专题突破练习卷06 导数中的隐零点问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：不含参函数的隐零点问题
1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证；
(3)若有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可.
（2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可.
（3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可.
【详解】（1）由题意得定义域为，
而，
当时，，在上单调递减，
当时，，
当时，解得：，当时，解得：，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
若证成立，只需证成立即可，
所以定义域为，，
在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上有唯一实根，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，
，同时取对数得，
，
，，
（3）若时，由已知得最多有一个零点，
当时，由已知得当时，取得最小值，
，
当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，
由，
故在有一个零点，
，
，，
设，，
在上单调递增，
，，
，
在上有一个零点，
在上有两个零点，
综上得到的取值范围是.
2．已知函数.
(1)试研究函数的极值点；
(2)若恰有一个零点，求证.
【答案】(1)极大值点，无极小值点；(2)证明见解析.
【分析】（1）先求函数的导函数，再利用导数与单调性的关系，得到函数的单调区间，最后得到函数的极值点；
（2）根据零点存在定理结合函数的单调性，从而确定的取值范围.
【详解】（1）由，定义域为，
则，，
所以当时，，此时函数在单调递增，
当时，，此时函数在单调递减，
故函数有唯一极大值点，无极小值点.
（2）由题意可得，，
令，解得，
因为，，
所以在上有唯一零点，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
因为有且仅有一个零点，所以且.
即，
消去并整理得：，
令，则，
因为时，在上恒成立，所以在上单调递增，
又，,所以.
又，且函数在上单调递增，
所以.
3．已知函数，．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)极大值为，无极小值(2)答案见解析
【分析】（1）原函数求导，令再分析，进而得到原函数的单调区间，进而得到极值.
（2）分情况讨论单调区间，借助极限知识，大概知晓函数图像趋势和函数值，进而得到零点个数.
【详解】（1）当时，，
∴，
易知函数的定义域为0,+∞，且函数和都在区间0,+∞上单调递减，
令，则在区间0,+∞上单调递减，且，
∴当时，f′x>0；当时，；当时，f′x<0，
∴函数在0,1上单调递增，在上单调递减，
∴函数的极大值为，无极小值．
（2）当时，易知f′x>0，函数单调递增，
又当时，；当时，，
∴当时，函数只有一个零点，
当时，令，易知ℎx在区间0,+∞上单调递减，
当时，；当时，，
∴存在x0∈0,+∞使得，即，
∴当时，f′x>0，函数单调递增；当时，f′x<0，函数单调递减，
又当时，；当时，，
下面讨论与0的大小关系，
∵，，
∴，即，
∴，
∴当时，；当时，；当时，．
∴当时，有2个零点；当时，只有1个零点；当时，没有零点．
综上，
当时，函数只有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数没有零点．
4．已知函数（）的两个零点为，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据零点的定义，通过取对数法，得到等式，通过构造函数法，利用导数研究新函数的单调性，最后根据零点的个数，结合函数的图象进行求解即可；
（2）根据零点的定义、对数的运算法则，得到，令，通过换元把分别用的代数式表示，代入已知不等式中，得到，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，最后利用函数的单调性、函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】（1）由得，两边同时取对数得：，
设，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，当时，当时，函数的图象如下图所示：
所以，即，所以.
（2）由，得，，
设，则有，即，，
由得，即，
设（），则，
设，则，
设，则，
当，，单调递增，当，，单调递减，
且，，所以存在唯一的，使得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
且ℎ1=0，，所以φx在单调递增，在单调递减，
所以，所以，所以的取值范围是.
5．设函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若恰有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性求最值即可；
（2）求出函数的导函数，对进行分类讨论，分析函数的单调性，最值，由函数零点的个数求a的取值范围即可.
