2025届湖北省武汉黄陂区六校联考九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份2025届湖北省武汉黄陂区六校联考九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是（ ）
A．互相平分B．互相垂直C．相等D．任何一条对角线平分一组对角
2、（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动.在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )
A．6B．2C．2D．2＋2
3、（4分）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4、（4分）实数的值在（ ）
A．0和1之间B．1和1.5之间
C．1.5和2之间D．2和4之间
5、（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6、（4分）一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象是( )
A．B．C．D．
7、（4分）一个三角形的三边分别是6、8、10，则它的面积是（ ）
A．24B．48C．30D．60
8、（4分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）学校位于小亮家北偏东35方向，距离为300m，学校位于大刚家南偏东85°方向，距离也为300m，则大刚家相对于小亮家的位置是________.
10、（4分）分解因式：3a2﹣12=___．
11、（4分）分式有意义的条件是______．
12、（4分）如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）
13、（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长度是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某商店分两次购进 A．B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
15、（8分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度1B.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm.EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB.
16、（8分）如图，在平行四边形中，，于点，试求的度数.
17、（10分）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△AOB的面积．
18、（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A(1，4)，点B(3，2)，连接OA，OB．
（1）求直线OB与AB的解析式；
（2）求△AOB的面积．
（3）下面两道小题，任选一道作答．作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分．
①在y轴上是否存在一点P，使△PAB周长最小．若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
②在平面内是否存在一点C，使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在矩形中，的平分线交于点，连接，若，，则_____．
20、（4分）菱形两对角线长分别为24和10，则这个菱形的面积是________，菱形的高为_____．
21、（4分）若，则＝_____．
22、（4分）已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为_____．
23、（4分）五边形从某一个顶点出发可以引_____条对角线．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）为了从甲、乙两名学生中选拨一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射靶6次，命中的环数如下：
甲：7，8，6，10，10，7
乙：7， 7，8，8，10,8，
如果你是教练你会选拨谁参加比赛？为什么？
25、（10分）如图，四边形ABCD是矩形，将一块正方形纸板OEFG如图1摆放，它的顶点O与矩形ABCD的对角线交点重合，点A在正方形的边OG上，现将正方形绕点O逆时针旋转，当点B在OG边上时，停止旋转，在旋转过程中OG交AB于点M，OE交AD于点N．
(1)开始旋转前，即在图1中，连接NC．
①求证：NC=NA（M）；
②若图1中NA（M）=4，DN=2，请求出线段CD的长度．
(2)在图2（点B在OG上）中，请问DN、AN、CD这三条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．
（3）试探究图3中AN、DN、AM、BM这四条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．
26、（12分）解不等式组：，并判断是否为该不等式组的解．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
【详解】
解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选A．
故选：A．
此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
2、D
【解析】
试题分析：作AC的中点D，连接OD、DB，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵D是AC中点，
∴OD=AC=2，
∵BD=，OD=AC=2，
∴点B到原点O的最大距离为2+2，
故选D．
考点：1.二次函数的应用；2.两点间的距离；3.勾股定理的应用．
3、D
【解析】
利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
【详解】
∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
4、B
【解析】
根据，，即可判断．
【详解】
解：∵，，，
∴实数的值在1和1.5之间，
故选：B．
此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
5、D
【解析】
试题分析：A．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；
C．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．
故选D．
考点：命题与定理．
6、C
【解析】
根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【详解】
当ab＞0，a，b同号，y=abx经过一、三象限，
同正时，y=ax+b过一、三、二象限；
同负时过二、四、三象限，
当ab＜0时，a，b异号，y=abx经过二、四象限
a＜0，b＞0时，y=ax+b过一、三、四象限；
a＞0，b＜0时，y=ax+b过一、二、四象限．
故选C．
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
7、A
【解析】
先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形,再利用面积法代入求解即可．
【详解】
∵,
∴三角形是直角三角形,
∴面积为:．
故选A．
本题考查勾股定理逆定理的应用,关键在于熟悉常用的勾股数．
8、C
【解析】
根据正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】
A.不符合y=kx（k为常数且k≠0），故本选项错误；
B.是一次函数但不是正比例函数，故本选项错误；
C.是正比例函数，故本选项正确；
D.自变量x的次数是2，不符合y=kx（k为常数且k≠0），故本选项错误；
故选：C．
本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、北偏西25°方向距离为300m
【解析】
根据题意作出图形，即可得到大刚家相对于小亮家的位置.
