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清单04 图形的相似（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）（解析版）
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这是一份清单04 图形的相似（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）（解析版），共40页。
【清单01】 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
【清单02】 黄金分割比
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值)
【清单03】 平行线分线段成比例
类型1 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：
图一
拓展：
.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
图二
3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
图三
类型2 平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
图四 图五
（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例
【清单04】 相似三角形的相关概念
在和中，如果
我们就说与相似，记作
∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
【清单05】 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
【清单06】 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
相似多边形对应边的比称为相似比．
【清单07】 相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
【清单08】 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【清单09】 射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
．
【清单10】 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
【清单11】 位似图形
1.位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2. 位似图形的性质
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
3. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
【考点题型一】比例性质
【典例1】若ab=32，则aa+b=（ ）
A．13B．23C．35D．53
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ab=32，
∴设a=3k，b=2k，
∴aa+b=3k3k+2k=35，
故选：C．
【变式1-1】已知xy=34，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．xx+y=37B．x−yy=14C．x+3y+4=34D．4x=3y
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
根据比例的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵xy=34，∴4x=3y，x−yy=34−1=−14，xy=x+3y+4=34，xx+y=33+4=37.
∴不成立的是B．
故答案为：B．
【变式1-2】若a5=b8，则b−aa等于（ ）
A．35B．53C．85D．58
【答案】A
【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质直接计算即可得到答案．
【详解】解：∵a5=b8，
设a=5k,b=8k
∴b−aa=8k−5k5k=35，
故选：A．
【变式1-3】若ab=34，则a+b3a−2b的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．根据等式用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵ab=34，
∴a=34b，
∴ a+b3a−2b=34b+b3×34b−2b=7．
故答案为：7
【考点题型二】比例线段
【典例2-1】若a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长是（ ）．
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到3:2=6:d，然后利用比例的性质求d即可．
【详解】解：根据题意得a:b=c:d，即3:2=6:d，
所以d=2×63=4(cm)．
故选：D．
【典例2-2】】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即PBAP=APAB（此时线段AP叫做线段PB,AB的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．若AB=2cm，则BP的长为 cm．
【答案】3−52
【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系BPAP=APAB与已知条件AB=2cm，设AP=x，代入转化一元二次方程求解即可．
【详解】解：设AP=x，
依题意，BPAP=APAB，AB=2cm
∴2−xx=x2
∴x2=4−2x
即x2+2x−4=0
解得：x=5−12或x=−5−12（舍去）
∴BP=AB−AP=2−5−12=3−52
故答案为：3−52．
【变式2-1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．a=1,b=2,c=3,d=4B．a=1,b=2,c=3,d=6
C．a=5,b=6,c=7,d=8D．a=4,b=6,c=6,d=8
【答案】B
【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵1×4≠2×3，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、∵1×6=2×6，
∴ad=bc，
∴四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、∵5×8≠6×7，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、∵4×4≠6×6，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-2】如果线段c是a、b的比例中项，且a=4，b=6，则c= ．
【答案】26
【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可．
本题考查了比例中项即c2=ab，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=4，b=6，
∴c2=4×6=24，
解得c=26,c=−26（舍去），
故答案为：26．
【变式2-3】数学中，把5−12这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP>BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 cm．
【答案】12−45
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为8cm，
∴ APAB=5−12，
∴AP=5−12×8=45−4cm，
∴ BP=8−45−4=12−45cm
故答案为：12−45．
【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【典例3】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（ ）
A．12.5 B．12C．8D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，
∴510=4EF，
解得：EF=8，
故选：C．
【变式3-1】如图，AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么BF的长为（ ）
A．154B．94C．52D．7
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，
∴ACAE=BDBF，
即25−2=1.5DF，
解得：BF=154，
故选：A．
【变式3-2】如图，在△ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DE∥BC、EF∥AB，若AD:DB=3:5，则CF:CB等于（ ）
A．2:5B．3:8C．3:5D．5:8
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例．由DE∥BC,AD:DB=3:5得AEEC=ADDB=35，故CEAC=58，再根据EF∥AB得CFBC=CEAC=58．
【详解】解：∵DE∥BC,AD:DB=3:5
∴AEEC=ADDB=35
∴CEAC=58
∵EF∥AB
∴CFBC=CEAC=58．
故选：D．
【变式3-3】如图，已知AB∥CD∥EF，AD:AF=3:5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A．365B．245C．152D．92
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键．
由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出CE的长．
【详解】∵AB∥CD∥EF
∴ADAF=BCBE，即35=BC12，
∴BC=365，
∴CE=BE−BC=12−365=245．
故选B．
【考点题型四】相似图形
【典例4】下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．
【详解】解：
A、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
B、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
C、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
D、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意，
故选：D．
【变式4-1】下面几对图形中，相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可．
【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似；
故选：C．
