高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品课后作业题

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学习目标
1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程．
知识点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
思考 抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?
答案 若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二 抛物线的标准方程
思考 抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
答案 p的几何意义是焦点到准线的距离．
1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
2．抛物线的方程都是二次函数．( × )
3．抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．( √ )
4．方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．( × )
一、求抛物线的标准方程
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq \f(1,6)；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq \f(9,2).
故所求抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(1,3)x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，eq \f(p,2)＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．
跟踪训练1 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
答案 2 x＝－1
解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以eq \f(p,2)＝1，p＝2，准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1.
(2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
答案 x2＝10y和x2＝－10y
解析 设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 ∵eq \f(1,4)＋x0＝eq \f(5,4)x0，∴x0＝1.
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，
点P，点(0,2)和抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq \f(\r(17),2).
延伸探究
1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．
解 将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±eq \r(6).所以点A在抛物线内部．设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－eq \f(1,2)的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是eq \f(7,2).
即|PA|＋|PF|的最小值是eq \f(7,2).
2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋eq \f(7,2)＝0，求点P到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3×\f(1,2)＋\f(7,2))),\r(32＋－42))＝1.即所求最小值为1.
反思感悟 抛物线定义的应用
实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
跟踪训练2 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
答案 4
解析 把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1，eq \r(15))，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，
于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
抛物线的实际应用问题
典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y.
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
[素养提升] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x
答案 B
2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))) D．(0,1)
答案 C
解析 由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，
则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，故选C.
3．准线为y＝－eq \f(3,4)的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝3y B．y＝－eq \f(3,2)x2 C．x＝3y2 D．x＝－eq \f(3,2)y2
答案 A
解析 准线为y＝－eq \f(3,4)的抛物线的标准方程是x2＝3y，故选A.
4．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )
A．x＝1 B．x＝eq \f(1,16) C．y＝－1 D．y＝－eq \f(1,16)
答案 C
解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
答案 (－9,6)或(－9，－6)
解析 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq \f(p,2).设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
1．知识清单：
(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程的四种形式．
(3)抛物线定义的应用．
2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．
3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
1．抛物线y＝－eq \f(1,4)x2的准线方程为( )
A．x＝eq \f(1,16) B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2
答案 C
解析 抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，由题设知－eq \f(p,2)＝－1，即p＝2，
故焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0)).故选B.
3．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B. y2＝8x
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
答案 AD
解析 当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝eq \f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
4．若抛物线y＝ax2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))的焦点与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的上顶点重合，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C．2 D．4
答案 B
解析 椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的上顶点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)) 抛物线y＝ax2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4a)))，
因为两点重合，所以eq \f(1,4a)＝1，所以a＝eq \f(1,4).
5．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p等于( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，所以3p－p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2，解得p＝8.
6．已知双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝________.
答案 3
解析 由题意得m＋1＝22，解得m＝3.
7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________．
答案 (－6,6eq \r(2))或(－6，－6eq \r(2))
解析 由方程y2＝－12x，知焦点F(－3,0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.
又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6eq \r(2).
所以所求点的坐标为(－6,6eq \r(2))或(－6，－6eq \r(2))．
8．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________．
答案 (1,0) x＝－1
解析 圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解 方法一 如图所示，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，准线l：y＝eq \f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋eq \f(p,2)＝5，即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2eq \r(6).
方法二 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))).
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝6p，, \r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝4，,m＝±2\r(6).))
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2eq \r(6)，准线方程为y＝2.
10．花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)
解 如图所示，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝eq \f(1,2).故得抛物线方程为x2＝－y.
又点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝eq \r(2)，即|AB|＝eq \r(2) m，
则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝(eq \r(2)＋1) m，因此所求水池的直径为2(1＋eq \r(2)) m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
11．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为抛物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x＝－1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，所以P(4，±4)，所以△PFO的面积为eq \f(1,2)×1×4＝2.
12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝________.
答案 6
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．由eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋eq \f(3,2)p＝6.
