2025届湖南长沙麓山国际实验学校九上数学开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份2025届湖南长沙麓山国际实验学校九上数学开学质量检测模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对
2、（4分）若最简二次根式2与是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．B．2C．﹣3D．
3、（4分）在△ABC中，若底边长是a，底边上的高为h，则△ABC的面积，当高h为定值时，下列说法正确的是( )
A．S，a是变量；，h是常量
B．S，a，h是变量；是常量
C．a，h是变量；S是常量
D．S是变量；，a，h是常量
4、（4分）若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
5、（4分）如图，已知▱ABCD的周长为20，∠ADC的平分线DE交AB于点E，若AD＝4，则BE的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
6、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥2C．x＞1D．x＞2
7、（4分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的是（ ）
A．中位数是92.5B．平均数是92C．众数是96D．方差是5
8、（4分）如图，在中，的平分线交于，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为 __．
10、（4分）如图在△ABC中,AH⊥BC于点H,在AH上取一点D,连接DC，使DA=DC,且∠ADC=2∠DBC,若DH=2,BC=6,则AB=_________________。
11、（4分）如图， ,矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，则运动过程中，点C到点O的最大距离为___________.
12、（4分）如图，已知函数和的图象交于点P, 则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是_____________。
13、（4分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是1cm、2cm，则线段EF的长为 ______cm．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC= S△AOB时，求直线OC的解析式。
15、（8分）如图△ABC中，点D是边AB的中点，CE∥AB，且AB=2CE，连结BE、CD。
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）用无刻度的直尺画出△ABC边BC上的中线AG(保留画图痕迹)
16、（8分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．
（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为 分钟．
17、（10分）如图，▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF；求证：AE=CF．
18、（10分）如图
如图1，四边形ABCD和四边形BCMD都是菱形，
（1）求证：∠M=60°
（2）如图2，点E在边AD上，点F在边CM上，连接EF交CD于点H，若AE=MF，求证：EH=HF；
（3）如图3，在第(2)小题的条件下，连接BH，若EF⊥CM，AB=3，求BH的长
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，对角线AC、BD相交于点O，若CD＝3cm，△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则四边形ABCD的周长＝______cm．
20、（4分）在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝6，则菱形ABCD的对角线BD的长是_____．
21、（4分）计算：的结果是________．
22、（4分）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝_____．
23、（4分）已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：≌.
（2）若DEB=90，求证四边形DEBF是矩形.
25、（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．
（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；
（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．
①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；
②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．
26、（12分）已知某企业生产的产品每件出厂价为70元，其成本价为25元，同时在生产过程中，平均每生产一件产品有1 m3的污水排出，为达到排污标准，现有以下两种处理污水的方案可供选择．
方案一：将污水先净化处理后再排出，每处理1 m3污水的费用为3元，并且每月排污设备损耗为24 000元．
方案二：将污水排到污水厂统一处理，每处理1 m3污水的费用为15元，设该企业每月生产x件产品，每月利润为y元．
(1)分别写出该企业一句方案一和方案二处理污水时，y与x的函数关系式；
(2)已知该企业每月生产1 000件产品，如果你是该企业的负责人，那么在考虑企业的生产实际前提下，选择哪一种污水处理方案更划算？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
试题分析：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，
根据三角形中位线定理可得：
EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，
根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．
故选A．
考点：三角形中位线定理．
2、B
【解析】
根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【详解】
∵最简二次根式2与是同类二次根式，
∴3a﹣1＝a+3，解得a＝2，
故选：B．
此题考查同类二次根式的定义，最简二次根式的特点，正确理解题意列出方程是解题的关键.
3、A
【解析】
因为高h为定值，所以h是不变的量，即h是常量，所以S，a是变量，，h是常量．
故选A.
4、A
【解析】
根据第二象限内点的横坐标是负数判断．
【详解】
解：∵点P（a，1）在第二象限，
∴a＜0，
∴-1、0、1、1四个数中，a的值可以是-1．
故选：A．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5、C
【解析】
只要证明AD=AE=4，AB=CD=6即可解决问题.