【变式4-2】下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形都是相似三角形B．矩形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形D．边长相等的菱形都相似
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键．
根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答．
【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故A符合题意；
B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故B不符合题意；
C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故C不符合题意；
D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故D不符合题意．
故选：A．
【考点题型五】相似多边形的性质
【典例5】如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为3:4，CD=2.4cm，则C′D′的长为 cm．
【答案】3.2
【分析】题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．
根据相似多边形的性质求解即可．
【详解】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，相似比为3:4，CD=2.4cm
∴CDC′D′=34，即2.4C′D′=34
∴C′D′=3.2cm．
故答案为：3.2．
【变式5-1】如图，矩形ABCD的边AB=2，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
【答案】5+1/1+5
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到AF=EF=AB=CD=2，再根据相似图形的性质得到DFCD=CDAD，即DF2=2DF+2，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABEF是正方形，
∴AF=EF=AB=2，
∵四边形CDFE为矩形，
∴CD=EF=2，
∵矩形CDFE与矩形ABCD相似，
∴DFCD=CDAD，即DF2=2DF+2，
解得DF=5−1或DF=−5−1（舍去），
经检验，DF=5−1是原方程的解，
∴AD=AF+DF=5+1，
故答案为：5+1．
【变式5-2】五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，相似比为1：3，若AB=2，则A′B′= ．
【答案】6
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′相似比为1:3．
∴ ABA′B′=13，
∵AB=2，
∴A′B′=6．
故答案为：6
【考点题型六】相似三角形的判定
【典例6】如图，已知：D是△ABC的边BC上一点，点E在△ABC外部，且∠BAE=∠CAD，∠ACD=∠ADC=∠ADE，DE交AB于点F．
(1)求证：AB=AE；
(2)如果AD=AF，求证：EF2=BF⋅AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由∠ACD=∠ADC得到AC=AD，根据“角边角”推得△ABC≌△AED，即可证得答案；
（2）先证明ABD≌△AEF，得到BD=EF，再证明△BDF∽△BAD，得到BDBA=BFBD，所以BD2=BF⋅AB，由此即得答案．
【详解】（1）∵∠ACD=∠ADC，
∵AC=AD，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
∵∠ACD=∠ADE，
∴△ABC≌△AED(ASA)，
∴AB=AE；
（2）∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠DAF=180°−2∠ADF，
∵∠ACD=∠ADC，
∴∠CAD=180°−2∠ADC，
∵∠ADC=∠ADE，
∴∠CAD=∠DAF，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵AB=AE，
∴△ABD≌△AEF(SAS)，
∴BD=EF，∠BAD=∠EAF，
∵∠B=∠E，∠AFE=∠DFB，
∴∠BDF=∠BAE，
∴∠BDF=∠EAF=∠BAD，
∵∠B=∠B，
∴△BDF∽△BAD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2=BF⋅AB，
∴EF2=BF⋅AB．
【变式6-1】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC
C．APAB=ABACD．APAB=ACCB
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当APAB=ABAC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、当APAB=ACCB时，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式6-2】如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．求证：△ADF∽△EAB．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB，∠B+∠C=180°，利用等量代换可得∠B=∠AFD，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ADF∽△EAB．
【变式6-3】如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD；点E在AC的延长线上，∠E=∠ABC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)求证：△ACD∽△BAE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠BCA=∠DCA=∠BAC，BC=BA，从而即可得证；
（2）由菱形的性质可得，∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D．则∠D=∠E．由∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，证明三角形相似即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA=∠BAC，
∴BC=BA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D，
∵∠E=∠ABC，
∴∠D=∠E，
∵∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，
∴△ACD∽△ABE．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【考点题型七】相似三角形的性质
【典例7】如图，△ABC∽△EDC，若AC:EC=2:3，AB=6，则DE的长度是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3．
∴ ABED=ACEC=BCDC=23，
∴当AB=6时，DE=32×6=9．
故答案为：9
【变式7-1】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到EFAE=DEAB，把AB=6，AE=9，DE=2代入，即得EF的值．
【详解】∵△ABE∽△DEF，
∴EFAE=DEAB，
∵AB=6，AE=9，DE=2，
∴EF=3．
故答案为：3．
【变式7-2】如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知OAA′A=25，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 ．
【答案】28
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．
根据位似的性质，得到AB∥A′B′，推出△OAB∽△OA′B′，进而求出四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】∵OAAA′=25，
∴OAOA′=27，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA′B′=OAOA′=27，
∴四边形ABCD的周长：四边形A′B′C′D′的周长=2:7，
∵四边形ABCD的周长是8，
∴四边形A′B′C′D′的周长为28，
故答案为：28．
【考点题型八】相似三角形的判定和性质综合
【典例8】在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)92
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.：
（1）由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；
（2）首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．
【详解】（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC,
∴BE=CE,
∴∠B=∠DCF,
∵AD=AC,
∴∠FDC=∠ACB,
∴△ABC∽△FCD
（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G，如图，
∵AD=AC,
∴DG=CG,
∴BD:BG=2:3,
∵ED⊥BC,
∴ED∥AG,
∴△BDE∽△BGA,
∴ED:AG=BD:BG=2:3,
∵DE=3，
∴AG=92
∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,
∴S△FCDS△ABC=CDBC2=14，
又S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，
∴S△FCD=14S△ABC=92
【变式8-1】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB=8,BM=6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)253
【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．
（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，可求出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，即可求出AE的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=8,BM=6，
∴∠B=90°，AD=AB=8，
∴AM=AB2+BM2=10，
∵F是AM的中点，
∴AF=12AM=5，
∵△ABM∽△EFA，
∴BMFA=MAAE，
即65=10AE，
∴AE=253．
【变式8-2】如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．