【详解】（1）当时，，，
当时；当时，．
所以，函数在上单调递减，在上单调递增．
所以，即的最小值为0．
（2）由，得，
（ⅰ）当时，，函数在单调递增，且，故函数恰有一个零点，不合题意．
（ⅱ）当时，
①若，由（1）可知为最小值，函数恰有一个零点，不合题意．
②若，当时，，函数在单调递减，所以，
当时，，函数在单调递增，又，
根据零点存在定理，所以函数在区间上存在唯一零点，
此时函数恰有两个零点，满足题意．
③若，因为函数在单调递增，所以，
根据（1）由，得，
由，得，进而得，
所以．
又因为在上单调递减，根据零点存在定理，
所以函数在区间上存在唯一零点，
此时函数恰有两个零点，满足题意．
综上，a的取值范围是．
6．已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解直线方程，
（2）构造，求导，对分类讨论，求解导函数的正负，即可根据单调性求解.
【详解】（1）当时，,，
∴，，
在点1,f1处的切线方程为，
即；
（2）在0,+∞上有零点等价于在0,+∞上有零点，
则，x∈0,+∞，
①当时，
∵，∴ℎx在0,+∞上递减，
∴，∴ℎx在0,+∞上无零点，∴不合题意；
②当时，
（ⅰ）当时，即时，
∵，
∴ℎx在0,+∞上递增，
∴，∴ℎx在0,+∞上无零点，∴不合题意；
（ⅱ）当时，即时，令，则，
令ℎ′x<0，则；令ℎ′x>0，则，
∴ℎx在上递减，在上递增，
∴，
取时，
∵，
∴，
∴，
∴，使得，
∴符合题意；
综上，a的取值范围为．
7．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（为常数）密切相关，请解决下列问题：
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，证明有唯一极值点．
【答案】(1)．(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得，进而求得，可求切线方程；
（2）易知当时，由可知存在唯一变号零点，即可知有唯一极大值点.
【详解】（1）当时，，
此时，又，
所以在点处的切线方程为，
即．
（2）由题意得，
令，
，令，可得，依题意得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，所以，又因为，
所以，存在唯一．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以存在唯一极大值点，且．
8．给定函数.
(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值;
(2)证明:当时，.
【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，极小值.(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，求解函数的单调区间，再求函数的极值；
（2）首先由不等式构造函数，转化为证明函数Fx的最小值大于0.
【详解】（1）函数的定义域为.
.
令，解得.
当变化时，的变化情况如下表
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，有极小值.
（2）要证明当时，，
即证明当时，.
令函数.
则.
当时，.
设函数.
则，故在上单调递增.
又
所以存在唯一的使得gx0=0.
且.
当x∈0,x0时，单调递减，
当x∈x0,+∞时，单调递增，
所以
设函数
则
即在单调递增.
所以原不等式得证.
9．已知函数．
(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，在上为减函数，
当时，在上是减函数，在上是增函数．(3)
【分析】（1）对求导，由已知可得，解方程即可求解的值；
（2）对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
（3）对分类讨论，结合（2）中结论，结合零点存在性定理即可求解的取值范围．
【详解】（1）由，求导得，
直线的斜率为，
又函数在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得．
（2）因为，，
所以当时，f′x<0，所以在上单调递减；
当时，，
令，解得，当f′x>0，解得，当f′x<0，解得，
所以时，单调递减，时，单调递增．
综上，可知：当时，在上为减函数，
当时，在上是减函数，在上是增函数．
（3）①若，由（2）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
由于均为上单调递增函数，所以函数在单调递增，
当时，，故当时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，，
由，故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，所以，因此在上有一个零点．
综上，的取值范围为．
10．已知函数，.
(1)求证：有且仅有三零点.
(2)设为最小的零点，证明：当，.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后，令，利用导数求出的单调区间，结合零点存在性定理可得，，在递增，递减，递增，再结合零点存在性定理可证得结论；
（2）根据题意转化为证，再转化为证，然后构造函数，利用导数判断其单调性可证得结论.
【详解】（1），，
设，，
则在递减，在递增，
，，，
所以，使，
，使，
所以的正负性确定，
所以在递增，递减，递增，
令，则，
所以在上递减，所以，
所以，
令，则，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以，
所以在递减，所以，
所以，
同理当可证得在递减，所以，
所以，
因为，，，，
所以有且仅有三个零点.
