湖北省武汉市硚口区四校2024-2025学年九年级上学期九月联考数学试题

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1. 下列函数中，属于二次函数的是( )
A.y＝ B.y＝ C.y＝(x＋4)2－x2 D.y＝x2－1
2. 将方程7x－3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为( )
A.7 B.－7 C.7x D.－7x
3. 用配方法解方程x2＋4x－5＝0，下列配方正确的是( )
A.(x－2)2＝6 B.(x－2)2＝9 C.(x＋2)2＝5 D.(x＋2)2＝9
4. 抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是( )
A.(1，2) B.(1，－2) C.(－1，2) D.(－1，－2)
5. 设一元二次方程x2－2x－3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x1x2＋x2的值为( )
A.－1 B.1 C.－5 D.5
6. 对于二次函数y＝(x－1)2－2的图象，下列说法正确的是( )
A.开口向下 B.对称轴是直线x＝－1
C.顶点坐标是(－1,－2) D.与x轴有两个交点
7. 在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了 110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A.x(x＋1)＝110 B.x(x－1)＝110 C.x(x＋1)＝110 D.x(x－1)＝110
8. 已知函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0根的情况是( )
A.无实数根 B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根

9. 已知抛物线y＝x2－2x－m2的自变量x1、x2、x3对应的函数值分别为y1、y2、y3，当2＜x1＜3，0＜x2＜1，x3＜－3时，y1、y2、y3三者之间的大小关系是( )
A.y2＜y3＜y1 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y2＜y3 D.y3＜y1＜y2
10.如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为－4a；④若关于x的方程ax2＋bx＋c＝a＋1无实数根，则－＜a＜0. 正确的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题.(每小题3分，共15分)
11.抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是___________.
12.关于x的一元二次方程mx2－2mx＋1＝0有两个相等的实数根，则m＝________.
13.若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2024－6a＋2b的值为_______.
14.下面表格是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是________.
15.已知二次函数y＝－x2－2x＋3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为_____.
三、解答题.(75分)
16.(6分)解方程.
⑴ x(x－1)－x＝0； ⑵ 2x2－3x＝1.
17.(6分)已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过A(0,2)，B(1,－3)两点.
⑴ 求b和c的值；
⑵ 试判断点P(－1,4)是否在此函数图像上？
18.(6分)列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，若要使草坪的面积为540m2，求道路宽的长度.
19.(8分)如图，抛物线y＝－x2＋mx与直线y＝x＋b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C(0，－2).
⑴ 求抛物线的解析式及顶点坐标；
⑵ 求点A的坐标，并结合函数图象直线写出关于x的不等式－x2＋mx＞x＋b的解集.
20.(8分)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
⑴ 若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一根；
⑵ 求证：不集结a为何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
21.(8分)如图，二次函数的顶点坐标为(2，5)，图象过点(0，1).
⑴ 求二次函数的表达式；
⑵ 已知△ABC为一直角三角形纸片，∠BAC＝90°，AB＝，AC＝1，直角边AB落在x轴上，点C在x轴上方，将纸片沿x轴平移，当点C落在抛物线上时，求点B的坐标.
22.(10分) )如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm,BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合). 点P、Q分别从A、B同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为xs.
⑴ 当x＝1时，求出△PBQ的面积；
⑵ 是否存在某一时刻，△PBQ与四边形APQC的面积相等，若存在，求出此时时间;若不存在，请说明理由；
⑶ 设四边形APQC的面积为y mm2，求出y的最小值.
23.(11分)某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果. 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元.
⑴ 分别求出y与x，W与x之间的函数解析式；
⑵ 该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价；
⑶ 若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元.
24.(12分)如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－2，0)、B(4，0)、C(0，－8)，与直线y＝x－4交于B，D两点.
⑴ 求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
⑵ 点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
⑶ 当m≤x≤m＋1时，函数有最小值为5m，请写出m的值.
x
0
0.5
1
1.5
2
y
－1
－0.5
1
3.5
7