(1)求证：AF⊥BE；
(2)若AB=2，AD=3，DF=12BF，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)73
【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出∠AOE=90°，即可得证；
（2）延长AF交CD于点G，证明△AFB∽△GFD，得到DGAB=DFBF=12，再证明△ABE∽△DAG，求出AE的长，进而求出DE的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABE=∠DAF，
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴AF⊥BE；
（2）解：延长AF交CD于点G，
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD,∠BAD=∠ADG=90°，
∴△AFB∽△GFD，
∴DGAB=DFBF=12，
∴DG=12AB=1，
∵∠BAD=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAF，
∴△ABE∽△DAG，
∴ABAD=AEDG=23，
∴AE=23DG=23，
∴DE=AD−AE=3−23=73．
【变式8-3】已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．
【问题发现】
（1）如图1，当点B，C，E在同一条直线上时，AE与CD的数量关系是______，位置关系是______；
【问题探究】
（2）如图2，当点A，C，E在同一条直线上时，BE，CD交于点F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求CFBF的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接CE，AD，G是线段CE的中点，连接BG，求BGAD的值．
【答案】（1）AE=CD（或相等）AE⊥CD（或垂直）（2）CFBF=34−26（3）BGAD=12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用．
（1）通过证明△ABE≌△CBD，即可得出结论；
（2）先证明△ABE≌△CBDSAS，得出AE=CD，∠CEF=∠BDF，再证明△CEF∽△BDF，则CFBF=CEBD．设CE=m，则AE=CD=m+2．在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2，列出方程，求出m的值，即可解答；
（3）延长BG至点F，使BG=FG，连接EF，CF．易证四边形BEFC是平行四边形，则BC=EF，∠CBE+∠BEF=180°．通过证明△ABD≌△FEBSAS，得出AD=BF，即可得出结论．
【详解】解：（1）延长BC交AE于点P，
∵BE=BD，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC．
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠CDB=90°，
∴∠APD=90°，即AE⊥CD，
故答案为∶ AE=CD（或相等）AE⊥CD（或垂直）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC=2，
∴AC=AB2+BC2=22+22=2．
∵△BDE是等腰直角三角形，且BE=BD=32，
∴DE=BE2+BD2=322+322=6．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
∵BE=BD，∠ABE=∠CBD，AB=BC．
∴ △ABE≌△CBDSAS，
∴AE=CD，∠CEF=∠BDF．
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠DCE=∠DBE=90°，△CEF∽△BDF，
∴CFBF=CEBD．
设CE=m，则AE=CD=m+2．
在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2，
即m2+m+22=62，
解得m1=17−1，m2=−17−1（舍去），
∴CE=17−1，
∴CFBF=CEBD=17−132=34−26．
（3）如图，延长BG至点F，使BG=FG，连接EF，CF．
∵G是CE的中点，
∴CG=EG．
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴BC=EF，∠CBE+∠BEF=180°．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD+∠CBE=180°，
∴∠ABD=∠BEF．
∵AB=BC，
∴AB=EF，
又∵BD=BE，
∴△ABD≌△FEBSAS，
∴AD=BF．
∵BG=GF，
∴BG=12BF，
∴BG=12AD，
∴BGAD=12．
【考点题型九】相似三角形的应用综合
【典例9】如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE=1m．小丽身高CD=1.2m．
(1)求灯杆AB的长；
(2)若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【答案】(1)灯杆AB的高度为6m
(2)此时小丽的影长GH的长是2m
【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
（1）根据题意得出AB∥CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
（2）根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
【详解】（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE=1+4=5（米)，
∴△EAB∽△ECD，
∴ ABCD=BEDE，
即AB1.2=51，
解得：AB=6（米)；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE=1+4=5（米)，
∴△HGF∽△HBA，
∴ ABFG=BHGH，
即61.2=8+GHGH，
解得：GH=2（米)；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
【变式9-1】如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树AB的高，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=1.6米，EF=2.4米，CF=2米，FA=16米，点C、F、A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，请你求出树AB的高度．．
【答案】树AB的高度为8.8米
【分析】过D作DP⊥AB于P，交EF于N，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键．
【详解】解：过D作DP⊥AB于P，交EF于N，
则DN=CF=2米，AP=DC=1.6米，
DP=AC=CF+AF=18（米)，EN=EF−CD=2.4−1.6=0.8（米)，
由题意得，∠EDN=∠BDP，∠BPD=∠END=90°，
∴△DEN∽△DBP，
∴ BPEN=DPDN，
∴ AB−，
∴AB=8.8（米)，
答：树AB的高度为8.8米
【变式9-2】有一块三角形余料ABC，它的边BC=100mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，求加工成的正方形零件的边长．
【答案】37.5mm
【分析】本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长．
【详解】解：∵正方形边长QM在BC上，
∴PN∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AE⊥PN
∴△APN∼△ABC，
∴PNBC=AEAD，
设ED=x，
则PN=MN=ED=x，
∴x100=60−x60，
∴x=37.5mm，
∴加工成的正方形零件的边长为37.5mm．
【变式9-3】如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC=6，笔筒的高CD=8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A′，过点P作PE⊥BE于点E，CE=4，点A′，B，C，E在同一直线上．
(1)求PE的长；
(2)求点A′到CD的距离．
【答案】(1)403
(2)21
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，
（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【详解】（1）解：∵笔筒的高CD=8，即CD⊥BE，PE⊥BE，
∴CD∥PE，∠BCD=∠BEP=90°，
∴∠BDC=∠BPE，
∴△BCD∽△BEP，
∴CDPE=BCBE，
∵BC=6，CE=4，点A′，B，C，E在同一直线上，
∴8PE=66+4，
∴PE=403
经检验，PE=403是原方程的解且符合题意，
答：PE的长为403；
（2）根据题意：AB∥PE，
∴∠A′AB=∠A′PE，∠A′BA=∠A′EP，
∴△A′BA∽△A′EP，
∴ABPE=A′BA′E，
∵笔筒的高CD=8，BC+CE=6+4=10，
∴8403=A'BA'B+10，
解得：A'B=15，
经检验，A'B=15是原方程的解且符合题意，
∴A'C=A'B+BC=15+6=21．
答：点A′到CD的距离为21．
【考点题型十】图形的位似
【典例10-1】在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A1,2，B1,1，C3,1，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△DEF，若△DEF与△ABC的相似比为3:1，则点F的坐标为（ ）
A．2,4或−2,−4B．9,3或−9,−3
C．6,2或−6,−2D．7,2
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，△DEF与△ABC的相似比为3:1，
∴ △ABC与△DEF的相似比为3:1，
∵点C的坐标为C3,1，
∴点F的坐标为3×3,1×3或−3×3,−3×1，
即9,3或−9,−3，
故选：B
【典例10-2】如图，在△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是−1,0，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使得△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的坐标是−3,12，则点B′的坐标是（ ）
A．3,−1B．4,−1C．5,−2D．6,−1
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定及性质、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，根据相似三角形的性质求出CD′，B′D′的长，得到点B′的坐标．
