2023-2024学年四川省广安市广安区友实学校八年级（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年四川省广安市广安区友实学校八年级（下）期中数学试卷-普通用卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图象中，表示y是x的一次函数的是( )
A. B. C. D.
2.若二次根式 m−2024在实数范围内有意义，则m取值范围是( )
A. m=2024B. m>2024
C. m≤2024D. m−20232≥12⇒m≥2024
3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=10，则CD=( )
A. 10B. 6C. 8D. 5
4.下列各点中在函数y=−x+3的图象上的点是( )
A. (−1,2)B. (−1,−2)C. (1,−4)D. (1,2)
5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为( )
A. 14°
B. 15°
C. 30°
D. 31°
6.如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是( )
A. 7B. 7C. 5D. 1
7.如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是( )
A. 12cmB. 16cmC. 18cmD. 24cm
8.下列图象中可能是一次函数y=mx−3的图象的是( )
A. B.
C. D.
9.下列说法中，错误的是( )
A. 平行四边形的对角线相等B. 平行四边形的对角相等
C. 有一个角是90°的菱形是正方形D. 矩形的对角线相等且互相平分
10.甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y(km)与时间t(ℎ)的对应的关系如图所示，则下列结论正确的有几个( )
①甲车的平均速度为60km/ℎ．
②乙车的平均速度为100km/ℎ．
③甲乙两车在10：00时相遇．
④乙比甲车先到达B地．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本题共10小题，共30分）
11.在函数y=3x−1中，自变量x的取值范围是______．
12.一次函数y=x−2的图象不经过第______象限．
13.若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
14.若函数y=2x+m2−1是关于x的正比例函数，则m= ______．
15.四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为______．
16.定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb.若2※(−2)=1，则(−3)※3的值是______．
17.如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则∠ABC的度数为______．
18.如图，△AOB在直角坐标系中，OA= 2,OB=2，C点在线段OB上，D点在线段AB上，将△BCD沿直线CD折叠后，B点与A重合，则点C坐标是______．
19.四边形ABCD是平行四边形，AB=6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE=2，则▱ABCD的周长为______．
20.如图，直线l：y=− 33x− 33与x轴负半轴交于点A1，以OA1为边构造等边三角形OA1B1；过B1作B1A2/​/OA1交直线l于点A2，以B1A2为边构造等边三角形B1A2B2，⋯按此规律进行下去，则点B100的横坐标为______．
三、解答题（本题共8小题，共64分）
21.计算：
(1) 8−2 2− (−2)2；
(2) 2× 6+(2024−π)0−2 6÷ 2．
22.已知y与x−3成正比例，且当x=2时，y=−2，求y关于x的解析式．
23.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在BC，AD上，且BM=DN．
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)当CN= 6,DN= 2,CD=2 2时，求∠AMC．
24.在平面直角坐标系中，一次函数y=x−3图象与正比例函数y=−2x的图象交于点P．
(1)求交点P的坐标；
(2)观察图象，直接写出关于x的不等式x−3>−2x的解集．
25.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，若DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．
(1)求E应建在距A多远处？
(2)DE和EC垂直吗？试说明理由．
26.广安友实学校非常注重培养学生实践操作能力，今年初二年级生物实验操作考试取得了非常好的成绩，考试期间，学校计划租用18辆客车送720名学生参加考试，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示，已知两种客车都要租用.设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
(1)求出y(元)与x(辆)之间函数关系式；
(2)已知租车总载客量不小于总人数720人，选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？
27.如图，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC//FD，CD//BE，连接AC，交BD于点O．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)探究：当∠DEF= ______°时，四边形ABCD是正方形，并证明你的结论．
28.如图，平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A(0,1)，交x轴于点B(3,0).直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点，在点D的上方，设P(1,n)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示)；
(3)当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵y是x的一次函数，
∴函数的图象是直线．
故选：D．