（2）依题意得：，，
需证：，，只需证：.
只需证：，
（满足），
，
令，，
所双在单调递增，
所以得证.
题型二：含参函数的隐零点问题
11．已知函数，．
(1)若在上有两个极值点，求a的取值范围；
(2)证明：若在 上恒成立，则．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）首先由方程，参变分离为方程有两个不同的正根，转化为利用导数分析函数，的图形，利用数形结合求实数 取值范围；
（2）首先将不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数分析函数的最值.
【详解】（1）由题可得，
若在0,+∞上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根，
即方程有两个不同的正实根．
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，当时，，所以，即，
所以a的取值范围为．
（2）由题得在[0,)上恒成立，
即恒成立．
令，
，
当时，，所以函数在1,+∞上单调递增，
当时，．
令（），
则（），
所以函数在[0,1)上单调递增，
，，
所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零，
即在区间上大于零，在区间上小于零，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在1,+∞上单调递增，
又，
所以，
所以，原式得证．
12．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若在区间上存在唯一零点，证明：．
【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解
【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间；
（2）由题意可得，若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，连续求导即可得证.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，令，解得；令，解得；
可知的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为在区间上存在唯一零点，
所以存在唯一的，有，化简得，
若要证明，则只需，即只需，
不妨设，求导得，
令，继续求导得，
所以当时，单调递增，
所以，
所以当时，单调递增，
所以，
即当时，有不等式成立，
综上所述：若在区间上存在唯一零点，则.
13．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）求导函数并变形，再局部构造函数，再求导研究的单调性，并通过观察确定零点，判断的符号变化，从而得到符号，进而得单调性并求最值；
（2）先利用零点性存在定理证明导函数的零点的存在，设出隐零点并得到其所在区间，判断函数的单调性得最值，将零点满足的（即）变形回代表达出最小值.证明恒成立，即转化为最小值在区间成立即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
令，
则，所以在单调递增，
其中，
故当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
在处取最小值，又.
故的最小值为；
（2）由（1）知，当时，，即成立；
下面证明当时，也成立.
，定义域为，
，
令，又，
则，所以在区间0,+∞单调递增，
其中，且，
由零点存在性定理及单调性可知，存在唯一实数，
使，即，则①
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，将①式代入可得，
②，
下面先证，，
令，
则，在单调递增，
则，即，故当，③.
由②③式可得，
，
又，则，即
，所以，则有.
故当时，也成立.
综上所述，当时，．
14．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)设函数.证明：
（i）函数有唯一极值点；
（ii）若函数有唯一零点，则.
【答案】(1)减区间是，增区间是.(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用函数导数求解函数单调性；（2）利用导数证明极值点和零点所在范围.
【详解】（1）由函数可得：，且，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数减区间是，增区间是.
（2）（i）因为的定义域为，
所以，
设，则，当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，所以，
所以，即，
所以，又，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以函数有唯一极值点.
（ii）由（i）得，因为函数有唯一零点，所以，
所以，
即，所以，
设，所以，
所以在单调递减，
因为，所以.
15．已知.
(1)求在点处的切线方程；
(2)记的最大值为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）求出的导函数，再将，代入导函数中得到该点的斜率，再使用点斜式即可得到切线方程.
（2）由函数可知，当时，，所以只需讨论的情况. 根据导函数讨论函数的单调性，求出函数的最大值点，而且，.即可证明.
【详解】（1），，，
所以在点处的切线方程为.
（2）证明：当时，；当时，，
所以求的最大值为只需讨论时，，
令，,
当时，，在上单调递减，
，，故，使得gx0=0.
即.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以.
由于，，所以.
16．设函数.
(1)当时，求在上的最大值;
(2)讨论的单调性;
(3)若，证明只有一个零点.
【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】（1）先代入a的值，再求导函数得出单调性求出最大值；
（2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可；
（3）先判断函数值正负，再应用零点存在定理判断零点个数.
【详解】（1）当时， ,
当所以在上单调递增 ,
当所以在0,1上单调递减 ,
所以在上的最大值为.