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
答案 eq \f(1,4)
解析 根据抛物线的定义得1＋eq \f(p,2)＝5，p＝8，则m＝±4，不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，由已知得－eq \r(a)×2＝－1，故a＝eq \f(1,4).
14．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
答案 2
解析 如图所示，
动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F(1,0)到直线l1的距离d＝eq \f(|4＋6|,\r(－32＋42))＝2.
15．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
答案 ②④
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，过该焦点的直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解 (1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±eq \r(12)，因为eq \r(12)>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
3．3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.掌握抛物线的几何性质.
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
知识点一 抛物线的简单几何性质
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
1．抛物线关于顶点对称．( × )
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ )
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )
4．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( √ )
5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( √ )
一、抛物线的几何性质的应用
例1 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y2＝2px))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2p，,y＝2p，))
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq \f(1,2)×4p×2p＝4p2.
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2eq \r(3)，求抛物线方程．
解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2eq \r(3)，
∴|y1|＝|y2|＝eq \r(3)，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，eq \r(3))或A(±1，－eq \r(3))，代入抛物线方程，得(eq \r(3))2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
答案 C
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.故选C.
(2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(1,0)
C．(8,0) D．(4,0)
答案 B
解析 因为eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝4，于是b2＝3a2，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，
则|AB|＝eq \r(3)p，又三角形的高为eq \f(p,2)，则S△AOB＝eq \f(1,2)·eq \f(p,2)·eq \r(3)p＝eq \r(3)，
即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．
二、直线与抛物线的位置关系
命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断
例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
命题角度2 直线与抛物线的相交问题
例3 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
解 由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，k≠0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))·y1－y22)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
延伸探究
本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
解 如图，过A，B，M分别作准线x＝－eq \f(p,2)的垂线交准线于点C，D，E.
由定义知|AC|＋|BD|＝eq \f(5,2)p，则梯形ABDC的中位线|ME|＝eq \f(5,4)p，∴M点到y轴的距离为eq \f(5,4)p－eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)p.
反思感悟 直线与抛物线的位置关系
(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．
(2)一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
跟踪训练2 (1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
答案 B
解析 如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点．
故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
(2)设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝25，则k的值为( )
A．±2 B．－1 C．±1 D．－2
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，
因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＝y1＋1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝y2＋1，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2.
1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－eq \f(4,3) B．－1 C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)，且点A(－2,3)在准线上，所以eq \f(－p,2)＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4).
2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D. x2＝－8y
答案 CD
解析 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，依题意得y＝eq \f(p,2)，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2eq \r(2))
答案 B
解析 由题意知F(1,0)，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，则eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),4)，－y0)).
由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.
4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq \r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________．
答案 2
解析 由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4eq \r(3)且AB⊥x轴得yeq \\al(2,A)＝(2eq \r(3))2＝12，
∴xA＝eq \f(y\\al(2,A),4)＝3，∴所求距离为3－1＝2.
5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
答案 0或1
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
1．知识清单：
(1)抛物线的几何性质．
(2)直线与抛物线的位置关系．
2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法．
3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况．
1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2eq \r(3)，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2eq \r(3)，则P(3，±2eq \r(3))，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
答案 B
解析 当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，
可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝5，∴k2＝eq \f(4,3)，即k＝±eq \f(2\r(3),3).因而这样的直线有且仅有两条．
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|等于( )
A．4eq \r(3) B．8 C．8eq \r(3) D．16
答案 B
解析 由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，
∴－eq \r(3)＝eq \f(n－0,－2－2)，∴n＝4eq \r(3).∴P点纵坐标为4eq \r(3).
由(4eq \r(3))2＝8x，得x＝6，∴P点坐标为(6,4eq \r(3))，∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.
4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )
A．2 B．3 C．5 D．7
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,2x＋y－4＝0))得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
答案 C
解析 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，依题意，l⊥x轴，且焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∵当x＝eq \f(p,2)时，|y|＝p，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，又点P到直线AB的距离为eq \f(p,2)＋eq \f(p,2)＝p＝6，
故S△ABP＝eq \f(1,2)|AB|·p＝eq \f(1,2)×12×6＝36.
