方程求解；
（3）根据爸爸的步数乘以每步的长度计算总路程即可．
【详解】（1）解：根据题意得：小莉的速度为步/分，
∴途中到结束所用时间为分 ，
∴；
∵爸爸的速度为步/分，
∴途中到结束所走的步数为步 ，
∴步．
（2）解：设小莉的每步跑，则爸爸每分钟跑米，
根据题意得：
，
解得：，
∴．
答：小莉和她爸爸两人每步分别跑0.8米，1.2米．
（3）解：米．
答：渡江胜利纪念馆到绿博园的路程是6000米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、路程问题等知识点，分析出表格信息得出速度、时间、步数及路程的关系是解答本题的关键．
24．（本题8分）（2023·江苏·七年级假期作业）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”；如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如：，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”．
(1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．（填序号）
①
②
③
(2)若数对是“差积等数对”，求x的值．
(3)是否存在非零的有理数m，n，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
（提示：例如）
【答案】(1)②，①
(2)
(3)存在， ，
【分析】（1）根据“和积等数对”和“差积等数对”的定义，逐项判断即可求解；
（2）根据“差积等数对”的定义，可得，再解出即可求解；
（3）根据“和积等数对”和“差积等数对”的定义，可得，，从而得到，可求出，进而得到，然后联立求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴不是“和积等数对”，是“差积等数对”；
∵，
∴，
∴是“和积等数对”，不是“差积等数对”；
∵，
∴，
∴不是“和积等数对”，也不是“差积等数对” ．
故答案为：②，①．
（2）解：由题意得：．
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
假设存在，
由题意得，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，解得：
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、有理数的四则运算等知识点，理解“和积等数对”和“差积等数对”的定义是解题的关键．
25．（本题8分）（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）某超市第一次用3000元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品100件，乙种商品150件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵10元．甲种商品售价为15元/件，乙种商品售价为35元/件．（注：利润=售价-进价）
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？
【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品每件6元，乙种商品每件16元
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得3750元的利润
【分析】（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件元，根据总进价为5000元列出方程并求解即可；
（2）根据利润等于商品件数乘以每件的利润、总利润等于甲种商品的利润加上乙种商品的利润，列式计算即可．
【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元，
由题意得．
解得，则．
答：该超市第一次购进甲种商品每件6元，乙种商品每件16元；
（2）解：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润为：
（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得3750元的利润
【点睛】本题考查了一元一次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
26．（本题8分）（2023·江苏镇江·校联考一模）某运动服装品牌旗舰店在三月分批购进A款卫衣和B款训练裤共计80件．A款卫衣的进价是每件200元，售价是每件320元；B款训练裤的进价是每条150元，售价是每条260元．店长在四月初盘账时发现，A款卫衣和B款训练裤深受青少年欢迎，三月所进的货销售一空，且一共获利9370元，请问该旗舰店在三月共购进多少件A款卫衣？
【答案】该旗舰店在三月共购进57件A款卫衣
【分析】设该旗舰店在三月共购进x件A款卫衣，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设该旗舰店在三月共购进x件A款卫衣，由题意得：
，
解得：；
答：该旗舰店在三月共购进57件A款卫衣．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
27．（本题8分）（2022秋·江苏镇江·七年级统考期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且

(1)填空，_______________，_______________；
(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，已知点为数轴上一动点，且满足，求出点表示的数；
(3)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在、两点之间上，且的值始终是一个定值，求点运动的方向及的值，
【答案】(1)，
(2)或
(3)从原点向左运动，的值为
【分析】（1）利用非负数的意义即可求得结论；
（2）分两种情况讨论解答：①点在点的左侧，②点在点的右侧解答即可；
（3）分点向左运动和向右运动两种情形解答，依据题意列出的值的式子，整理后使得的系数为即可求得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：设点在数轴上表示的数为，
①点在点的左侧时，
∵，，，
∴．
解得：；
②点在点的右侧时，
∵，，，
∴．
解得：．
综上，点表示的数为或；
所以表示的数是或；
（3）解：①当点从原点向左运动时，
因为的值始终是一个定值．
所以
则．
所以点运动的方向为从原点向左运动，的值为．
当点从原点向右运动时．
）
，
因为的值始终是一个定值．
所以
所以．
因为
所以此种情形不存在．
综上，点运动的方向为从原点向左运动，的值为．
【点睛】本题主要考查了数轴、列代数式，求代数式的值，非负数的意义，整式的加减，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
28．（本题8分）（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点出发沿移动，且点的速度是，设运动的时间为秒，若点与点、点连线所围成的三角形的面积表示为．

(1)当秒时， ；
(2)当时， 秒；
(3)如图2，若在点P运动的同时，点Q也从C点同时出发，沿C→B运动，速度为，若点与点、点连线所围成的的面积表示为，当时，求t的值．
【答案】(1)12
(2)2或10
(3)t的值为2或6或10.8
【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式推出当时，则点在上或上，即或，据此即可求解；
（3）分三种情况：①当点在边上时，②当点在边上时，③当点在边上时，求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，，
，
当时，，
，
故答案为：12；
（2）当时，根据三角形面积公式得到的边上的高为，
则点在上或上，即或，
当时，，
当时，，
综上，时，则或10，
故答案为：2或10；
（3）①如下图，当点在边上时，，，
显然，

当时，则，
；
②如下图，当点在边上时，，，
显然，

当时，则，
；
③如下图，当点在边上时，
，，

此时无法判断与的大小，
当时，则，
（舍去），
当时，则，
．
综上，当时，的值为2或6或．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质、三角形的面积是解题的关键．
评卷人
得分
一、选择题（每题2分，共20分）
商品
单价（元/支）
购买数量/支
购买金额/元
铅笔
中性笔
总计
13
34
评卷人
得分
二、填空题（每题2分，共20分）
评卷人
得分
三、解答题（共60分）
出发
途中
结束
出发
途中
结束
时间
7：00
7：10
a
时间
7：00
7：10
7：25
小莉的步数
1308
3182
8808
爸爸的步数
2168
4168
b
评卷人
得分
一、选择题（每题2分，共20分）
商品
单价（元/支）
购买数量/支
购买金额/元
铅笔
中性笔
总计
13
34
商品
单价（元/支）
购买数量/支
购买金额/元
铅笔
中性笔
总计
评卷人
得分
二、填空题（每题2分，共20分）
评卷人
得分
三、解答题（共60分）
出发
途中
结束
出发
途中
结束
时间
7：00
7：10
a
时间
7：00
7：10
7：25
小莉的步数
1308
3182
8808
爸爸的步数
2168
4168
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