（2），定义域为,
当时，f′x≥0所以 在上单调递增 .
时，时，有,
所以fx 在上单调递减,在上单调递增 ;
当时,在上单调递增 ,在上单调递减;
当时，在0,+∞上单调递减,在上单调递增 .
（3）当时,
当 时， ,
所以 有且仅有一个零点;
时， 单调递增,,所以 有且仅有一个零点;
时，,
所以有且仅有一个零点;
综上，时只有一个零点.
17．已知函数.
(1)若函数在处有极小值，求的值；
(2)当时，求证.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据在处有极小值得求出，再检验即可；
（2）根据转化为只需证明当时即可，利用导数求出取得最小值可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∵在处有极小值，∴.即，
∴.
检验：当时，，
∵，即，
当时，，，
∴，∴，∴单调递减.
当时，，
∴，∴单调递增.
综上，当时，在处有极小值；
（2）当时，时，，
则有，
故只需证明当时，，
当时，在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，；当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
故，
综上，当时，.
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）求出的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）当时，，只需证明当时，．求出导函数，再确定的单调性，从而确定的零点存在，得出极小值点，由得，代入并变形，根据已知条件即可得证．
【详解】（1）当时，，
则，
又，，
所以切线方程为：，
即．
（2）当，时，，
则有，
故只需证明当时，．
当时，函数在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，；
当x∈x0,+∞时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
故，
综上，当时，．
19．已知函数．
(1)当时，求函数过原点的切线方程；
(2)若有三个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求导，根据切点求解切线方程，代入原点坐标可得，即可求解，
（2）求导，即可根据函数的单调性，进而根据零点个数，得，代入即可求解.
【详解】（1）当时，，则，
设切点
切线方程：
由于切线过原点，所以，解得，
∴切线方程：
（2），
当时，恒成立，所以在上单调递增，至多一个零点；
当时，令，得，令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增．
有三个零点，则，即，解得，
当时，，
且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知a的取值范围为
20．已知函数.
(1)当时，求曲线y=fx在点处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先计算当时，函数的解析式，并求导，根据导数的几何意义可得，再由点斜式写出切线的方程即可．
（2）先求出，再令，并求出，通过分两种情况，，讨论的正负，得的增减性，进而判断是否恒成立，即可得出答案．
【详解】（1）当时，，
所以，
所以，
即所求切线方程为，
即.
（2）因为，
所以，
令，
则，
当时，易知，
所以在单调递增，
即.
当，即时，，
所以函数单调递增，即，符合题意.
当，即时，，
又当时，，
所以.
当时，，函数单调递减，
当时，，不符合题意.
综上，实数的取值范围为
题型三：函数零点的存在性
21．已知函数，其中.
(1)若，求的最小值；
(2)证明：至少有两个零点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出最值可得答案；
（2）求出，f1，由零点存在定理判断可得答案.
【详解】（1）由得，
当时，f′x<0，在单调递减，
当时，f′x>0，在单调递增，
因此最小值为；
（2）不全为0，不妨，，
所以，，
因此由零点存在定理，在各至少有一个零点，结论得证.
22．（1）求证：在上有唯一的零点；
（2）函数的单调区间．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用导数确定函数在上的单调性，再利用零点存在性定理推理即得.
（2）求出函数的导数，再按分类探讨函数单调区间即得.
【详解】（1）由求导得：，当时，，
即函数在上单调递增，又，，
所以函数在上有唯一的零点.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，则，在上为增函数；
当时，由，得；由，得，
则函数在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间，减区间为.
23．已知函数 .
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时，证明：函数有且仅有一个零点.
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）先确定定义域，对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果；
（2）利用（1）中结果，再利用零点存在性原理，即可得出结果.
【详解】（1）易知函数的定义域为0,+∞，，
令，，，对称轴为，
（1）当，即时，方程有两根为，，
（i）时，，时，，即，
时，，即，
（ii）时，，时，，即，
时， ，即，
（2）当，即时，方程的根为，
此时在区间0,+∞上恒成立，当且仅当取等号，
（3）当，即时，在区间0,+∞上恒成立，
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
时，函数的单调递增区间为0,+∞，无减区间.
