江苏省海州高级中学2024届高三下学期考前模拟数学试卷

这是一份江苏省海州高级中学2024届高三下学期考前模拟数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若（其中为虚数单位），则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知两个向量满足，，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
5．已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（ ）
A．3小时B．4小时C．5小时D．6小时
6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
8．过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多选题
9．在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（ ）
A．图中a的值为0.005B．低于70分的考生人数约为40人
C．考生成绩的平均分约为73分D．估计考生成绩第80百分位数为83分
10．下列命题正确的有（ ）
A．若方程表示圆，则的取值范围是
B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点在圆C：上，的最大值为1
D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足的的取值范围为（）
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴
D．函数与的图象关于直线对称
三、填空题
12．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 .
13．已知是各项均为正数的数列an的前项和，，，则数列an的通项公式为 .
14．已知是函数的极小值点，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求面积的最大值．
16．已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
17．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
18．在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，E、G分别为PC、PA的中点.
（1）求证：平面平面PAC；
（2）假设在线段AC上存在一点N，使，求的值；
19．已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
参考答案：
1．C
【分析】利用复数乘法及复数相等列方程求参数即可.
【详解】由，则，解得.
故选：C
2．D
【分析】将两边平方，结合数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以，即，解得或（舍去）.
故选：D
3．D
【分析】利用三角函数平移变换求解.
【详解】函数向右平移个单位长度，
.
故选：D.
4．D
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析．
【详解】若，，则或，故A选项错误；
若，，，则或与相交，故B选项错误．
若，，则或，故C选项错误；
若，，，，则，正确，
证明如下：，，，，
又，且，，则，故D选项正确；
故选：D．
5．C
【分析】由题意列出指数方程，通过取对数即可计算求得.
【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，
两边同时取对数得，，解得，
所以大约需要小时.
故选：C.
6．D
【分析】根据抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合可求得的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得该双曲线的渐近线方程.
【详解】因为抛物线的焦点为，
所以双曲线的一个焦点也是，
所以，解得，即双曲线的方程为，
其渐近线的方程为：.
故选：D.
7．C
【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【详解】依题意
，
所以
，
所以，即.
故选：C
8．B
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长AB的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
若直线的斜率斜率为，则直线与抛物线只有一个交点，不满足条件，
故可设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，
所以，
由已知，
设的中点为Px0,y0，
则，，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
所以，故，
所以，.
故选：B.
9．AC
【分析】利用频率分布直方图逐项求解
【详解】对于A，由，解得，故A对；
对于B，低于70分的考生人数约为，故B错；
对于C，考生成绩的平均分约为
，故C对；
对于D，成绩落在内频率为，
落在内频率为，
故考生成绩第80百分位数落在，设为m，
由，解得，
故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D错误；
故选：AC
10．BD
【解析】将圆的一般式方程化为标准方程即可得圆心坐标，可判断选项A，设利用圆心到直线的距离等于半径可求圆心坐标，即可得圆的方程，可判断选项B，表示圆上的点与原点 连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出的值，可得的最值，即可判断选项C，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用弦心距、弦长的一半、半径构成直角三角形即可求出弦长，即可判断选项D，进而得出正确选项.
【详解】若方程表示圆，则，即，
解得或，故选项A不正确；
设圆心，则圆心到直线的距离为，
解得，即圆心为，所以圆的标准方程是，故选项B正确；
由可得，表示圆上的点与原点 连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故选项C不正确，
将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，，
圆心到直线的距离
所以弦长为，所以公共弦长为，故选项D正确，
故选：BD
【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
11．ABD
【分析】根据图象求出的解析式，然后运用三角函数的知识逐一判断即可.
【详解】由图可得，，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以
，故A正确；
由可得，
所以，解得，，故B正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的是函数的图象，直线不是其对称轴，故C错误；
因为，
所以函数与的图象关于直线对称，故D正确；
故选：ABD
12．
【分析】利用奇函数的性质，结合对数的运算即可求解.
【详解】因为函数y=fx是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】先利用题给条件求得，则数列an是公比为的等比数列，再由题意求得其首项的值，进而求得数列an的通项公式即可.
【详解】由题意，.
又，所以，，，
数列an是公比为的等比数列.
又，，.
故答案为：.
14．
【分析】求导，利用极小值点的定义分类讨论即可.
【详解】由已知，，
令解得或，
由题意是极小值点，则，
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
是函数的极小值点，
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
是函数的极大值点，不合题意，
综上，即，
故答案为：
15．（1）最小正周期为；；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再借助正弦函数的性质求解作答.
（2）由已知及（1）求出角A，再利用余弦定理与基本不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，，
所以的最小正周期为；
由，得，
所以函数的单调递增区间是．
（2）因及（1），得，即有，
则，而为锐角，因此，，
又，由余弦定理得：，即，
当且仅当时取“=”，于是得，，
所以面积的最大值．
16．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l:垂直，
，
解得.
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值;
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
17．(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；
（2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
（3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．
【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,
所以估计为；
（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为， 估计为，
根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且
；
；
；
，
则的分布列为：
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）先证明平面，可得，再证明，可得平面，进而可得结论；
（2）以B为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，设，利用，求得，从而可得答案.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，又，，且在平面内，
所以平面，平面，则，
又，
为等腰直角三角形，G为斜边的中点，
所以，
又，在平面内，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）以B为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
那么，，，
因此， ，，
设，那么，
由，得，
，解得.
因此，因此
【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理，证明平面和平面垂直的关键是证明直线与平面垂直.
19．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据点在抛物线的准线上可得，即可求出抛物线方程
（2）（ⅰ）设直线的方程为，与抛物线联立方程组得到，再写出直线的方程，根据两点式写出 ，整理消去 ，即可求出直线所过定点
（ⅱ）因为，根据（ⅰ）中的结论和弦长公式求出，再根据列出关于的不等式，解出的范围即可
【详解】（1）由题意可知C：（）的准线方程为：，
即，所以.
抛物线C的标准方程为
（2）设，，，
（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立
，化简得：，根据韦达定理可得：
即，
，直线方程为，整理得：.
又因为，即.
将代入化简可得：，
代入整理得：
故直线过定点
（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在
，
由（ⅰ）知
所以，又因为
即，化简得或
又由，得：且，即或
综上所述，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
D
C
D
C
B
AC
BD
题号
11









答案
ABD









0
1
2
3