苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性获奖课件ppt

这是一份苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性获奖课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了学习目标，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，知识回顾，探索与思考，重合的线段，重合的角，ABAC，∠B∠C，BDCD等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明等腰三角形的性质定理；
2.能用等腰三角形性质定理进行计算或说理；
3. 会利用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？
2.等腰三角形的有关概念
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
问题1 等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
活动一 探究等腰三角形的轴对称性
操作 如图，把等腰三角形ABC沿顶角平分线AD折叠，你有什么发现？
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高、中线）所在的直线是它的对称轴.
找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角.
活动二 探究等腰三角形的性质
问题2 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想.
猜想1 等腰三角形的两个底角相等.
猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.
问题3 你能用我们学过的知识来证明这两个猜想吗？
方法1 利用等腰三角形的轴对称性证明.
证明：如图，在△ABC中，AB=AC，沿∠BAC的平分线AD把△ABD翻折.∵∠BAD=∠CAD，∴AB落在射线AC上．∵AB=AC，∴点B与点C重合，从而△ABD与△ACD重合.∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，BD=CD.
如果AD是高或者角平分线，你会说明理由吗？
方法2 利用三角形全等证明.
如何构造两个全等的三角形?
AD是中线？高？角平分线？
猜想1 等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC 中，AB=AC．
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
作底边的中线AD，则BD=CD.
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
作底边的高线AD，则∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△BAD和Rt△CAD中，
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).
等腰三角形的性质定理1：
在△ABC中，∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
在同一个三角形中，等边对等角.
等腰三角形的两个底角相等.
(简称“等边对等角”)
证明：∵△BAD≌ △CAD，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合.
等腰三角形的性质定理2：
∵AB=AC， ∠1=∠2 (已知)，∴BD=CD，AD⊥BC (等腰三角形三线合一).
∵AB=AC， BD=CD (已知)，∴∠1=∠2，AD⊥BC (等腰三角形三线合一).
∵AB=AC， AD⊥BC (已知)，∴BD=CD，∠1=∠2 (等腰三角形三线合一).
问题4 作出等腰三角形腰上的中线、角平分线、高，它们重合吗？
三线合一指的是底边上的三线合一，腰的三线不一定合一.
1.判断下列语句是否正确.
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（ ）（2）等腰三角形一角的平分线，一边上的中线，一边上的高 都是它的对称轴 （ ）（3）等腰三角形的两角相等.（ ）（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.（ ）
2. 在△ABC中，AB=AC，点D在BC上. 如果∠BAD=∠CAD，那么 AD⊥BC ，BD=CD； 如果BD=CD，那么∠______=∠_______, _______⊥______; 如果AD⊥BC，那么_________________，_________.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝ ___．
(3)如果有一个角等于120°, 那么∠A＝ ____ ，∠B＝___ ，∠C ＝___ ．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？
解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.
已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
1．作线段BC＝a．2．作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D．3．在MN上截取线段DA，使AD＝h．4．连接AB、AC．△ABC就是所求作的等腰三角形．
活动三 用直尺和圆规作等腰三角形
操作 用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h.
在△ABC中，∵AC = AB (已知)，∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
在△ABC中，AB=AC.(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证: ∠ADB＝∠BAC．
要证∠ADB＝∠BAC
只要找与∠1相等且与∠C也相等的角.
由于∠BAC=∠1+∠2， ∠ADB=∠C+∠2.
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角）∴∠C＝∠1.∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADB＝∠C+∠2.∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：DE=DF.
已知DE⊥AB, DF⊥ACD是BC的中点
只要证△DBE≌△DCF
∴ ∠B= ∠C (等边对等角).
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS).
已知AB=AC，D是BC的中点
已知DE⊥AB, DF⊥AC
只要证AD平分∠BAC
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：DE=DF .
证明：∵ AB＝AC，D是BC的中点，∴ AD平分∠BAC（三线合一）.∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF.
1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD. 找出图中相等的角并说明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B.∴∠BAD=∠B=∠C
∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC， ∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∴∠ADB=∠BAC.
2.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°， (1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数； (2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知） ∴ AD⊥BC（三线合一）
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.
常用辅助线：作顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线
1.等腰三角形的对称轴是( 　　)A.底边上的中线　　　 B.顶角的平分线C.底边上的高 D.底边的垂直平分线
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是( 　　)A. ∠B=∠C B. AD⊥BC C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
3.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有( )个
（1）AD平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD； （4）DE⊥AB．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ ________；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ _______ __.
72°,72°或36°,108°
5. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
6.如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FM、MH……，添加的 钢管长度都与OE相等，添加这样的钢管4根时，则∠AHB 的度数为__________.
7.如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
解：设∠B=x°.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=x°.∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°.∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC=(2x)°.∵AB=AC，∴∠C=∠B=x°.∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°,∴x+2x+2x=180.∴x=36，即∠B=36°.∴∠BAC=180°-36°-36°=108°
8. 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(1)证明：如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.
8. 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
(2)证明：∵F为DE的中点，∴DF＝EF.∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.