陕西省西安中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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（时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵昕媛）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为，所以，解得或，
故或，又，所以.
故选：C
2. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的的取值范围即可得出结论.
【详解】易知的定义域为，且函数为单调递减函数；
根据复合函数单调性可知若函数在上单调递增，
可得，解得；
显然是的真子集，
所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
3. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断出，，，即可求解.
【详解】
，故；
，故，故.
故选：B.
5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.
【详解】由，可得，
所以的周期为4，则．
故选：C.
6. 已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，转化为与的图象有2个交点，分、和，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.
【详解】由题意，关于的方程有2个不相等的实数解，
即与的图象有2个交点，如图所示，

当，直线与图象交于点，
又当时，，故直线与（）的图象无公共点，
故当时，与的图象只有一个交点，不合题意；
当，直线与曲线（）相切时，
此时与的图象有2个交点，
设切点，则，又由过点，
所以，解得，所以；
当时，若，则，由，可得，
所以当时，直线与的图象相切，
由图得当时，直线与的图象有2个交点．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：C．
7 已知函数，则（ ）
A. 有三个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
【答案】C
【解析】
【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令，得到是奇函数，是的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.
【详解】对于A，由题，，
令得或，令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，
所以是极值点，故A不正确；
对应B，因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
对于C，令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：C
8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A. B. 28C. D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
【详解】先作出的大致图象，如下

令，则，
根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数图象与性质知，两函数相切时符合题意，
因为，当且仅当时取得等号，
又，易知其定义域内单调递减，
即，此时有两个整数根或，
而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，
显然只有符合题意，当时有，则，
解方程得的另一个正根为，
又，
此时五个整数根依次是，
显然最大根和最小的根和为.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用求导公式逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A. 甲乙不相邻的不同排法有48种
B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种
C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种
D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.
【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；
B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；
C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确；
D：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有种，所以本选项正确.
故选：BCD
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项ABD，利用不等式的性质计算即可，选项C，因为可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为，不妨令，得，此时，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．
【答案】65
【解析】
【分析】利用百分位数的定义求解.
【详解】解：成绩在的频率是，
成绩在的频率为，
所以第40百分位数一定在内，
所以这次数学测试成绩的第40百分位数是，
故答案为：65
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
14. 展开式中，的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
所以的系数为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）极小值为，极大值为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；
（2），对分，和讨论单调性即可.
【小问1详解】
.
所以x<1或x>2时，，时，，
则在上递减，在递增，
所以的极小值为，极大值为.
【小问2详解】
，
当时，，所以在上递增，
当时，或时，；时，，
所以在上递增，在上递减，
当时，或时，；时，，
所以在上递增；在上递减．
16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出
（1）该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程系数的最终结果精确到；
（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.
附：经验回归方程：中，，；参考数据：，，，
【答案】（1）
（2）从第十个月开始
【解析】
【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出则可得回归方程；
（2）根据经验回归方程建立不等式，解出不等式则可预测.
【小问1详解】
由得，
由题意得，，
所以，
，
所以，
即y关于x的经验回归方程为
【小问2详解】
令，
所以，
又由于，所以解得，且，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.
17. 已知函数，，，且
（1）当且时，求不等式的解集；
（2）若函数在区间上有零点，求t的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）当时，将不等式转化为，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；
（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为且有根，设且，则，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；
解法二：先判断时，不合题意，当时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.
【小问1详解】
当时，，又00，
∴4x2−5x≤0x>12⇒12不等式的解集为；
【小问2详解】
解法一：由题设，
由，得且，则，
设且，则，
令，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，故且
或，
t的取值范围为：或
解法二：，若，则在上没有零点．
下面就时分三种情况讨论：
①方程在上有重根，则，解得，
又；
②Fx在上只有一个零点，且不是方程的重根，则，解得或，
经检验或时，Fx在上都有零点，则或
③方程在上有两个相异实根，则有t>0Δ>0−1<−12t<2F(−1)>0F(2)>0或t<0Δ>0−1<−12t<2F(−1)<0F(2)<0，解得，
综上可知：t的取值范围为或
18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
【答案】（1）
（2）（i）分布列见解析，；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可.
【小问1详解】
由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
【小问2详解】
（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大.
19. 已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：函数在上单调递增；
（3）若是函数的极大值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）对函数二次求导，判断导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；
（3）对求导得，，令，再求导，分的不同取值讨论的性质，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
当时，，且知，
在上，， 在上单调递增；
在上，， 在上单调递减；
所以函数的单调增区间为，单调减区间为
【小问2详解】
证明：因为，所以，且知，
要证函数单调递增，即证在上恒成立，
设，，则，
注意，在上均为增函数，
故在上单调递增，且，
于是在上单调递减，在上单调递增，
，即，因此函数在上单调递增;
【小问3详解】
由，有，
令，有，
①当时，在上恒成立，因此在上单调递减，
注意到，故函数的增区间为，减区间为，
此时是函数的极大值点;
②当时，与在上均为单调增函数，
故在上单调递增，
注意到，若，
即时，此时存在，使，
因此在上单调递减，在上单调递增，又知，
则在上单调递增，在上单调递减，此时为函数的极大值点，
若，即时，此时存在，使，
因此在上单调递减.在上单调递增，又知，
则在上单调递减，在上单调递增，
此时为函数的极小值点.
当时，由可知单调递增，因此非极大值点，
综上所述，实数 a的取值范围为
【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.
月份x
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体重超标人数y
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