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝4，
∴EB＝AB﹣AE＝6﹣4＝1．
故选：C．
此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
6、B
【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即可得.
【详解】
由题意得
，
解得：x≥2，
故选B.
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.
7、B
【解析】
试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，
则中位数为：，故A错误；
平均数为：，故B正确；
众数为：91，故C错误；
方差S2=
=，故D错误．
故选A．
8、B
【解析】
由角平分线的定义和平行四边形的性质可求得∠ABE＝∠AEB ，易得AB＝AE．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝3，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
故选：B．
本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质和角平分线的定义求得∠ABE＝∠AEB是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
在菱形 中， ，设


10、
【解析】
如图，过点B作BE∥DH，并在BE上取BE=2DH，连接ED，EC．并取BE的中点K，连接DK，根据垂直的定义得到∠DHC=90°，由平行线的性质得到∠EBC=90°．由线段垂直平分线的性质得到BK=DH．推出四边形DKBH为矩形，得到DK⊥BE，根据等腰三角形的性质得到DE=DB，∠EDB=2∠KDB，通过△EDC≌△BDA，得到AB=CE，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】
解：如图，过点B作BE∥DH，并在BE上取BE=2DH，连接ED，EC．并取BE的中点K，连接DK，
∵DH⊥BC于H，
∴∠DHC=90°，
∵BE∥DH，
∴∠EBC=90°，
∵∠EBC=90°，
∵K为BE的中点，BE=2DH，
∴BK=DH．
∵BK∥DH，
∴四边形DKBH为矩形，DK∥BH，
∴DK⊥BE，∠KDB=∠DBC，
∴DE=DB，∠EDB=2∠KDB，
∵∠ADC=2∠DBC，
∴∠EDB=∠ADC，
∴∠EDB+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠EDC=∠BDA，
在△EDC、△BDA中，
，
∴△EDC≌△BDA，
∴AB=CE，
∴，
∴AB=．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．
11、
【解析】
取AB的中点E，连接OE、CE、OC，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、C、E三点共线时，点C到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】
如图，取AB的中点E，连接OE、CE、OC，∵OC⩽OE+CE，
∴当O、C. E三点共线时，点C到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，
∴OE=AE=AB=1，
CE=，
∴OC的最大值为：
此题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题关键在于做辅助线
12、
【解析】
由图可知：两个一次函数的交点坐标为（-4，-2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】
函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（-4，-2），
即x=-4，y=-2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
故答案为：．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13、3
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠E=∠F=90°,∠EAB+∠ABE=90°,∠FBC+∠BCF=90°.
∵∠ABE+∠ABC+∠FBC=180°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC.
在△ABE和△BCF中,
，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴BE=CF=2cm，BF=AE=1cm，
∴EF=BE+BF=2+1=3cm.
故答案为3.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)；（2）y=-x
【解析】
（1）分别令y=0, x=0, 代入一次函数式，即可求出A、B点的坐标；
（2）先由OA和OB的长求出△AOB的面积，设C点坐标为（m,n），△AOC和△AOB等底不同高， 由 S△AOC= S△AOB 列式，求出C点的纵坐标n，把n代入一次函数式求出m, 从而得出C点坐标， 设直线OC的解析式为y=kx ，根据C点坐标用待定系数法求出k, 即可确定直线OC的函数解析式.
【详解】
（1）解：∵直线y= x+2，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4
∵直线y= x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)
（2）解：由(1)知，点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OB=2，
∴S△AOB= =4
S△AOC= S△AOB ，
∴S△AOC=2
设点C的坐标为(m，n)
∴ =2，得n=1，
∵点C在线段AB上，
∴1= m+2，得m=-2
∴点C的坐标为(-2，1)
设直线OC的解析式为y=kx
-2k=1，得k=- ，
即直线OC的函数解析式为y=-x
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角形的面积公式.