【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，
∵点C的坐标是(−1,0) ,点B的坐标是−3,12，
∴CD=3−1=2，BD= 12，
∵△ABC的位似图形为△A′B′C， △A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍
由题意得： △ABC∽△A′B′C ,相似比为1:2，
∴BCB′C=12，
∵BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，
∴∠BDC=∠B′D′C=90° ,
∵∠BCD=∠B′CD′ ,
∴△BCD∽△B′CD′ ,
∴BDB′D′=CDCD′=BCB′C=12
∴CD′=2×2=4，B′D′=1，
∴点B′的坐标为3,−1，
故选：A．
【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FDE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ）．
A．3,1B．4,2C．5,2D．6,0
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点是位似中心，进而可求解．
【详解】解：如图，点G为位似中心，则它们位似中心的坐标是5,2，
故选：C．
【变式10-2】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AB∥A′B′
D．AO:AA′=1:2
【答案】D
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，A选项说法正确，不符合题意；
点C、点O、点C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
AB∥A′B′，C选项说法正确，不符合题意；
AO:AA′=1:3，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式10-3】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA:OD=1:2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1:2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1:2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1:4，
故选：B．
【考点题型十一】作图-位似
【典例11】如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为3,1、2,−1．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形．
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2:1，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，D−4,2,C−6,−2
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，位似图形：
（1）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可；
（2）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可．
【详解】（1）解：如图所示，△OA′B′即为所求；
（2）解：如图所示△OCD即为所求，
D−4,2,C−6,−2．
【变式1-1】如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
(1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为−3,−1、1,−3；
(2)以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似比为2:1；
(3)将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形，画位似图形，画旋转图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据A、B的坐标确定原点的位置以及x、y的轴的位置，然后建立坐标系即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以2得到A1,B1,C1的坐标，再顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找到A、B、C的对应点A2,B2,C2，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，如图所示坐标系即为所求；
（2）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）解：如图，△A2B2C2即为所求．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,−4)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
(2)在y轴右侧画出以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来12后得到的△A2B2C2．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了作作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接下来根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．
（1）把A、B、C的纵坐标不变，横坐标互为相反数可得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以12可得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
【详解】（1）解：如图， △A1B1C1为所作；
（2）如图， △A2B2C2为所作；
【变式11-3】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A0,4，B2,2，C4,6（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）．
(1)画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1:2，直接写出△A2B2C2的面积．
【答案】(1)见详解，B12,−3
(2)见详解，S△A2B2C2=32
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和位似变换作图．
（1）将△ABC的三个顶点A、B、C依次向下平移5个单位，即可得A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得△A1B1C1，写出点B1的坐标即可；
（2）将△ABC的三个顶点A、B、C 的横纵坐标分别乘以−12 即可得到A2、B2、C2 ，再顺次连接A2、B2、C2即可得△A2B2C2，利用割补法解即可求出△A2B2C2的面积．
平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数kk≠0，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是k．正确的求出A2、B2、C2的坐标是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，且B12,−3
（2）如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，
S△A2B2C2=2×2−12×1×1−12×2×1−12×2×1=32 ．
【清单01】 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
【清单02】 黄金分割比
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值)
【清单03】 平行线分线段成比例
类型1 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：
图一
拓展：
.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
图二
3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
图三
类型2 平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
图四 图五
（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例
【清单04】 相似三角形的相关概念
在和中，如果
我们就说与相似，记作
∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
【清单05】 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等；
【清单06】 相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
相似多边形对应边的比称为相似比．
【清单07】 相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
【清单08】 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【清单09】 射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
．
【清单10】 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
【清单11】 位似图形
1.位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2. 位似图形的性质
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
3. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
【考点题型一】比例性质
【典例1】若ab=32，则aa+b=（ ）
A．13B．23C．35D．53
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ab=32，
∴设a=3k，b=2k，
∴aa+b=3k3k+2k=35，
故选：C．
【变式1-1】已知xy=34，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．xx+y=37B．x−yy=14C．x+3y+4=34D．4x=3y
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
根据比例的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵xy=34，∴4x=3y，x−yy=34−1=−14，xy=x+3y+4=34，xx+y=33+4=37.