（2）由（1）知当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，又，
又，所以，，则，，得到，
而时，，
由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数的单调递增区间为0,+∞，
又，而时，，
由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点，
综上，函数有且仅有一个零点.
24．已知函数．
(1)求证：时，；
(2)讨论的单调性；
(3)求证：恰有一个零点．
【答案】(1)证明见解析.(2)答案见解析.(3)证明见解析.
【分析】（1）构造函数，，通过导数判断函数的单调性，并求最大值即可；
（2）求导函数，分类讨论三种情况，函数在定义域的单调性即可；
（3）由（2）函数的单调性，并结合零点存在性定理，分别分析三种情况的零点即可.
【详解】（1）设，，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，
即．
（2）由题意定义域为，
则，，
①当时，函数，
当时，；当时，，
故当时，恒成立，此时在上单调递增；
②时，
当时，，函数在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
③时，
当时，，函数在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
（3）由（2）知：
①当时，在上单调递增，
因为，，
所以此时恰有一个零点；
②当时，因为的极小值为，
又由（1）知，结合的单调性，
可知此时也恰有一个零点；
③当时，的极小值为，
又，结合的单调性，同样也恰有一个零点．
综上，，恰有一个零点．
25．已知函数
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)
【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，即可得出结果；
（2）根据条件，将问题转化成在区间上有解，令，构造函数，求出的取值范围，即可求出结果.
【详解】（1）单调递减，证明如下，
易知定义域为，由，
得到，
因为，所以，又，
故在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减.
（2）由，得到，，
又是增函数，得到在区间上有解，
即在区间上有解，
令，，
则在区间恒成立，即在区间上单调递减，
所以，故实数的取值范围.
26．已知函数.
(1)设，求函数的单调区间；
(2)若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)存在.
【分析】（1）求出函数及导数，进而求出单调区间.
（2）求出函数，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理求解即得.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由，得，由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，函数，求导得.
令，求导得，由，得，
因此函数在区间上单调递增，又，，
则存在，使得且当，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，取得极小值，
所以存在，使得为函数的极小值点.
27．已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）把代入，求出函数的图象在的切线方程即可求解.
（2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调性即可得解.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
则的图象在点处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点，
所以该切线与坐标轴转成的三角形面积为.
（2）当时，函数，求导得，
令，，求导得，则函数在上递增，
因此，当，即时，函数在上单调递增，，
当时，，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围是.
28．已知，函数.
(1)若，解不等式；
(2)证明：函数有唯一零点；
(3)设，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）将不等式化简，利用对数函数单调性解不等式即可；
（2）先利用导数判断函数单调性，利用零点存在性定理即可证明；
（3）作差变形后，结合基本不等式利用作差法即可判断.
【详解】（1）当时，不等式即为，即，
所以，解得；
（2）因为，所以在定义域内单调递增，
又，，，
所以由零点存在定理得，函数有唯一零点，且零点在内.
（3）由知，，
因为，
所以
.
29．已知函数，其中.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，设.求证：存在极小值点.
【答案】(1)(2)证明见详解.
【分析】（1）当时，，由此利用导数的几何意义即可求出函数在处的切线方程.
（2）求得导数，得到，再求函数的导数，因为，所以与同号，构造函数，求得，利用零点存在定理证明函数存在，使得，进而得到在12,1上的单调性，即可作出证明.
【详解】（1）依题意得，函数的定义域为，
因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）因为，
所以，
即，
所以，
令，
则，
所以对任意x∈0,+∞，有，故在x∈0,+∞单调递增.
因为，
所以，，
所以存在，使得.
因为恒成立，
所以和在区间12,1上的情况如下表：
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以存在极小值点.
30．设函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：．
【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可.