根据一次函数的性质解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象是一条直线是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 m−2024在实数范围内有意义，
∴x−2024≥0，
解得：m≥2024．
故选：D．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式的有意义的条件．熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，且AB=10，
∴CD=12AB=12×10=5，
故选：D．
根据直角三角形斜边上的中线定理即可求解．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，熟悉掌握斜边上的中线与斜边的数量关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：当x=−1时，y=4，(−1,2)，(−1,−2)不在函数y=−2x+3的图象上，当x=1时，y=2，(1,−4)不在函数y=−2x+3的图象上；
故选：D．
分别将各个点的值代入函数中满足的即在图象上．
本题考查一次函数问题，关键是根据在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=90°，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，
又∵AB=AE，
∴∠ABE=12×(180°−150°)=15°．
故选：B．
证明AB=AE，∠BAE=150°，可得结论．
此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设第三边为a，
当4为斜边时，则a= 42−32= 16−9= 7，
当a为斜边时，则a= 42+32=5，
四个选项，符合题意的是A，
故选：A．
设第三边为a，再分情况讨论即可．
本题考查的是勾股定理的应用，关键是勾股定理的熟练应用．
7.【答案】A
【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
则EF，DE，DF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC，
又∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴EF=5cm，DE=4cm，DF=3cm，
则△DEF的周长是5+4+3=12cm，
故选：A．
根据三角形中位线等于第三边的一半的性质推理解题．
本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线的性质易得所求三角形的三边是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当m>0时，一次函数y=mx−3的图象过一、三、四象限；
当m<0时，一次函数y=mx−3的图象过二、三、四象限；
符合条件的为C选项，
故选：C．
根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到一次函数y=mx−3的图象经过哪几个象限．
本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9.【答案】A
【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故本选项的说法错误，符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项的说法正确，不符合题意；
C、有一个角是90°的菱形是正方形，故本选项的说法正确，不符合题意；
D、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项的说法正确，不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的性质及特殊平行四边形的性质及判定解决问题．
本题考查平行四边形的性质及特殊平行四边形的性质，熟练掌握相关图形的性质及判定方法是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：甲车5小时行了300km，甲车的平均速度为60km/ℎ，故①正确．
乙车3小时行了300km，乙车的平均速度为100km/ℎ，故②正确．
设乙出发xℎ追上甲，则100x=60+60x，解出x=1.5，
甲乙两车在10：30时相遇，故③错误．
乙车12：00到达B地，甲车13：00到达B地，故④正确．
故选：C．
由速度等于路程除以时间可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻．
本题考查函数的图象中，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
11.【答案】x≠1
【解析】解：由题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
根据分式的分母不为0得x−1≠0，然后进行计算即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，关键掌握分式的分母不等于零．
12.【答案】二
【解析】解：∵一次函数y=x−2，
∴k=1，b=−2，
∴一次函数y=x−2的图象经过第一、三、四象限，
∴一次函数y=x−2的图象不经过第二象限．
故答案为：二．
根据一次函数的解析式，可得k=1，b=−2，再由一次函数图象性质，可得一次函数y=x−2的图象经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数的性质，准确掌握一次函数的图象性质是解题的关键．
13.【答案】24
【解析】解：如图：菱形ABCD中AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积=12AC⋅OD，△BAC的面积=12AC⋅OB，
∴菱形ABCD的面积=△DAC的面积+△BAC的面积=12AC⋅(OD+OB)=12AC⋅BD=12×8×6=24．
故答案为：24．
14.【答案】±1
【解析】解：由y=2x+m2−1是关于x的正比例函数，得
m2−1=0，
解得m=±1，
故答案为：±1．
根据形如y=kx (k是不为零的常数)，可得答案．
本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1，常数项为零．
15.【答案】(2, 3)
【解析】解：由题意得：AD′=AD=2，AO=12AB=1，
∴OD′= AD′2−OA2= 3，
∵C′D′=2，C′D′/​/AB，
∴C′(2, 3)，
故答案为：(2, 3)．
由已知条件得到AD′=AD=2，AO=12AB=1，根据勾股定理得到OD′= AD′2−OA2= 3，再根据C′D′的长度进而即可得出结论．
