江苏省南京市第九中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省南京市第九中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，下列四个命题中正确的是，下列四个命题是真命题的是，若a＜0＜b，且a+b＞0，则等内容，欢迎下载使用。

1．若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A．（﹣3，0）B．[﹣3，0 ）C．[﹣3，0]D．（﹣3，0]
2．已知集合，集合，则（ ）
A．M∈NB．
C．M＝ND．
3．已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ab2＞bc2B．ab2＞b2c
C．（ab﹣ac）（b﹣c）＞0D．（ac﹣bc）（a﹣c）＞0
4．已知正实数a，b满足2a+b＝1，则的最小值为（ ）
A．3B．9C．4D．8
二．多选题（共5小题）
（多选）5．下列四个命题中正确的是（ ）
A．方程的解集为{2，﹣2}
B．由所确定的实数集合为{﹣2，0，2}
C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）}
D．中含有三个元素
（多选）6．已知实数a，b∈R+，且2a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．ab的最大值为B．a2+b2的最小值为
C．的最小值为6D．
（多选）7．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x+1）的定义域为[﹣3，1]
B．函数的值域为
C．若函数y＝x2+mx+4的两个零点都在区间为（1，+∞）内，则实数m的取值范围为（﹣5，﹣4）
D．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在区间[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）
（多选）8．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是（ ）
A．m≤﹣2B．m＜﹣2C．m＜2D．﹣4＜m＜﹣3
（多选）9．若a＜0＜b，且a+b＞0，则（ ）
A．B．
C．|a|＜|b|D．（a﹣1）（b﹣1）＜0
三．填空题（共4小题）
10．定义在R上的函数f（x）满足，则＝ ．
11．若命题“∃x∈[﹣1，2]，使得x2+mx﹣m﹣5≥0”是假命题，则m的取值范围是 ．
12．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣3，+∞），则关于x的不等式ax2+bx＜0的解集为 ．
13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B＝∠C且7a2+b2+c2＝4，则△ABC的面积的最大值为 ．
四．解答题（共5小题）
14．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足．
（1）若a＝1，且命题p、q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
15．已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，
（1）确定f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
16．已知函数f（x）＝x2+ax+3，a∈R
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，函数有意义，求实数a的取值范围．
（3）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣2）x+a，函数y＝g[g（x）]的最小值是5，求实数a的值．
17．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．
（1）求xy的取值范围；
（2）求x+y的取值范围．
18．已知关于x的函数和．
（1）若y1≥y2，求x的取值范围；
（2）若关于x的不等式（其中0＜t≤2）的解集D＝[m，n]，求证：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：k＝0时，﹣＜0恒成立，故满足题意；
k≠0时，，
∴﹣3＜k＜0．
∴实数k的取值范围是（﹣3，0]．
故选：D．
2．【解答】解：＝{x|x＝12k，k∈N*}，
＝{x|x＝24k，k∈Z}，故A错误，C错误，
当x＝﹣12时，，既不在集合M，也不在集合N，故B错误；
当元素满足为24的正整数倍时，
比满足为12的正整数倍，
故M∩N＝，故D正确，
故选：D．
3．【解答】解：因为a＞b＞c，且a+b+c＝0，所以a＞0，c＜0，
对于A，由于a＞c，而当b＝0时，ab2＝bc2，故A错误；
对于B，当b＝0时，ab2＝b2c，故B错误；
对于C，由于a＞0，b＞c，则b﹣c＞0，所以（ab﹣ac）（b﹣c）＝a（b﹣c）（b﹣c）＞0，故C正确；
对于D，因为a＞b＞c，所以a﹣b＞0，a﹣c＞0，又c＜0，
所以（ac﹣bc）（a﹣c）＝c（a﹣b）（a﹣c）＜0，故D错误．
故选：C．
4．【解答】解：因为正实数a，b满足2a+b＝a+a+b＝1，
则＝＝＝＝5++＝9，
当且仅当a+b＝2a且2a+b＝1，即a＝b＝时取等号．
故选：B．
二．多选题（共5小题）
