山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题

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一、未知
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，已知，，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知平行六面体的各棱长均为6，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知无穷等比数列的公比为，其中，其前项和为，下列条件中，能使得恒成立的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．已知函数，若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
7．在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则下列结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则
11．四面体ABCD中，，，，四面体ABCD外接球的表面积记为，则（ ）
A．当四面体ABCD体积最大时，B．
C．当时，D．可以是
12．已知则 ．
13．已知圆柱的底面直径为2，其轴截面是矩形，为底面弧AB上任一点，若面积的最大值为，则圆柱的母线长为 ．
14．已知有穷数列共项，数列中任意连续三项，满足如下条件：
（1）至少有两项相等；
（2），，恒成立；
（3）以，，为边长的三角形两两均不全等．
若，则的最大值为 ．
15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形．
(1)证明：平面SAB；
(2)若，求平面SAC与平面SAD所成角的余弦值．
17．已知数列，，的首项均为1，为，的等差中项，且．
(1)若数列为单调递增的等比数列，且，求的通项公式；
(2)若数列的前项和，数列的前项和为，是否存在正整数使对恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
18．如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．
(1)证明：；
(2)当最小时，
①求，两点间的最小距离；
②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．
19．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，，若存在，使得，则称是函数的不动点．已知函数．
(1)若函数只有一个不动点，求实数的取值范围；
(2)当时，数列满足：，．证明：对任意的，．