本题考查了三角形的稳定性，正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：(1) 8−2 2− (−2)2
=2 2−2 2−2
=−2；
(2) 2× 6+(2024−π)0−2 6÷ 2
=2 3+1−2 3
=1．
【解析】(1)先化简二次根式，计算算术平方根，再合并即可；
(2)先计算二次根式的乘法运算，零次幂，二次根式的除法运算，再合并即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键．
17.【答案】解：∵y与x−3成正比例，
∴设y=k(x−3)(k≠0)，
将x=2，y=−2，代入得：−2=k(2−3)，
解得k=2，
所以，y=2(x−3)=2x−6，
所以y与x的函数表达式为：y=2x−6．
【解析】根据成正比例的定义，设y=k(x−3)(k≠0)，然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解．注意成正比例的定义设出函数关系式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∵BM=DN，
∴AD−DN=BC−BM，
即AN=CM，
又∵AN/​/CM，
∴四边形AMCN是平行四边形．
(2)解：∵CN= 6，DN= 2，CD=2 2，
∴CN2+DN2=CD2，
∴∠CND=90°，
∴∠ANC=90°，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴∠AMC=∠ANC=90°．
【解析】(1)先证明AN=CM，结合AN/​/CM，从而可得结论；
(2)先证明CN2+DN2=CD2，可得∠CND=90°，可得∠ANC=90°，再结合平行四边形的性质可得结论．
本题考查的是平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键；
19.【答案】解：(1)∵一次函数y=x−3图象与正比例函数y=−2x的图象交于点P．
∴y=x−3y=−2x，
解得：x=1y=−2，
∴P(1,−2)；
(2)观察图象，直接写出关于x的不等式x−3>−2x的解集为x>1．
【解析】(1)先联立函数解析式，再建立方程组，再解方程组即可得到交点坐标；
(2)利用函数图象可得答案．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
20.【答案】解：(1)设AE=x，则BE=25−x，
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=152+(25−x)2，
由题意可知：DE=CE，
所以：102+x2=152+(25−x)2，
解得：x=15．
所以E应建在距A点15km处；
(2)垂直，
∵在Rt△AED和Rt△BCE中DE=ECAE=CB=15，
∴Rt△AED≌Rt△BCE(HL)，
∴∠AED=∠C，
∵CB⊥AB，
∴∠B=90°，
∴∠C+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°−90°=90°，
∴DE⊥CE．
【解析】(1)AE=x，则BE=25−x，=根据勾股定理可得DE2=AD2+AE2=102+x2，CE2=BC2+BE2=152+(25−x)2，由DE=CE可得102+x2=152+(25−x)2，再解方程即可；
(2)首先证明Rt△AED≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质可得∠AED=∠C，再证明∠AED+∠BEC=90°，即可得到∠DEC=90°，进而得到DE和EC垂直．
此题主要考查了勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握勾股定理，表示出DE2和CE2.用方程思想计算出AE的长．
21.【答案】−23
【解析】解：∵2※(−2)=1，
∴x2+y−2=1，
∴x−y=2．
∴(−3)※3=x−3+y3
=−13(x−y)
=−13×2
=−23．
故答案为：−23．
利用新定义的规定列式求得(x−y)的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可．
本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
22.【答案】45°
【解析】解：如图，连接AC，
∵△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中，
∴AB2=12+32=10，AC2=12+22=5，BC2=22+12=5，
∴AB2=BC2+AC2，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，∠ABC=45°．
故答案为：45°．
根据勾股定理，求出AB，AC，BC，再根据勾股定理的逆定理，即可求出△ABC是等腰直角三角形，从而可得答案．
本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的运用．
23.【答案】(12,0)
【解析】解：设OC=a，则BC=OB−OC=2−a，
由折叠可知，AC=BC=2−a，
在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2，即：( 2)2+a2=(2−a)2，
解得：a=12，即OC=12，
∴点C坐标是(12,0)，
故答案为：(12,0)．
设OC=a，由折叠可知，AC=BC=2−a，在Rt△AOC中，根据OA2+OC2=AC2列出方程求解a，即可推理答案．
本题考查勾股定理，翻折变换，坐标与图形的变化—平移，根据OA2+OC2=AC2列出方程求解是解决问题的关键．
24.【答案】20或28
【解析】解：当E点在线段BC上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC/​/AD，
∴∠BEA=∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB，
∵AB=6，
∴BE=6，
∵CE=2，
∴BC=BE+CE=6+2=8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×(6+8)=28，
当E点在BC延长线上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA=∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB，
∵AB=6，
∴BE=6，
∵CE=2，
∴BC=BE−CE=6−2=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×(6+4)=20，