∴不成立的是B．
故答案为：B．
【变式1-2】若a5=b8，则b−aa等于（ ）
A．35B．53C．85D．58
【答案】A
【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质直接计算即可得到答案．
【详解】解：∵a5=b8，
设a=5k,b=8k
∴b−aa=8k−5k5k=35，
故选：A．
【变式1-3】若ab=34，则a+b3a−2b的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．根据等式用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵ab=34，
∴a=34b，
∴ a+b3a−2b=34b+b3×34b−2b=7．
故答案为：7
【考点题型二】比例线段
【典例2-1】若a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长是（ ）．
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到3:2=6:d，然后利用比例的性质求d即可．
【详解】解：根据题意得a:b=c:d，即3:2=6:d，
所以d=2×63=4(cm)．
故选：D．
【典例2-2】】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即PBAP=APAB（此时线段AP叫做线段PB,AB的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．若AB=2cm，则BP的长为 cm．
【答案】3−52
【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系BPAP=APAB与已知条件AB=2cm，设AP=x，代入转化一元二次方程求解即可．
【详解】解：设AP=x，
依题意，BPAP=APAB，AB=2cm
∴2−xx=x2
∴x2=4−2x
即x2+2x−4=0
解得：x=5−12或x=−5−12（舍去）
∴BP=AB−AP=2−5−12=3−52
故答案为：3−52．
【变式2-1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．a=1,b=2,c=3,d=4B．a=1,b=2,c=3,d=6
C．a=5,b=6,c=7,d=8D．a=4,b=6,c=6,d=8
【答案】B
【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵1×4≠2×3，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、∵1×6=2×6，
∴ad=bc，
∴四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、∵5×8≠6×7，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、∵4×4≠6×6，
∴ad≠bc，
∴四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-2】如果线段c是a、b的比例中项，且a=4，b=6，则c= ．
【答案】26
【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可．
本题考查了比例中项即c2=ab，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=4，b=6，
∴c2=4×6=24，
解得c=26,c=−26（舍去），
故答案为：26．
【变式2-3】数学中，把5−12这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP>BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 cm．
【答案】12−45
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为8cm，
∴ APAB=5−12，
∴AP=5−12×8=45−4cm，
∴ BP=8−45−4=12−45cm
故答案为：12−45．
【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【典例3】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（ ）
A．12.5 B．12C．8D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，
∴510=4EF，
解得：EF=8，
故选：C．
【变式3-1】如图，AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么BF的长为（ ）
A．154B．94C．52D．7
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，
∴ACAE=BDBF，
即25−2=1.5DF，
解得：BF=154，
故选：A．
【变式3-2】如图，在△ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DE∥BC、EF∥AB，若AD:DB=3:5，则CF:CB等于（ ）
A．2:5B．3:8C．3:5D．5:8
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例．由DE∥BC,AD:DB=3:5得AEEC=ADDB=35，故CEAC=58，再根据EF∥AB得CFBC=CEAC=58．
【详解】解：∵DE∥BC,AD:DB=3:5
∴AEEC=ADDB=35
∴CEAC=58
∵EF∥AB
∴CFBC=CEAC=58．
故选：D．
【变式3-3】如图，已知AB∥CD∥EF，AD:AF=3:5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A．365B．245C．152D．92
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键．
由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出CE的长．
【详解】∵AB∥CD∥EF
∴ADAF=BCBE，即35=BC12，
∴BC=365，
∴CE=BE−BC=12−365=245．
故选B．
【考点题型四】相似图形
【典例4】下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．
【详解】解：
A、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
B、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
C、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
D、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意，
故选：D．
【变式4-1】下面几对图形中，相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可．
【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似；
故选：C．
【变式4-2】下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形都是相似三角形B．矩形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形D．边长相等的菱形都相似
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键．
根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答．
【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故A符合题意；
B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故B不符合题意；
C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故C不符合题意；
D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故D不符合题意．
故选：A．
【考点题型五】相似多边形的性质
【典例5】如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为3:4，CD=2.4cm，则C′D′的长为 cm．
【答案】3.2
【分析】题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．
根据相似多边形的性质求解即可．
【详解】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，相似比为3:4，CD=2.4cm
∴CDC′D′=34，即2.4C′D′=34
∴C′D′=3.2cm．
故答案为：3.2．
【变式5-1】如图，矩形ABCD的边AB=2，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
【答案】5+1/1+5
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到AF=EF=AB=CD=2，再根据相似图形的性质得到DFCD=CDAD，即DF2=2DF+2，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABEF是正方形，