5．【解答】解：对于A，方程的解集为{（2，﹣2）}，故A错误；
对于B，当a＞0，b＞0时，＝，
当a＞0，b＜0时，＝，
当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0，
当a＜0，b＜0时，＝﹣1﹣1＝﹣2，
故所确定的实数集合为{﹣2，0，2}，故B正确；
对于C，3x+2y＝16，x∈N，y∈N，
则或或，
故集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）}，故C正确；
对于D，A＝＝{﹣3，0，1，2}中含有4个元素，故D错误．
故选：BC．
6．【解答】解：对于A，因为a，b∈R+，2a+b＝1，所以，得，
当且仅当时，取等号，所以ab的最大值为，所以A正确，
对于B，因为a，b∈R+，2a+b＝1，所以0＜a＜1，b＝1﹣2a＞0，所以，
所以，
所以当时，a2+b2有最小值，所以B错误，
对于C，因为a，b∈R+，2a+b＝1，所以
，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以C错误，
对于D，因为2a+b＝1，所以，
由选项B知，所以，所以，
所以，所以，所以，所以D正确．
故选：AD．
7．【解答】解：由﹣2≤x+1≤2，解得﹣3≤x≤1，即函数f（x+1）的定义域为[﹣3，1]，故A正确；
函数的定义域为[2，+∞），易知函数在[2，+∞）上单调递增，
则函数的值域为[2，+∞），故B错误；
若函数y＝x2+mx+4的两个零点x1，x2都在区间为（1，+∞）内，
则x1＞1，x2＞1，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，且x1+x2＝﹣m，x1x2＝4，
故即解得﹣5＜m＜﹣4，故C正确，
若f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]单调递增，则，
若f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]单调递减，则，
故实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞），D正确．
故选：ACD．
8．【解答】解：根据题意，A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，
若A∩B＝∅．则m+1≤﹣1，得m≤﹣2，
对于A，m≤﹣2为A∩B＝∅的充分必要条件，故A错，
对于B，m＜﹣2为A∩B＝∅的一个充分不必要条件，故B正确，
对于C，m＜2为A∩B＝∅的一个必要不充分条件，故C错，
对于D，﹣4＜m＜﹣3为A∩B＝∅的一个充分不必要条件，故D正确，
故选：BD．
9．【解答】解：A选项：∵a＜0＜b，且a+b＞0，
∴b＞﹣a＞0，可得，即，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，a＜0＜b即|a|＝﹣a，|b|＝b，由a+b＞0可得|b|＞|a|，C正确；
D选项，因为当，所以（a﹣1）（b﹣1）＞0，D错误．
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
10．【解答】解：∵，∴＝
＝2+2+2+1＝7．
故答案为：7．
11．【解答】解；由题意原命题的否定“∀x∈[﹣1，2]，使得x2+mx﹣m﹣5＜0”是真命题，
不妨设，其开口向上，对称轴方程为，
则只需f（x）在[﹣1，2]上的最大值[f（x）]max＜0即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当即m≥2时，f（x）在[﹣1，2]上单调递增，
此时有[f（x）]max＝f（2）＝m﹣1＜0，解得m＜1，
故此时满足题意的实数m不存在；
情形二：当即﹣4＜m＜2时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
此时有[f（x）]max＝max{f（2），f（﹣1）}＜0，只需，
解不等式组得﹣2＜m＜1，
故此时满足题意的实数m的范围为﹣2＜m＜1；
情形三：当即m≤﹣4时，f（x）在[﹣1，2]上单调递减，
此时有[f（x）]max＝f（﹣1）＝﹣2m﹣4＜0，解得m＞﹣2，
故此时满足题意的实数m不存在；
综上所述：m的取值范围是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
12．【解答】解：∵关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣3，+∞），
∴﹣＝﹣3且a＞0，∴b＝3a，
∴不等式ax2+bx＜0，可化为ax2+3ax＜0，
又∵a＞0，∴x2+3x＜0，
解得﹣3＜x＜0，
即原不等式的解集为（﹣3，0）．
故答案为：（﹣3，0）．
13．【解答】解：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2+b2+c2＝4得，
7a2+2b2＝4，即2b2＝4﹣7a2，
由余弦定理得，csC＝＝，
所以sinC＝＝＝，
则△ABC的面积S＝＝＝a
＝＝×≤××
＝＝，
当且仅当15a2＝8﹣15a2取等号，此时a2＝，
所以△ABC的面积的最大值为，
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
14．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a；