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
解析 设抛物线上点的坐标为(x，±eq \r(x))，此点到准线的距离为x＋eq \f(1,4)，到顶点的距离为eq \r(x2＋\r(x)2)，由题意有x＋eq \f(1,4)＝eq \r(x2＋\r(x)2)，∴x＝eq \f(1,8)，∴y＝±eq \f(\r(2),4)，∴此点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4))).
7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，∴M到准线距离d＝|MM′|＋eq \f(p,2)＝3，∴|MF|＝3，∴|FN|＝6
8．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x.过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx＋k，))得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，
∵|AF|＝3，∴y0＋eq \f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq \r(17)，∴xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(p,2)))2＝17，
∴xeq \\al(2,0)＝8，代入方程xeq \\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点．
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
(1)证明 联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．
(2)解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1,x1)＋eq \f(y2,x2)＝1，①
因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①， 得2k＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝1，②
由(1)可得x1＋x2＝eq \f(1,2)k，x1x2＝－eq \f(1,2)，代入②得k＝1.
11．若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为________．
答案 eq \r(15)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x，可得yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，
两式相减，可得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
代入抛物线的方程得4x2－8x＋1＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,4)，
则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22－4×\f(1,4))))＝eq \r(15)，即弦AB的长为eq \r(15).
12．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
答案 x＝eq \f(5p,2)
解析 由抛物线的性质知A，B关于x轴对称．设A(x，y)，则B(x，－y)，焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
由题意知AF⊥OB，则有eq \f(y,x－\f(p,2))·eq \f(－y,x)＝－1.所以y2＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，2px＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2))).
因为x≠0.所以x＝eq \f(5p,2).所以直线AB的方程为x＝eq \f(5p,2).
13．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案 6
解析 抛物线的焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq \f(p,2).代入eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \r(3＋\f(p2,4)).
要使△ABF为等边三角形，则tan eq \f(π,6)＝eq \f(|x|,p)＝eq \f(\r(3＋\f(p2,4)),p)＝eq \f(\r(3),3)，解得p2＝36，p＝6.
14．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
答案 48
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝x－3))消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝6.))
所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，
所以梯形APQB的面积S＝eq \f(10＋2,2)×8＝48.
15．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，则k等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2
答案 D
解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x))得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则x1＋x2＝eq \f(4k2＋8,k2)，x1x2＝4.
y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝eq \f(8,k)，y1y2＝－eq \r(8x18x2)＝－16.
∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4－16－eq \f(16,k)＋4＝0，解得k＝2，故选D.
16．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))).联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，,y2＝6x，))
消去y得4x2－20x＋9＝0，解得x1＝eq \f(1,2)，x2＝eq \f(9,2)，故|AB|＝eq \r(1＋\r(3)2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)－\f(1,2)))＝2×4＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－eq \f(3,2)，所以M到准线的距离等于3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
第2课时 抛物线的方程及性质的应用
学习目标
1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.
2.解决一些抛物线的综合问题．
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点二 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
1．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
答案 D
解析 方法一 设动点P的坐标为(x，y)．则eq \r(x－12＋y－12)＝eq \f(|3x＋y－4|,\r(10)).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线．
方法二 显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
2．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝12x D．y2＝－12x
答案 A
解析 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于( )
A．5 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
4．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝eq \f(1,2)|AB| C．|PP1|>eq \f(1,2)|AB| D．|PP1|答案 B
解析 如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|.