∴AF=EF=AB=2，
∵四边形CDFE为矩形，
∴CD=EF=2，
∵矩形CDFE与矩形ABCD相似，
∴DFCD=CDAD，即DF2=2DF+2，
解得DF=5−1或DF=−5−1（舍去），
经检验，DF=5−1是原方程的解，
∴AD=AF+DF=5+1，
故答案为：5+1．
【变式5-2】五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，相似比为1：3，若AB=2，则A′B′= ．
【答案】6
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′相似比为1:3．
∴ ABA′B′=13，
∵AB=2，
∴A′B′=6．
故答案为：6
【考点题型六】相似三角形的判定
【典例6】如图，已知：D是△ABC的边BC上一点，点E在△ABC外部，且∠BAE=∠CAD，∠ACD=∠ADC=∠ADE，DE交AB于点F．
(1)求证：AB=AE；
(2)如果AD=AF，求证：EF2=BF⋅AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由∠ACD=∠ADC得到AC=AD，根据“角边角”推得△ABC≌△AED，即可证得答案；
（2）先证明ABD≌△AEF，得到BD=EF，再证明△BDF∽△BAD，得到BDBA=BFBD，所以BD2=BF⋅AB，由此即得答案．
【详解】（1）∵∠ACD=∠ADC，
∵AC=AD，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
∵∠ACD=∠ADE，
∴△ABC≌△AED(ASA)，
∴AB=AE；
（2）∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠DAF=180°−2∠ADF，
∵∠ACD=∠ADC，
∴∠CAD=180°−2∠ADC，
∵∠ADC=∠ADE，
∴∠CAD=∠DAF，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵AB=AE，
∴△ABD≌△AEF(SAS)，
∴BD=EF，∠BAD=∠EAF，
∵∠B=∠E，∠AFE=∠DFB，
∴∠BDF=∠BAE，
∴∠BDF=∠EAF=∠BAD，
∵∠B=∠B，
∴△BDF∽△BAD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2=BF⋅AB，
∴EF2=BF⋅AB．
【变式6-1】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC
C．APAB=ABACD．APAB=ACCB
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当APAB=ABAC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、当APAB=ACCB时，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式6-2】如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．求证：△ADF∽△EAB．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB，∠B+∠C=180°，利用等量代换可得∠B=∠AFD，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ADF∽△EAB．
【变式6-3】如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD；点E在AC的延长线上，∠E=∠ABC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)求证：△ACD∽△BAE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠BCA=∠DCA=∠BAC，BC=BA，从而即可得证；
（2）由菱形的性质可得，∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D．则∠D=∠E．由∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，证明三角形相似即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA=∠BAC，
∴BC=BA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D，
∵∠E=∠ABC，
∴∠D=∠E，
∵∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，
∴△ACD∽△ABE．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【考点题型七】相似三角形的性质
【典例7】如图，△ABC∽△EDC，若AC:EC=2:3，AB=6，则DE的长度是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3．
∴ ABED=ACEC=BCDC=23，
∴当AB=6时，DE=32×6=9．
故答案为：9
【变式7-1】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到EFAE=DEAB，把AB=6，AE=9，DE=2代入，即得EF的值．
【详解】∵△ABE∽△DEF，
∴EFAE=DEAB，
∵AB=6，AE=9，DE=2，
∴EF=3．
故答案为：3．
【变式7-2】如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知OAA′A=25，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 ．
【答案】28
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．
根据位似的性质，得到AB∥A′B′，推出△OAB∽△OA′B′，进而求出四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】∵OAAA′=25，
∴OAOA′=27，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA′B′=OAOA′=27，
∴四边形ABCD的周长：四边形A′B′C′D′的周长=2:7，
∵四边形ABCD的周长是8，
∴四边形A′B′C′D′的周长为28，
故答案为：28．
【考点题型八】相似三角形的判定和性质综合
【典例8】在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)92
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.：
（1）由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；
（2）首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．
【详解】（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC,
∴BE=CE,
∴∠B=∠DCF,
∵AD=AC,
∴∠FDC=∠ACB,
∴△ABC∽△FCD
（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G，如图，
∵AD=AC,
∴DG=CG,
∴BD:BG=2:3,
∵ED⊥BC,
∴ED∥AG,
∴△BDE∽△BGA,
∴ED:AG=BD:BG=2:3,
∵DE=3，
∴AG=92
∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,
∴S△FCDS△ABC=CDBC2=14，
又S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，
∴S△FCD=14S△ABC=92
【变式8-1】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB=8,BM=6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)253
【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．
（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，可求出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，即可求出AE的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=8,BM=6，
∴∠B=90°，AD=AB=8，
∴AM=AB2+BM2=10，
∵F是AM的中点，
∴AF=12AM=5，
∵△ABM∽△EFA，
∴BMFA=MAAE，
即65=10AE，
∴AE=253．
【变式8-2】如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．
(1)求证：AF⊥BE；
(2)若AB=2，AD=3，DF=12BF，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)73