【详解】
如图，根据题意得∠ACD=35°，∠ABE=85°，AC=AB=300m
由图可知∠CBE=∠BCD，
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB，
即∠ABE-∠CBE=∠ACD+∠BCD，
∴85°-∠CBE=35°+∠CBE，
∴∠CBE=25°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，则BC=300m,
∴大刚家相对于小亮家的位置是北偏西25°方向距离为300m
故填：北偏西25°方向距离为300m.
此题主要考查方位角的判断，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.
10、3（a+2）（a﹣2）
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．
11、x≠1
【解析】
分析：根据分母不为零分式有意义，可得答案．
解：由有意义，得
x﹣1≠0，
解得x≠1
有意义的条件是x≠1，
故答案为：x≠1．
12、AC=BD
【解析】
根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
【详解】
添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD
本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
13、
【解析】
连接DF交AE于G，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AGD＝∠DFC＝90°，再根据面积法即可得出DG＝，最后判定△ADG≌△DCF，即可得到CF＝DG＝．
【详解】
解：如图，连接DF交AE于G，
由折叠可得，DE＝EF，
又∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD，∠ECF＝∠EFC，
又∵∠EDF+∠EFD+∠EFC+∠ECF＝180°，
∴∠EFD+∠EFC＝90°，即∠DFC＝90°，
由折叠可得AE⊥DF，
∴∠AGD＝∠DFC＝90°，
又∵ED＝3，AD＝6，
∴Rt△ADE中，
又∵
∴DG＝
∵∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAG＝∠CDF，
又∵AD＝CD，∠AGD＝∠DFC＝90°，
∴△ADG≌△DCF（AAS），
∴CF＝DG＝，
故答案为：．
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及全等三角形的判定与性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元；（2）当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
【解析】
试题分析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：，解得：．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，
根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+1．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤2．
∵在w=10m+1中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，
∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．
考点：一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式.
15、9米
【解析】
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【详解】
解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE=40cm=0.4m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=10m，
∴，
∴BC=7.5米，
∴AB=AC+BC=1.5+7.5=9米．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
16、.
【解析】
由BD=CD可得∠DBC=∠C=70°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，从而有∠ADB=∠DBC=70°，继而在直角△AED中，根据直角三角形两锐角互余即可求得答案.
【详解】
，
，
在中，，
，
于点，
，
.
本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知，熟练掌握相关知识是解题的关键.
17、 (1) y=2x+4, 直线与x轴交点为F（-2,0），与y轴交点为E（0，4）;(3) S△AOB =8
【解析】
试题分析：（1）设直线a的解析式为y＝kx＋b，用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）设直线a与有轴交于点C，根据S△AOB＝S△AOC＋S△COB得出答案即可．
【详解】
试题解析：
设直线解析式为y＝kx＋b，
把点A（1,6）和点B（－3，－2）代入上式得
6＝k＋b
－2＝－3k＋b
解得：k＝2，b＝4
所以，y＝2x＋4
x＝0时，y＝4
y＝0时，x＝－2
所以，直线与x轴交点为F（－2,0），与y轴交点为E（0，4）
（2）设直线a与有轴交于点C
S△AOB＝S△BOF＋S△AOF
＝2×2×＋2×6×
＝2＋6＝8
18、（1）直线OB的解析式为，直线AB的解析式为y= -x+1（2）1；（3）①存在，(0，)；②存在，(2，-2)或(4，6)或(-2，2)
【解析】
（1）根据题意分别设出两直线的解析式，代入直线上两点坐标即可求出直线OB与AB的解析式；
（2）延长线段AB交x轴于点D，求出D的坐标，分别求出、由即可求得；
（3）①根据两点之间线段最短，A、B在y轴同侧，作出点A关于y的对称点，连接B与y轴的交点即为所求点P；
②使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则分三种情况分析，分别以OA、AB、OB为对角线作出平行四边形，利用中点坐标公式代入求解即可．
【详解】
解：（1）设直线OB的解析式为y=mx，
∵点B(3，2)，
∴ ，
∴直线OB的解析式为，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意可得：
解之得
∴直线AB的解析式为y= -x+1．
故答案为：直线OB的解析式为，直线AB的解析式为y= -x+1；
（2）如图，延长线段AB交x轴于点D，
当y=0时，-x+1=0，x=1，
∴点D横坐标为1，OD=1，
∴，

∴，
故答案为：1．
（3）①存在，(0，)；
过点A作y轴的对称点，连接B，交y轴与点P，则点P即为使△PAB周长最小的点，
由作图可知，点坐标为，又点B（3，2）
则直线B的解析式为：，
∴点P坐标为，
故答案为：；
②存在． 或或．
有三种情况，如图所示：设点C坐标为，
当平行四边形以AO为对角线时，
由中点坐标公式可知，AO的中点坐标和BC中点坐标相同，
∴
解得
∴点坐标为，
当平行四边形以AB为对角线时，AB的中点坐标和OC的中点坐标相同，则
∴点的坐标为，
当平行四边形以BO为对角线时，BO的中点坐标和AC的中点坐标相同，则
解得
∴点坐标为，
故答案为：存在，或或．
本题考查了直线解析式的求法，列二元一次方程组求解问题，割补法求三角形的面积，两点之间线段最短，“将军饮马”模型的应用，添加点构造平行四边形，利用中点坐标公式求点坐标题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
【分析】由矩形的性质可知∠D=90°，AD=BC=8，DC=AB，AD//BC，继而根据已知可得AB=AE=5，再利用勾股定理即可求得CE的长.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=8，DC=AB，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
∴DC=5，DE=AD-AE=3，
∴CE=，
故答案为.