一、和抛物线有关的轨迹问题
例1 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
解 (1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq \f(1,2)，
∴eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq \f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4k2＋8)＝2eq \r(6)，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟 求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程．
跟踪训练1 若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且eq \f(p,2)＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
二、抛物线的综合问题
例2 如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：eq \f(k1,k2)为定值．
(1)解 依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
eq \f(k1,k2)＝eq \f(y3－y4,x3－x4)×eq \f(x1－x2,y1－y2)＝eq \f(y3－y4,\f(y\\al(2,3),4)－\f(y\\al(2,4),4))×eq \f(\f(y\\al(2,1),4)－\f(y\\al(2,2),4),y1－y2)＝eq \f(y1＋y2,y3＋y4)，设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
eq \f(k1,k2)＝eq \f(y1＋y2,y3＋y4)＝eq \f(y1＋y2,\f(－4,y1)＋\f(－4,y2))＝eq \f(y1y2,－4)，由(1)知y1y2＝－8，所以eq \f(k1,k2)＝2为定值．
反思感悟 解决抛物线综合问题的基本策略
对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．
跟踪训练2 (1) 已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
答案 eq \f(\r(7),2)
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(x－22＋x)＝eq \r(x2－3x＋4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).
所以当x＝eq \f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq \f(\r(7),2).
(2)已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))的距离小1.
①求动点P的轨迹C的方程；
②设斜率为－1且不过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
①解 依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，准线为x＝－1，
设其方程为y2＝2pxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p>0))，则eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，
所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>0)).
②证明 设直线AB：y＝－x＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b≠3))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝－x＋b，))得y＝－eq \f(y2,4)＋b，即y2＋4y－4b＝0，
Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，因为x1＝eq \f(y\\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),4)，
所以k1＋k2＝eq \f(y2－2,\f(y\\al(2,2),4)－1)＋eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2－2)),y\\al(2,2)－4)＋eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1－2)),y\\al(2,1)－4)＝eq \f(4,y2＋2)＋eq \f(4,y1＋2)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1＋2＋y2＋2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2＋2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1＋2)))＝0.
因此k1＋k2＝0.
与抛物线有关的最值问题
典例 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
解 方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝eq \f(|4t－3t2－8|,5)＝eq \f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2－\f(4,3)＋8))＝eq \f(1,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2＋\f(20,3)))＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2＋eq \f(4,3).
所以当t＝eq \f(2,3)时，d取得最小值eq \f(4,3).
方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－eq \f(4,3).
故最小距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq \f(\f(20,3),5)＝eq \f(4,3).
[素养提升] 求距离的最值，常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；
二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力．
1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案 D
解析 依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝12y
答案 A
解析 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 D
解析 由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a2,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a2,4)))，a>0.
S△AOB＝eq \f(1,2)×2a×eq \f(a2,4)＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
答案 (4,2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y2＝4x))得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)．
5．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝0，延长MP到点N，使得|eq \(PM,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，则点N的轨迹方程是________．
答案 y2＝4x
解析 由于|eq \(PM,\s\up6(→))|＝|eq \(PN,\s\up6(→))|，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，
由eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝0，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，－\f(y,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(y,2)))＝0，所以(－x)·1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
1．知识清单：
(1)和抛物线有关的轨迹问题．
(2) 抛物线的综合问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案 A
解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 抛物线的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，
即x＝y＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，
由根与系数的关系得eq \f(y1＋y2,2)＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋eq \f(1,2)y2＋3的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．0
答案 B
解析 因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，因为z＝x2＋eq \f(1,2)y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z最小，最小值为3.
4．(多选)已知抛物线C：y＝eq \f(x2,8)的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于( )
A．2 B．－2 C．－4 D．4
答案 CD
解析 ∵抛物线C：y＝eq \f(x2,8)，∴x2＝8y，∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.
∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，
∴y0＝2，∴xeq \\al(2,0)＝16，∴x0＝±4.
5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝16，则p的值为( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)
∴直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，代入y2＝2px可得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq \f(p2,4)，
由抛物线的定义可知，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＝x1＋eq \f(p,2)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝x2＋eq \f(p,2)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)＝eq \f(p2,4)＋eq \f(3,2)p2＋eq \f(p2,4)＝2p2＝16，解得p＝2eq \r(2).
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－eq \r(2)，0)，所以－eq \f(p,2)＝－eq \r(2)，故p＝2eq \r(2).
7．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝4，
∵A，B在抛物线上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2x1，,y\\al(2,2)＝2x2，))相减得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝2(x1－x2)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2,y1＋y2)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
8．已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.