【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出∠AOE=90°，即可得证；
（2）延长AF交CD于点G，证明△AFB∽△GFD，得到DGAB=DFBF=12，再证明△ABE∽△DAG，求出AE的长，进而求出DE的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABE=∠DAF，
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴AF⊥BE；
（2）解：延长AF交CD于点G，
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD,∠BAD=∠ADG=90°，
∴△AFB∽△GFD，
∴DGAB=DFBF=12，
∴DG=12AB=1，
∵∠BAD=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAF，
∴△ABE∽△DAG，
∴ABAD=AEDG=23，
∴AE=23DG=23，
∴DE=AD−AE=3−23=73．
【变式8-3】已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．
【问题发现】
（1）如图1，当点B，C，E在同一条直线上时，AE与CD的数量关系是______，位置关系是______；
【问题探究】
（2）如图2，当点A，C，E在同一条直线上时，BE，CD交于点F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求CFBF的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接CE，AD，G是线段CE的中点，连接BG，求BGAD的值．
【答案】（1）AE=CD（或相等）AE⊥CD（或垂直）（2）CFBF=34−26（3）BGAD=12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用．
（1）通过证明△ABE≌△CBD，即可得出结论；
（2）先证明△ABE≌△CBDSAS，得出AE=CD，∠CEF=∠BDF，再证明△CEF∽△BDF，则CFBF=CEBD．设CE=m，则AE=CD=m+2．在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2，列出方程，求出m的值，即可解答；
（3）延长BG至点F，使BG=FG，连接EF，CF．易证四边形BEFC是平行四边形，则BC=EF，∠CBE+∠BEF=180°．通过证明△ABD≌△FEBSAS，得出AD=BF，即可得出结论．
【详解】解：（1）延长BC交AE于点P，
∵BE=BD，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC．
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠CDB=90°，
∴∠APD=90°，即AE⊥CD，
故答案为∶ AE=CD（或相等）AE⊥CD（或垂直）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC=2，
∴AC=AB2+BC2=22+22=2．
∵△BDE是等腰直角三角形，且BE=BD=32，
∴DE=BE2+BD2=322+322=6．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
∵BE=BD，∠ABE=∠CBD，AB=BC．
∴ △ABE≌△CBDSAS，
∴AE=CD，∠CEF=∠BDF．
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠DCE=∠DBE=90°，△CEF∽△BDF，
∴CFBF=CEBD．
设CE=m，则AE=CD=m+2．
在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2，
即m2+m+22=62，
解得m1=17−1，m2=−17−1（舍去），
∴CE=17−1，
∴CFBF=CEBD=17−132=34−26．
（3）如图，延长BG至点F，使BG=FG，连接EF，CF．
∵G是CE的中点，
∴CG=EG．
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴BC=EF，∠CBE+∠BEF=180°．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD+∠CBE=180°，
∴∠ABD=∠BEF．
∵AB=BC，
∴AB=EF，
又∵BD=BE，
∴△ABD≌△FEBSAS，
∴AD=BF．
∵BG=GF，
∴BG=12BF，
∴BG=12AD，
∴BGAD=12．
【考点题型九】相似三角形的应用综合
【典例9】如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE=1m．小丽身高CD=1.2m．
(1)求灯杆AB的长；
(2)若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【答案】(1)灯杆AB的高度为6m
(2)此时小丽的影长GH的长是2m
【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
（1）根据题意得出AB∥CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
（2）根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
【详解】（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE=1+4=5（米)，
∴△EAB∽△ECD，
∴ ABCD=BEDE，
即AB1.2=51，
解得：AB=6（米)；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE=1+4=5（米)，
∴△HGF∽△HBA，
∴ ABFG=BHGH，
即61.2=8+GHGH，
解得：GH=2（米)；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
【变式9-1】如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树AB的高，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=1.6米，EF=2.4米，CF=2米，FA=16米，点C、F、A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，请你求出树AB的高度．．
【答案】树AB的高度为8.8米
【分析】过D作DP⊥AB于P，交EF于N，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键．
【详解】解：过D作DP⊥AB于P，交EF于N，
则DN=CF=2米，AP=DC=1.6米，
DP=AC=CF+AF=18（米)，EN=EF−CD=2.4−1.6=0.8（米)，
由题意得，∠EDN=∠BDP，∠BPD=∠END=90°，
∴△DEN∽△DBP，
∴ BPEN=DPDN，
∴ AB−，
∴AB=8.8（米)，
答：树AB的高度为8.8米
【变式9-2】有一块三角形余料ABC，它的边BC=100mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，求加工成的正方形零件的边长．
【答案】37.5mm
【分析】本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长．
【详解】解：∵正方形边长QM在BC上，
∴PN∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AE⊥PN
∴△APN∼△ABC，
∴PNBC=AEAD，
设ED=x，
则PN=MN=ED=x，
∴x100=60−x60，
∴x=37.5mm，
∴加工成的正方形零件的边长为37.5mm．
【变式9-3】如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC=6，笔筒的高CD=8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A′，过点P作PE⊥BE于点E，CE=4，点A′，B，C，E在同一直线上．
(1)求PE的长；
(2)求点A′到CD的距离．
【答案】(1)403
(2)21
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，
（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【详解】（1）解：∵笔筒的高CD=8，即CD⊥BE，PE⊥BE，
∴CD∥PE，∠BCD=∠BEP=90°，
∴∠BDC=∠BPE，
∴△BCD∽△BEP，
∴CDPE=BCBE，
∵BC=6，CE=4，点A′，B，C，E在同一直线上，
∴8PE=66+4，
∴PE=403
经检验，PE=403是原方程的解且符合题意，
答：PE的长为403；
（2）根据题意：AB∥PE，
∴∠A′AB=∠A′PE，∠A′BA=∠A′EP，
∴△A′BA∽△A′EP，
∴ABPE=A′BA′E，
∵笔筒的高CD=8，BC+CE=6+4=10，
∴8403=A'BA'B+10，
解得：A'B=15，
经检验，A'B=15是原方程的解且符合题意，
∴A'C=A'B+BC=15+6=21．
答：点A′到CD的距离为21．
【考点题型十】图形的位似