15、（1）证明见解析 （2）答案见解析
【解析】
（1）利用线段中点的定义可证得AB=2BD，再结合已知证明BD=CE，然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；
（2）连接DE交BC于点G ，连接AG，利用平行四边形的对角线互相平分，可得点G时BC的中点，利用三角形的中线的定义，可知AG是中线.
【详解】
（1）解： ∵点D是边AB的中点，
∴AB=2BD，
∵AB=2CE，
∴BD=CE；
∵CE∥AB
∴四边形BECD是平行四边形。
（2）解： 连接DE交BC于点G ，连接AG，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BG=CG，
∴AG是△ABC的BC边上的中线，
即AG就是所求作的图形.
本题考查了平形四边形的判定与性质，正确的识别图形是解题的关键.
16、 (1)5立方米；（2）y=4x+3；（3）1，11.
【解析】
【分析】（1）用体积变化量除以时间变化量即可求出注入速度；
（2）根据题目数据利用待定系数法求解；
（3）由（2）比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为5﹣4=1，再根据总输出量为8求解即可．
【详解】（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5立方米；
（2）设y=kx+b（k≠0），把（3，15）（5.5，25）代入，则有
，解得：，
∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3；
（3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1立方米；
只打开输出口前，水泥输出量为5.5﹣3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需输出8﹣2.5=5.5立方米，用时5.5分钟
∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟，
故答案为1，11.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象、弄清题意、熟练应用一次函数的图象和性质以及在实际问题中比例系数k代表的意义．
17、见解析
【解析】
根据已知条件利用AAS来判定△ADF≌△CBE，从而得出AE=CF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB．
∴∠BCE=∠DAF．
∵BE∥DF，
∴∠AFD=∠CEB
在△CDF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴CE=AF，
∴AE=CF．
此题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18、（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
【解析】
（1）利用菱形的四条边相等，可证CD=DM=CM=AD，就可得到△CDM是等边三角形，再利用等边三角形的三个角都是60°，就可求出∠M的度数；
（2）过点E作EG∥CM交CD的延长线于点G，可得到∠G=∠HCF，先证明△EDG是等边三角形，结合已知条件证明EG=CF，利用AAS证明△EGH≌△FCH，再根据全等三角形的对应边相等，可证得结论；
（3）设BD，EF交于点N，根据前面的证明可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，再利用垂直的定义及三角形内角和定理可求出∠HED，∠EHD的度数，从而利用等腰三角形的判定和性质，可证得ED=DH=CF，可推出CD=3DH，就可求出DH的长，然后利用解直角三角形分别求出BN，NH的长，再利用勾股定理就可求出BH的长.
【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD和四边形BCMD都是菱形，
∴BC=CD=AD，BC=DM=CM
∴CD=DM=CM=AD，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠M=60°。
（2）解： 如图2，过点E作EG∥CM交CD的延长线于点G，
∴∠G=∠HCF=60°，∠GED=∠M=60°，
∴∠G=∠GED=∠EDG=60°，
∴△EDG是等边三角形
∴EG=DE；
∵AD=CM，AE=MF，
∴DE=CF，
∴EG=CF；
在△EGH和△FCH中，
∴△EGH≌△FCH（AAS）
∴EH=FH.
（3）解： 如图3，设BD，EF交于点N，
由（1）（2）的证明过程可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，
∵EF⊥CM，
∴∠EFM=90°，
∴∠HED=90°-60°=30°，
∠CDM=∠HED+∠EHD=60°
∴∠EHD=60°-30°=30°=∠HED=∠CHF
∴ED=DH=CF，
在R△CHF中，∠CHF=30°
∴CH=2CH=2DH，
∴CD=CH+DH=3DH=3
解之：DH=CF=1
∵菱形CBDM，EF⊥CM
∴BD∥CM
∴EF⊥BD；
∴∠DNH=∠BNH=90°，
在Rt△DHN中，∠DHN=30°，DH=1
∴DN=DHsin∠30°=，
NH=DHcs30°=；
∴BN=BD-DN=3-=，
在Rt△BHN中，
BH=.
