湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

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得分__________．
本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是奇函数，，则是成立的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4 若锐角满足，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）
A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生
C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生
6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，且为上底面圆的圆心，则与平面所成的角的正切值为（ ）
A. 2B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 设函数，若，则a的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
10. 已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）

A.
B. 函数为偶函数
C. 满足条件正实数存在且唯一
D. 是周期函数，且最小正周期为
11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A. 的斜率为
B. 是锐角三角形
C. 四边形的面积是
D
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 在中，是边上的高，若，则______．
13. 已知定义在R上的函数满足，则曲线y=fx在点处的切线方程为_____________.
14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将中的1颗糖放入中，否则将中的1颗糖放入中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时中没有糖的概率是__________．
四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
15. 已知数列中，，且为数列的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意，都有恒成立，求a的取值范围．
18. 已知双曲线的左､右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于，两点，且的周长为16.
（1）求的方程；
（2）为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求的取值范围.
19. 对于集合，定义运算符“”两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数．
（1）设，求；
（2）对于有限集，证明，并求出固定后使该式取等号的的数量；（用含的式子表示）
（3）若有限集满足，则称有序三元组“联合对”，定义，．
①设，求满足的“联合对”的数量；（用含的式子表示）
②根据（2）及（3）①的结果，求中“联合对”的数量．