【典例10-1】在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A1,2，B1,1，C3,1，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△DEF，若△DEF与△ABC的相似比为3:1，则点F的坐标为（ ）
A．2,4或−2,−4B．9,3或−9,−3
C．6,2或−6,−2D．7,2
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，△DEF与△ABC的相似比为3:1，
∴ △ABC与△DEF的相似比为3:1，
∵点C的坐标为C3,1，
∴点F的坐标为3×3,1×3或−3×3,−3×1，
即9,3或−9,−3，
故选：B
【典例10-2】如图，在△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是−1,0，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使得△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的坐标是−3,12，则点B′的坐标是（ ）
A．3,−1B．4,−1C．5,−2D．6,−1
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定及性质、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，根据相似三角形的性质求出CD′，B′D′的长，得到点B′的坐标．
【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，
∵点C的坐标是(−1,0) ,点B的坐标是−3,12，
∴CD=3−1=2，BD= 12，
∵△ABC的位似图形为△A′B′C， △A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍
由题意得： △ABC∽△A′B′C ,相似比为1:2，
∴BCB′C=12，
∵BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，
∴∠BDC=∠B′D′C=90° ,
∵∠BCD=∠B′CD′ ,
∴△BCD∽△B′CD′ ,
∴BDB′D′=CDCD′=BCB′C=12
∴CD′=2×2=4，B′D′=1，
∴点B′的坐标为3,−1，
故选：A．
【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FDE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ）．
A．3,1B．4,2C．5,2D．6,0
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点是位似中心，进而可求解．
【详解】解：如图，点G为位似中心，则它们位似中心的坐标是5,2，
故选：C．
【变式10-2】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AB∥A′B′
D．AO:AA′=1:2
【答案】D
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，A选项说法正确，不符合题意；
点C、点O、点C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
AB∥A′B′，C选项说法正确，不符合题意；
AO:AA′=1:3，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式10-3】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA:OD=1:2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1:2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1:2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1:4，
故选：B．
【考点题型十一】作图-位似
【典例11】如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为3,1、2,−1．
(1)画出△OAB绕点O顺时针旋转180°后得到的图形．
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2:1，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，D−4,2,C−6,−2
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，位似图形：
（1）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可；
（2）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可．
【详解】（1）解：如图所示，△OA′B′即为所求；
（2）解：如图所示△OCD即为所求，
D−4,2,C−6,−2．
【变式1-1】如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
(1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为−3,−1、1,−3；
(2)以点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似比为2:1；
(3)将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形，画位似图形，画旋转图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据A、B的坐标确定原点的位置以及x、y的轴的位置，然后建立坐标系即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以2得到A1,B1,C1的坐标，再顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找到A、B、C的对应点A2,B2,C2，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，如图所示坐标系即为所求；
（2）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）解：如图，△A2B2C2即为所求．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,−4)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
(2)在y轴右侧画出以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来12后得到的△A2B2C2．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了作作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接下来根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．
（1）把A、B、C的纵坐标不变，横坐标互为相反数可得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以12可得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
【详解】（1）解：如图， △A1B1C1为所作；
（2）如图， △A2B2C2为所作；
【变式11-3】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A0,4，B2,2，C4,6（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）．
(1)画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1:2，直接写出△A2B2C2的面积．
【答案】(1)见详解，B12,−3
(2)见详解，S△A2B2C2=32
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和位似变换作图．
（1）将△ABC的三个顶点A、B、C依次向下平移5个单位，即可得A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得△A1B1C1，写出点B1的坐标即可；
（2）将△ABC的三个顶点A、B、C 的横纵坐标分别乘以−12 即可得到A2、B2、C2 ，再顺次连接A2、B2、C2即可得△A2B2C2，利用割补法解即可求出△A2B2C2的面积．
平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数kk≠0，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是k．正确的求出A2、B2、C2的坐标是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，且B12,−3
（2）如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，
S△A2B2C2=2×2−12×1×1−12×2×1−12×2×1=32 ．
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