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、16
【解析】
根据条件可得：四边形ABCD是平行四边形，得，根据△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，可得的长，求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC,AB=CD=3
∵△BOC的周长比△AOB的周长大2cm
∴OB+OC+BC=OB+OA+AB+2
∴BC=AB+2=5
∴四边形ABCD的周长:5+5+3+3=16(cm)
故答案为：16
本题考查了平行四边形边长的问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20、6
【解析】
先证明△ABC是等边三角形，得出AC=AB，再得出OA，根据勾股定理求出OB，即可得出BD．
【详解】
如图，
∵菱形ABCD中，AE垂直平分BC，
∴AB=BC，AB=AC，OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，
∴AB=BC=AC=6，
∴OA=3，
∴OB=，
∴BD=2OB=6，
故答案为：6.
本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质，证明等边三角形和运用勾股定理求出OB是解决问题的关键．
21、4
【解析】
按照二次根式的乘、除运算法则运算即可求解.
【详解】
解：原式=
故答案为：4.
本题考查二次根式的乘除运算法则，熟练掌握运算公式是解决此类题的关键.
22、-1
【解析】
根据点A在正比例函数y＝mx上，进而计算m的值，再根据y的值随x值的增大而减小，来确定m的值.
【详解】
解∵正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），
∴4＝m1．
∴m＝±1
∵y的值随x值的增大而减小
∴m＝﹣1
故答案为﹣1
本题只要考查正比例函数的性质，关键在于根据函数的y的值随x值的增大而减小，来判断m的值.
23、1
【解析】
试题分析：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴每一个外角为72°．
∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）利用SAS证明；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．（1）由在□ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF是矩形．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，∴BE=DF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形．
故答案为（1）利用SAS证明；（2）证明见解析.
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
25、（1）45°；（2）①四边形BEFG是菱形，8；② y＝（0＜x＜12）
【解析】
（1）利用等腰三角形的性质求出∠AEF即可解决问题．
（2）①证明四边形BEFG是菱形，根据垂线段最短，求出BE的最小值即可解决问题．
②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．证明△ABG≌△DBE（SAS），推出AG＝DE＝y，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，推出DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，根据DE2＝EH2+DH2，构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝75°，
∵∠BEF＝120°，
∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．
（2）①如图2中，连接DE．
∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，
∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，
∴∠ABE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠EFD＝180°，
∴∠EFD＝∠ABE，
∴∠EFD＝∠ADE，
∴EF＝ED，
∴EF＝BE，
∵BE∥FG，BG∥EF，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵EB＝EF，
∴四边形BEFG是菱形，
∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB•sin30°＝2，
∴四边形BGFE的周长的最小值为8．
②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝BA，∠ABD＝60°，
∵BG∥EF，
∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABD＝∠GBE，
∴∠ABG＝∠DBE，
∵BG＝BE，
∴△ABG≌△DBE（SAS），
∴AG＝DE＝y，
在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，
∴DH＝|4﹣x|，
在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，
∴y2＝x2+（4﹣x）2，
∴y2＝x2﹣12x+48，
∴y＝（0＜x＜12）．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
26、（1）选择方案一时，月利润为y1＝42x－24 000；选择方案二时，月利润为y2＝30x；（2）选择方案一更划算．
【解析】
(1)方案一的等量关系是利润＝产品的销售价－成本价－处理污水的费用－设备损耗的费用，方案二的等量关系是利润＝产品的销售价－成本价－处理污水的费用．可根据这两个等量关系来列出关于利润和产品件数之间的函数关系式；
(2)可将(1)中得出的关系式进行比较，判断出哪个方案最省钱．
【详解】
解 (1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得
选择方案一时，月利润为y1＝(70－25)x－(3x＋24 000)＝42x－24 000，
选择方案二时，月利润为y2＝(70－25)x－15x＝30x；
(2)当x＝1 000时，y1＝42x－24 000＝18 000，
y2＝30x＝30 000，
∵y1＜y2.
∴选择方案二更划算．
本题考查的是一次函数的综合运用，熟练掌握一次函数是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分