福建省莆田第十五中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份福建省莆田第十五中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题，共10页。

A．1，2，3B．1，2，5C．2，2，4D．2，3，4
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
3．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
5．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′OB′＝∠AOB依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
6．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠ADC＝∠AEBD．DC＝BE
7．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．75°B．95°C．105°D．125°
8．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12B．15C．12或15D．18
9．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90°B．360°C．180°D．无法确定
10．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（ ）°．
A．B．C．D．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条，其中的数学原理是 ．
12．纸片△ABC中，∠C＝40°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
13．如图，在△ABC中，∠A＝65°，则∠1+∠2＝ °．
14．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是 ．
15．如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE＝EC，△AED的面积是3，则△BED的面积是 ．
16．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．
三．解答题（共86分）
17．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数；
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|．
19．如图在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，证明：∠BOC＝90°+∠A．
20．如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC．
求证：∠C＝∠D．
21．如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形．
22．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，证明∠DCE=12（∠B－∠A）的度数．
（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；
（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．
23．如图，在三角形ABC中，AD为中线，AB＝4，AC＝2，求AD的长度范围．
24．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过
点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数；
25．我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
B、∵1+2＜5，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
C、∵2+2＝4，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3﹣2＜4＜3+2，
∴长度为2，3，4的三条线段能构成三角形，本选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
3．【解答】解：A、线段BD是△ABC的高，本选项说法正确，符合题意；
B、线段BD不是△ABC的高，本选项说法错误，不符合题意；
C、线段BD不是△ABC的高，本选项说法错误，不符合题意；
D、线段BD不是△ABC的高，本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
4．【解答】解：180°﹣85°﹣45°＝50°，
∵两个三角形是全等三角形，
∴x＝50°，
故选：C．
5．【解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB．
故选：A．
6．【解答】解：A、当∠B＝∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；
B、当AD＝AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；
C、当∠ADC＝∠AEB时，符合AAS的判定条件，故C正确；
D、当DC＝BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故D错误；
故选：D．
7．【解答】解：如图，
∵∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°，
∴∠α＝45°+60°＝105°．
故选：C．
8．【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3＝6＝6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选：B．
9．【解答】解：延长BE交AC于F，
∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，
∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故选：C．
10．【解答】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1＝∠CBA1＝ABC，∠ACA1＝∠DCA1＝∠ACD，
∵∠A＝α，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA1+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA1②，
②×2得：2∠DCA1＝2∠A1+2∠CBA1，
∴∠ACD＝2∠A1+2∠CBA1③，
由①和③得：2∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝A＝，
同理∠A2＝A1＝∠A＝α，
∠A3＝∠A2＝∠A＝α，
•••
∴∠A2022＝α＝，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：王师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
12．【解答】解：由折叠可得∠ACED＝∠C′ED，∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1＝20°，∠C＝40°，
∴∠CED＝＝80°，
在△CDE中，
∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，
故答案为60°．
13．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，
∴∠B+∠C＝180°﹣65°＝115°，
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣115°＝245°，
故答案为：245．
14．【解答】解：∵∠1是△ACD的外角，
∴∠1＞∠A；
∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A．
故选：∠2＞∠1＞∠A．
15．【解答】解：∵BD是△ABC边AC的中线，△AED的面积是3，
∴S△EDC＝S△AED＝3，S△AEC＝2S△AED＝6，
∵BE＝EC，
∴S△AEC＝S△ABC＝6，
∴S△ABC＝9，
∴S△BDC＝S△ABD＝S△ABC＝4.5，
∵S△BDC＝S，S△ABC＝S△ABE+S△AEC，
∴S△BED＝S△BDC﹣S△EDC＝4.5﹣3＝1.5．
故答案为1.5．
16．【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝100°，则β＝50°，
180°﹣100°﹣50°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共9小题）
17．【解答】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意得：180°×（n﹣2）＝360°×3﹣180°，
解得：n＝7；
答：该多边形为七边形；
18．【解答】解：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|
＝a+c﹣b﹣a﹣b﹣c+2b+c
＝c．
19．【解答】证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，
∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
即：∠BOC＝90°+∠A．
20．【解答】证明：∵∠ABD＝∠EBC，
∴∠ABD﹣∠CBD＝∠EBC﹣∠CBD，即∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴∠C＝∠D．
21．【解答】证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
22．【解答】证明：
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），
即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．
23．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝2，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴4﹣2＜2AD＜4+2，
∴1＜AD＜3，
24．【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由：连接AD并延长到点E．
∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，
∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，
∴∠ABX+∠ACX＝36°．
故答案为36．
②如图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，
则有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，
∴∠DCE＝．
故答案为．
25．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：30°，不是；
（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB＝∠O+∠OAC，
又∠O＝60°，∠ACB＝84°
∴∠OAC＝24°，
∠ACO＝180°﹣84°＝96°，
∴∠ACO＝4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
（3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
而∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°
∴∠B＝30°或者∠B＝80°．