专题突破练习卷12 平面向量中的最值（范围）问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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题型一：平面向量与三角形综合求最值
1．在中，内角A，B，C的对边分别是，，，，，是外接圆圆外一点，，则的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．12
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．
5．在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A．4B．C．3D．
6．在中，，，，P为内（包含边界）的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为； ②的最小值为；
③的最大值为； ④的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型二：平面向量与四边形综合求最值
11．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3
12．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
13．在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ）

A．B．-1
C．D．2
15．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
16．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
17．在矩形中，.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ）

A．B．C．D．1
19．如图所示，矩形的边，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，若点是圆弧（含端点､上的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（ ）
A．-4B．4C．-1D．1
题型三：平面向量与圆综合求最值
21．在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
22．设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．6C．D．
23．已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
24．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
25．已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
26．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．B．的最大值为6
C．D．满足的点有一个
27．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A．B．5,7C．D．
28．已知圆O的半径为2，弦的长为2，C为圆O上一动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．12B．8C．6D．4
30．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ）
A．6B．3C．D．
1．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．5
2．已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．0,2B．0,4C．D．0,1
4．已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（ ）
A．点的坐标为B．的最小值是
C．的最大值是0D．
5．已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（ ）
A．的面积为定值
B．使得
C．的取值范围是
D．的取值范围是
6．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
7．如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段AB上的点，则的最小值为 ．
8．在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围 ．
9．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为 .
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，且，求的面积；
(3)如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值．