（2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，
令
因为，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，注意到，
所以当时，；
当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：，
即，
的定义域为，
且．
在上单调递增，
当时，在上单调递增，
故在上单调递增，
又，当趋近于0时，，
根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点，
设该零点为．当x∈0,x0时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值．
，即，
两边同时取对数得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故当时，，
即．
1．设函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
【答案】(1)答案见解析(2)存在，的最小值为0
(1)因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
(2)当时，，所以，
而，
因为均为上的增函数，
故为上的增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，
且且时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为，所以，
所以，
而整数，使得关于x的不等式有解，故，
故存在整数满足题意，且的最小值为0.
2．设函数，其导函数为.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.
【答案】（1）若，在上单调递增；若，的单调减区间是：，增区间是：；（2）2.
【详解】（1）的定义域为，
，
若，则，在上单调递增；
若，则解得.
当变化时，，变化如下表：
综上所述：若，在上单调递增；
若，的单调减区间是：，增区间是：.
（2）由于，
所以.故当时，
等价于（），①
令，则.
由（1）知，当时，函数在上单调递增，
而，，所以在存在唯一的零点.
故在存在唯一的零点.
设此零点为，则.当时，；
当时，.
所以在的最小值为.又由，可得，所以.由于①式等价于，故整数的最大值为2.
3．已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(1)依题意，的定义域为，
由，得，
因为是的极值点，所以，即，即
当1时，，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
所以f（x）在处取得极大值，符合题意，因此
(2)当时，要证，只需证，
即证，等价于证明
令，则
令，则，所以对恒成立，
故 在 单调递减，
又，所以，
所以在上恰有一个零点，且．
当时，，即，所以在单调递增；
当时，，即，所以在单调递减，
所以．
又因为，即，即，即，即，
所以
所以，
又因为，所以，即，
因此，即，圆
4．设函数，，其导函数为．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，为整数，且当，，求的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)2.
(1)因为的定义域为R，．
当时，则，在R上单调递增；
当时，则，解得，
当x变化时，，变化如下表：
综上，当时，在R上单调递增；
当时，的单调减区间是，增区间是；
(2)由于，
∴．
故当时，等价于，
令，则．
由（1）知，函数在上单调递增，
而，，∴在存在唯一的零点，
故在存在唯一的零点．设此零点为m，则．
当时，；当时，，
∴在的最小值为．
又由，可得，
∴．由于，故整数的最大值为2．
5．已知，函数
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)讨论函数在上值是否存在最小？若存在，求出的值域；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)函数在上单调递增.
(2)函数在上存在最小值，且的值域为.
(1)
因为，，所以，
所以函数在上单调递增.
(2),
令，
，
在上单调递增，又因为，
所以存在使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，则，
，，
令，，
所以在上单调递增，
而故的值域为.所以的值域为.
6．（2022·四川省成都市新都一中高二期末（理））已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对任意的，，不等式恒成立，求整数 k的最大值．
【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是；
(2).
(1)对函数求导得， 令，得，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；
(2)不等式，对任意的，恒成立，
∴，即，
设，则，
令，则，函数在上单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，，所以函数单调递减；
当时，，，所以函数单调递增，
所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，
因为，
又，∴，所以整数 k 的最大值是.
7．已知函数.
(1)讨论函数的单调性与极值；
(2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）.
【答案】(1)单调性见解析，极大值为，无极小值(2)
(1)，.
当，即时，恒成立，则函数在上单调递增，无极值；
当，即时，令，即，解得，
当时，，故函数在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，且极大值为.
综上所述，当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增；在上单调递减，在处，取得极大值，且极大值为，无极小值.
(2)依题意，当时，，
.
因为，所以.
令，，
则在上恒成立，所以在上单调递增.
又，，
所以存在，使得，即，
则当时，，则，所以函数在上单调递增；
当时，，则，所以函数在上单调递减，
所以函数在上的最大值.
又因为，所以，.
令，，
则在上恒成立，所以函数在上单调递增，
所以.
因为，，
所以，又，所以整数.
负
0
正
单调递减
极小值
单调递增
单调递减
极小值
单调递增
-
0
+
减
极小值
增
x
－
0
＋
单调减
极小值
单调增