答案 3
解析 设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
与抛物线方程联立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x0))，))消y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2xeq \\al(2,0)＝0，
由根与系数的关系可得，x1x2＝xeq \\al(2,0)，则y1y2＝－eq \r(4x1x2)＝－2x0，
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即xeq \\al(2,0)－2x0＝3，解得x0＝3.
9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．
解 方法一 设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝eq \r(x－52＋y2)－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以eq \r(x－52＋y2)＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
方法二 由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.
10．已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．
证明 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为－eq \f(1,k)，则直线OA的方程为y＝kx，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,y2＝－8x，))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,k2)，－\f(8,k)))，同理可得B(－8k2,8k)，
于是直线AB的方程为y－8k＝eq \f(\f(8,k)＋8k,\f(8,k2)－8k2)(x＋8k2)，整理可得y＝eq \f(k,1－k2)(x＋8)，因此直线AB经过定点(－8,0)．
11．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 由题意可知，直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，代入抛物线的方程可得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3eq \r(3)，y1y2＝－eq \f(9,4)，故所求三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(9,4).
12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．3eq \r(3)
答案 C
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)．
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2\r(3),3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2\r(3).))∵点M在x轴的上方，∴M(3,2eq \r(3))．
∵MN⊥l，∴N(－1,2eq \r(3))．∴|NF|＝eq \r(1＋12＋0－2\r(3)2)＝4，|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为2eq \r(3).
13．已知点A，B在抛物线y2＝4x上且位于x轴的两侧，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝5(其中O为坐标原点)，则直线AB在x轴上的截距是( )
A．5 B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,4) D．4
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在抛物线上，所以yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2＝5，因为y1y2<0，所以y1y2＝－20. 设直线AB在x轴上的截距为m，
若AB斜率不存在，则y1＝－y2，所以y1＝2eq \r(5)，从而x1＝5，m＝5，
若AB斜率存在，设直线AB方程为y＝k(x－m)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－m，,y2＝4x，))得ky2－4y－4km＝0，y1y2＝－4m＝－20，m＝5.
综上，直线AB在x轴上的截距是5.
14．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为eq \f(π,4)的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为________．
答案 8
解析 过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为eq \f(π,4)的直线方程为y＝x－1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，
|FA|·|FB|＝eq \r(x1－12＋y\\al(2,1))·eq \r(x2－12＋y\\al(2,2))＝eq \r(x\\al(2,1)－2x1＋1＋4x1)·eq \r(x\\al(2,2)－2x2＋1＋4x2)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝8.
15．已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝eq \r(3)，则直线l恒过定点( )
A．(－6eq \r(3)，0) B．(－3eq \r(3)，0)
C．(－2eq \r(3)，0) D．(－eq \r(3)，0)
答案 C
解析 设直线l为x＝my＋n，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋n，,y2＝6x，))消去x可得y2－6my－6n＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n，
因为k1·k2＝eq \r(3)，即eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \r(3)，所以eq \f(y1y2,\f(y\\al(2,1),6)·\f(y\\al(2,2),6))＝eq \f(36,y1y2)＝eq \f(36,－6n)＝eq \r(3)，所以n＝－2eq \r(3)，所以x＝my－2eq \r(3)，
所以直线l一定过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(3)，0))
16．已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．
(1)解 由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.
(2)证明 由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.
直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＋2,y2＝4x))得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，
已知此方程一个根为1，∴x1×1＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－2))2,k2)＝eq \f(k2－4k＋4,k2)，即x1＝eq \f(k2－4k＋4,k2)，
同理x2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－k))2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－k))＋4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－k))2)＝eq \f(k2＋4k＋4,k2)，∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋8,k2)，x1－x2＝eq \f(－8k,k2)＝eq \f(－8,k)，
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]＝k(x1＋x2)－2k＝k·eq \f(2k2＋8,k2)－2k＝eq \f(8,k)，∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(\f(8,k),－\f(8,k))＝－1，
所以，直线AB的斜率为定值－1.图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p