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，求出AB的长是解题的关键.
20、110cm1，cm．
【解析】
试题分析：已知两对角线长分别为14cm和10cm，利用勾股定理可得到菱形的边长=13cm，根据菱形面积==两条对角线的乘积的一半可得菱形面积=×14×10=110cm1．又因菱形面积=底×高，即高=菱形面积÷底=cm．
考点：菱形的性质；勾股定理．
21、
【解析】
设＝m，则有x＝3m，y＝4m，z＝5m，代入原式即可得出答案．
【详解】
解：设＝m，
∴x＝3m，y＝4m，z＝5m，
代入原式得：．
故答案为．
本题考查了代数式求值和等比例的性质，掌握并灵活运用等比例性质是解答本题的关键.
22、1
【解析】
因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为1．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为6×8÷2＝1
故答案为1
此题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．
23、1
【解析】
从n边形的一个顶点出发有（n−3）条对角线，代入求出即可．
【详解】
解：从五边形的一个顶点出发有5﹣3＝1条对角线，
故答案为：1．
本题考查了多边形的对角线，熟记知识点（从n边形的一个顶点出发有（n−3）条对角线）是解此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、应选乙参加比赛．
【解析】
分析：分别求出甲、乙两名学生6次射靶环数的平均数和方差，然后进行比较即可求得结果.
详解：（1）甲=（7+8+6+10+10+7）=8；
S甲2= [（7-8）2+（8-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（10-8）2+（7-8）2]=；
乙=（7+7+8+8+10+8）=8；
S乙2=[（7-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（10-8）2+（8-8）2]=1；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛．
点睛：本题考查一组数据的方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而方差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
25、（1）①证明见解析；②；（1）ND1=NA1+CD1，证明见解析；（3）DN1+BM1=AM1+AN1，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）①由矩形的对角线互相平分得OA=OC，根据正方形的内角都是直角，得∠EOG=90°，用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可得；②用勾股定理计算即可；（1）连接BN，方法同（1）得到NB=ND，再用勾股定理即可；（3）延长GO交CD于H，连接MN，HN，先判断出BM=DH，OM=OH，再和前两个一样，得出MN=NH，再用勾股定理即可．
解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，
∵四边形EFGO为正方形，∴∠EOG=90°，
∴NC=NA；
②由①得，NA=NC=4，DN=1，
根据勾股定理得CD==；
（1）结论：ND1=NA1+CD1，连接NB，
∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AB=CD，
∵四边形EFGO为正方形，∴∠EOG=90°，
∴ND=NB.
根据勾股定理得NB1=NA1+AB1=NA1+CD1=ND1；
（3）结论AN1+AM1=DN1+BM1，
延长GO交CD于H，连接MN，HN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，∠OBM=∠ODH，
又∵∠BOM=∠DOH，
∴△BOM≌△DOH，
∴BM=DH，OM=OH，
∵四边形EFGO是正方形，
∴∠EOG=90°，
∴MN=NH，
在Rt△NDH中，NH1=DN1+DH1=DN1+BM1，
在Rt△AMN中，MN1=AM1+AN1，
∴DN1+BM1=AM1+AN1．
26、,是该不等式组的解
【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】
解：
由不等式①得：
由不等式②得：
∴不等式组的解集为：
∵，
∴是该不等式组的解．
本题考查的是解一元一次不等式组，以及不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤和方法.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分