广东省佛山市第一中学2024届高三下学期教学情况测试（二）数学A卷

这是一份广东省佛山市第一中学2024届高三下学期教学情况测试（二）数学A卷，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则=（ ）
A．2B．4C．D．
3．已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．，是异面直线，B．，是相交直线，
C．，是异面直线，与不垂直D．，是相交直线，与不垂直
5．若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．15
8．木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点和棱的中点处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积（ ）

A．4B．C．6D．
二、多选题
9．双曲线的左、右焦点分别为，且的两条渐近线的夹角为，若（为的离心率），则（ ）
A．B．
C．D．的一条渐近线的斜率为
10．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．在上可能单调递减
B．若在上单调递增，则
C．是的一个对称中心
D．所有的对称中心在同一条直线上
11．投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ）
A．和互为对立事件B．事件和不互斥
C．事件和相互独立D．事件和相互独立
三、填空题
12．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为 ．
13．在中，，则 .
14．如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为 .
四、解答题
15．如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.
(1)求证：，，，四点共面：
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
16．随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
17．已知且.
(1)当时，求证：在上单调递增;
(2)设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．定义：若变量，且满足：，其中，称是关于的“型函数”.
(1)当时，求关于的“2型函数”在点处的切线方程；
(2)若是关于的“型函数”，
（i）求的最小值：
（ii）求证：，.
19．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
(1)当，时，写出所有满足的数对序列；
(2)当时，证明：；
(3)当为奇数时，记的最大值为，求.
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学
9天
6天
12天
3天
张老师
6天
6天
6天
12天
参考答案：
1．D
【分析】先求集合，再根据集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确；
故选：D.
2．A
【分析】由复数除法法则可算得z，后可计算模长.
【详解】由题，，
则，.
故选：A
3．B
【分析】利用给定条件得到，再利用分离参数法求解参数范围即可.
【详解】若是的充分不必要条件，故在时恒成立，
故得，令，由二次函数性质得在时单调递增，
则，可得，故B正确.
故选：B
4．A
【分析】先用定理判断，是异面直线，再证明与垂直，连接，即可得到平面，取的中点，连接，，从而得到、，即可证明平面，从而得解．
【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过点的直线是异面直线．
下面证明与垂直：
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，分别为的中点，连接，
所以，
因为，平面，
所以平面，
如图：取的中点，连接，，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为，
所以，
又因为为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
故选：A．
5．A
【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解.
【详解】对于，有，令切点为，则切线方程为，
即，即有，
令，则，
当时，f′x>0，当时，f′x