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3；
由，得，
解得2＜x≤3，
即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3；
则p、q均为真命题时，实数x的取值范围是（2，3）；
（2）由（1）知p：a＜x＜3a，a＞0，
q：2＜x≤3；
当q是p的充分不必要条件时，；
解得1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是（1，2]．
15．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，
则有f（0）＝＝0，则b＝0；
此时f（x）＝，为奇函数，符合题意，
故f（x）＝，
（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝﹣
又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，x1x2+1＞0，（﹣1）＜0，（﹣1）＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数；
（3）根据题意，f（t﹣1）+f（t）＜0⇒f（t﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t﹣1）＜f（﹣t）⇒，
解可得：＜t＜1，即不等式的解集为（，1）．
16．【解答】解：（1）若函数的定义域为R，则对任意的x∈R，x2+ax+3≠0，
由于函数f（x）＝x2+ax+3为开口向上的二次函数，
故只需要Δ＝a2﹣12＜0，解得，
故a的范围为{a|}；
（2）对x∈[﹣2，2]有意义，则对于x∈[﹣2，2]，f（x）﹣a＝x2+ax+3﹣a≥0恒成立，
记h（x）＝x2+ax+3﹣a，对称轴为，
当时，即a≥4，此时h（x）在x∈[﹣2，2]单调递增，故，与a≥4矛盾，舍去，
当，即a≤﹣4，此时h（x）在x∈[﹣2，2]单调递减，故h（2）＝4+2a+3﹣a＝7+a≥0⇒a≥﹣7，故﹣7≤a≤﹣4，
当，即﹣4＜a＜4，此时，解得﹣6≤a≤2，故﹣4＜a≤2，
综上可得：{a|﹣7≤a≤2}；
（3）g（x）＝f（x）﹣（a﹣2）x+a＝x2+2x+a+3＝（x+1）2+a+2≥a+2，
令t＝g（x），则t≥a+2，y＝g[g（x）]＝g（t）＝（t+1）2+a+2，t≥a+2，则g（t）为开口向上，对称轴为t＝﹣1的二次函数，
当a+2≤﹣1⇒a≤﹣3，此时g（t）min＝g（﹣1）＝a+2＝5⇒a＝3，不符合要求，舍去，
当a+2＞﹣1⇒a＞﹣3，此时或a＝﹣6（舍去），
故a＝﹣1．
17．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，
所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，
解可得，0＜xy≤18，
（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，
当且仅当x+1＝y时取等号，
所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，
解可得，x+y+1或x+y+1（舍），
故x+y≥8﹣3，又x+y＝x+2+﹣3，0＜x＜30，所以由对勾函数的性质可得x+y＜30，所以8﹣3≤x+y＜30．
18．【解答】解：（1）y1≥y2可得x2﹣2|x|≥4x2﹣16，即3x2+2|x|﹣16≤0，
即（|x|﹣2）（3|x|+8）≤0，即，则﹣2≤x≤2，
则实数x的取值范围是[﹣2，2]；
证明：（2）因为，所以y1≥y2，
由（1）知x∈[﹣2，2]，所以D＝[m，n]⊆[﹣2，2]；
（i）0＜t＜1时，
当x∈[0，2]时，，
所以当x∈[0，2]时，恒成立，
当x∈[﹣2，0）时，令
＝x2+2x﹣（2t﹣2）x+t2＝x2+（4﹣2t）x+t2，
y＝g（x）对称轴x＝t﹣2＜﹣1，故y＝g（x）在[﹣1，0）上为增函数，
又g（﹣1）＝1+2t﹣4+t2＝（t+1）2﹣4＜0，g（0）＝t2＞0，
所以存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＝0，
故g（x）≥0的解集为[x0，0]，
所以当x∈[﹣2，2]时，的解集为[x0，2]，其中x0∈（﹣1，0），
所以D＝[m，n]⊆（﹣1，2]，则；
（ii）当t＝1时，y1≥﹣1≥y2，
因为，所以y1≥﹣1恒成立，
由题意知﹣1≥y2的解集为D＝[m，n]，所以m，n是方程﹣1＝4x2﹣16的两根，
所以，所以；
（iii）当1＜t≤2时，
当x∈[0，2]时，由（i）知，
当x∈[﹣2，0）时，令，
∴在[﹣2，2]恒成立，
故只需要考虑（2t﹣2）x﹣t2≥y2在[﹣2，2]的解集即可，
由（2t﹣2）x﹣t2≥y2，可得4x2﹣（2t﹣2）x+t2﹣16≤0，
由题意m，n是4x2﹣（2t﹣2）x+t2﹣16＝0的两根，
令φ（x）＝4x2﹣（2t﹣2）x+t2﹣16，其对称轴为，
φ（2）＝16﹣2（2t﹣2）+t2﹣16＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2≥0，
φ（﹣2）＝16+2（2t﹣2）+t2﹣16＝t2+4t﹣4＝（t+2）2﹣8＞0，
所以m，n∈[﹣2，2]，
，
又h（t）＝﹣3t2﹣2t+65在1＜t≤2为单调减函数，
∴h（t）＜h（1）＝60，∴，
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