山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二二部上学期10月月考数学试题

这是一份山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二二部上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标是
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ）
A．A与B，A与，与B，与都相互独立
B．与是对立事件
C．
D．
7．已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．或
8．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．与共线
C．与所成角为锐角D．，，，可作为空间向量的一组基底
10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．如果，那么
C．如果与互斥，那么D．如果与相互独立，那么
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是平面的一个法向量B．四点共面
C．D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知，，点在轴上，且，则点的坐标为 .
13．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 .
14．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 .
四、解答题
15．已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点.
(1)用，，表示；
(2)求的值.
16．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
17．已知空间三点，设．
(1)若，，求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与互相垂直，求k．
18．第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，a，b，通过初赛后，甲、乙、丙3位选手通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．其中，甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为.
(1)求a，b的值；
(2)求这3人至少一人参加市知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
19．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.

(1)求证：.
(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.
2023级二部高二10月份月考试题 数学参考答案：
1．D
【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.
【详解】由题可知，，
又，所以，解得，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案．
【详解】如图，

由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果，
所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为，
故选：C．
3．B
【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.
【详解】向量，则，
因，于是得，解得，
所以.
故选：B.
4．D
【分析】由题意且与不共线，利用向量共线和数量积的坐标运算求解.
【详解】，
当时，有，解得，此时，与夹角为，
所以与夹角不可能为，
与夹角为锐角时，有，解得，
则实数的取值范围是.
故选：D.
5．C
【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B选项错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，C选项正确；
对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，D选项错误.
故选：C.
6．A
【分析】由独立事件的定义以及乘法公式判断AC，由对立事件的定义、互斥事件的概率公式判断D.
【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响，
则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确；
对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：
，故D错误；
故选：A
7．D
【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解.
【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或，
因为，所以或，
由题可知，
，
故或，
或．
故选：D.
8．C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，以分别为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，则，
因为平面，所以，
即，解得，
所以，所以，
又，所以当时，即是的中点时，取得最小值，
当或，即与点或重合时，取得最大值，
所以线段长度的取值范围为.
故选：C
9．BC
【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.
【详解】对A：，故与不垂直，故A错误；
对B：由、，有，故与共线，故B正确；
对C：，且与不共线，
故与所成角为锐角，故C正确；
对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项.
【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误；
B选项：若，则，B选项正确；
C选项：与互斥，那么，C选项正确；
D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；
故选：BCD.
11．AD
【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.
【详解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；
设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；
，所以与不平行，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
12．
【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式列出方程即可得解.
【详解】设点P的坐标为，
依题意得，解得，
所以点P的坐标为.
故答案为：
13．
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.
【详解】由条件可得，，
所以在方向上的投影向量的坐标为
.
故答案为：
14．
【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.
【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为，
所以李华最终通过面试的概率为.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案.
（2）利用空间向量的数量积运算律计算即得.
【详解】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点，
，
所以
.
（2）正四面体的棱长为1，则，
所以.
16．(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出.
（2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平.
【详解】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B，
则，
由己知得，解得，
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个，
用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，
表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，．
可得，
记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
17．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．
【详解】（1）因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
（2）因为
所以与的夹角的余弦值为；
（3）因为与互相垂直，
所以
或.
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先计算出这三人各自能参加市亚运知识竞赛的概率，再利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；
（2）结合（1）问，利用对立事件的概率公式计算即可；
（3）计算出三人中有两人通过初赛的概率，再利用概率的加法公式计算即可.
【详解】（1）甲能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；
乙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；
丙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；
由于他们之间通过与否互不影响,
所以甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率，
解得：，
乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，解得：，
（2）结合（1）问可知：这3人都不能代表A社区参加市知识竞赛的概率:
，
所以这3人至少一人参加市知识竞赛的概率为：.
（3）由题意可得：要使奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲，乙，丙三人获得的奖金之和为1200元”为事件B,
则.
19．(1)证明见解析
(2)点为的中点
【分析】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，再根据即可证明.
（2）设，根据平面PCB得到，，即可得到答案.
【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），

设，则，，，，，，
所以，，
所以，
所以.
（2）因为平面PAD，设，
所以.
由（1），知，.
因为平面PCB，
所以，
，
所以，，
所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
C
A
D
C
BC
BCD
题号
11









答案
AD