综上，平行四边形ABCD的周长为20或28．
本题主要考查平行四边形的性质，证明BE=AB，求解BE的长是解题的关键．
25.【答案】−99012
【解析】解：∵直线l：y=− 33x− 33与x轴负半轴交于点A1，
∴点A1坐标为(−1,0)，
∴OA1=1，
过B1，B2，作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A2B1于点D，交x轴于点N，
∵△AB1O为等边三角形，
∴∠OB1M=30°，
∴MO=12A1O=12，
∴B1M= B1O2−OM2= 12−(12)2= 32，
∴B1(−12, 32)，
当y= 32时， 32=− 33x− 33，
解得：x=−52，
∴A2B1=2，
∴B1D=12A2B1=1，
∴NO=MO+MN=MO+B1D=12+1=32，
∴B2N= B2O2−ON2= (2+1)2−(32)2=3 32，
∴B2(−32,3 32)；
同理得出，B3(−72,7 32)，B4(−132,13 32)，B5(−212,21 32)，B6(−312,31 32)，
∴B1的横坐标为−1×(1−1)+12=−12，B2的横坐标为−2×(2−1)+12=−32，B3的横坐标为−3×(3−1)+12=−72，B4的横坐标为−4×(4−1)+12=−132，B5的横坐标为−5×(5−1)+12=−212，B6的横坐标为−6×(6−1)+12=−312，，Bn的横坐标为−n×(n−1)+12，
∴B100的横坐标为−100(100−1)+12=−99012，
故答案为：−99012．
由直线直线l：y=− 33x− 33可知，点A1坐标为(−1,0)，可得OA1=1，由于△OA1B1是等边三角形，可得点B1(−12, 32)，把y= 32代入直线解析式即可求得A2的横坐标，可得A2B1=2，由于△B2A2B1是等边三角形，可得点B2(−32,3 32)；同理，B3(−72,7 32)，B4(−132,13 32)，B5(−212,21 32)，B6(−312,31 32)，发现规律即可得解．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，等边三角形的性质判定，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(18−x)辆，
由题意可得出：y=120x+100(18−x)=20x+1800；
(2)∵50x+30(18−x)≥720，
∴20x≥180，
∴x≥9，
∴9≤x<18，x为整数；
y=20x+1800中k=20>0
∴y随x的增大而增大
∴当x=9时，y的值最小．
其最小值y=9×20+1800=1980元．
则租用甲种客车9辆，租用乙种客车9辆，所需的费用最低，最低费用1980元．
【解析】(1)根据租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(18−x)辆，进而表示出总租金即可．
(2)先确定自变量的取值范围．由结合一次函数的性质可得答案．
本题考查一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．要会利用题中的不等关系找到x的取值范围，并根据函数的增减性求得y的最小值是解题的关键．
27.【答案】90
【解析】(1)证明：∵BC//FD，CD//BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∵四边形BDEF是菱形，
∴FD⊥BE，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：当∠DEF=90°时，四边形ABCD是正方形，
证明：∵四边形BDEF是菱形，∠DEF=90°，
∴四边形BDEF是正方形，
∴AD=12DF，AB=12BE，
∵DF=BE，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形
故答案为：90．
(1)根据BC//FD，CD//BE判定四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的性质得出∠BAD=90°，从而证得四边形ABCD是矩形；
(2)根据正方形的判定定理得到四边形BDEF是正方形，求得AD=12DF，AB=12BE，得到AB=AD，根据正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
28.【答案】解：(1)设直线AB的解析式是y=kx+b，
把点A(0,1)，点B(3,0)代入得
解得
∴直线AB的解析式是y=−13x+1；
(2)∵P(1,n)，
∴D(1,23)，PD=n−23，
；
(3)当S△ABP=2时，32n−1=2，解得n=2，
∴点P(1,2)．
∵E(1,0)，
∴PE=2−0=2，BE=3−1=2，
∴PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP=45°．
①如图1，∠CPB=90°，PC=PB，
过点C作CN⊥直线x=1于点N．
∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，
∴∠NPC=∠EPB=45°．
在△CNP与△BEP中，
∴△CNP≌△BEP(AAS)，
∴NC=PN=PE=EB=2，
∴NE=PN+PE=2+2=4，
∴C(3,4)；
②如图2，∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠FBC=∠EBP=45°．
在△CBF与△PBE中，
∴△CBF≌△PBE(AAS)．
∴BF=CF=PE=BE=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，
∴C(5,2)；
③如图3，∠PCB=90°，CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP=∠EPB=∠EBP=45°，
∴四边形BCPE是正方形，
∴CP=CB=PE=BE=2，
∴C(3,2)．
综上所述，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是(3,4)或(5,2)或(3,2)．
【解析】【分析】
(1)利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
(2)用n表示出PD，利用求解即可；
(3)先计算当S△ABP=2时点P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论，画出图形，根据图形可得点C的坐标．
【点评】
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，求得直线AB的解析式是解题关键．甲种客车
乙种客车
载客量(人/辆)
50
30
租金(元/辆)
120
100