23.3.6 相似三角形的应用 华师大版数学九年级上册课件

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第二十三章 图形的相似23.3 相似三角形第6课时 相似三角形的应用1课堂讲解利用影长测量高度 利用相似测量宽度 借助标杆或直尺测量物体的高度2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1、相似三角形的判断方法有哪些？2、相似三角形有哪些性质？复习提问1知识点利用影长测量高度知1－导 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O ' B ',比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O ' B ' = 1 米, A'B' = 2米，AB= 274米，求金字塔的高度OB. （来自教材）知1－讲解：∵太阳光线是平行光线， ∴∠OAB=∠O ' A ' B '. ∵∠ABO= ∠A ' B ' O ' =90°， ∴△OAB∽△ O ' A ' B ' （两角分别 相等的两个三角形相似）， 答:金字塔的高度OB为137米.金字塔的影长AB为露在外面的影长AC 与金字塔底边的一半CB的长度的和.测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图23.3­-29所示． 知1－讲要点精析：(1) 由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性． (2) 太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平行光线． (3) 此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高． 知1－讲解：具体过程： (1) 依据．同一时刻，物体的高度与它们的影长成比例． (2) 测量．如图，让一名身高为h的同学恰好站在旗杆的 影子的顶端，然后测量该同学的影长l1，同时测量旗杆 的影长l2.【例1】 如何测量旗杆的高度？说明具体过程及原理．知1－讲 (3) 计算．∵太阳光线是平行光线， ∴AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE.∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∴△ACB∽△DEC，∵AC=h,BC=l1,CE=l2,知1－讲利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出关于物高、物影长、人高、人影长的比例式，然后通过测量物影长、人高、人影长来计算出物高． 如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是(　　) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米知1－练2 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树的影子时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是(　　) A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m知1－练2知识点利用相似测量宽度知2－讲（来自教材） 如图,为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C,使AB丄BC，然后，再选定点E，使EC丄BC，用 视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD = 118米， DC = 61米，EC = 50米，求河的宽度AB.(精确到0. 1米）知2－讲解：∵∠ADB=∠EDC, ∠ABD=∠ECD=90° ∴△ADB∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），解得 答：河的宽度AB约为96. 7米.（来自教材）1. 测量方法：测量不能直接到达的两点间的距离时，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解．常见的测量方式如下：① 构造“A”型相似， 如图23.3­-32：② 构造“X”型相似， 如图23.3­-33. 知2－讲要点精析：以前我们曾学过构造全等三角形进行测量的方法．在实际应用中，这种方法虽然能直接通过测量对应边的长得出未知量，但是往往会受到场地、测量仪器等的限制，利用相似三角形的知识，就可以减少限制，所以其应用面更广．2. 利用相似三角形测量的一般步骤： 利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进行测量，一般要经历以下四个步骤： (1) 利用平行线、标杆等构造相似三角形； (2) 测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任 意一组对应边的长度； 知2－讲(3) 画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；(4) 检验并得出答案． 知2－讲知2－讲【例2】 如图23.3-­34，我们想要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离(即河宽)．方案：先从B点出发向与AB成90°角的方向走50 m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10 m到C处，在C处向右转90°，沿CD方向再走17 m到D处，使得A，O，D在同一条直线上．那么A，B之间的距离是多少？知2－讲解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO＝∠DCO＝90°. 又 ∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO＝50 m，CO＝10 m，CD＝17 m， ∴ ∴AB＝85(m)． 因此A，B之间的距离是85 m.导引：这是一道测量河宽的实际问题，可以借助相似三角形的对应边成比例得到比例式，所得比例式中有四条线段，测出了三条线段的长，便能求出第四条线段的长．知2－讲 测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离．练 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三 角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与 旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m， 目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝ 20 m，求旗杆的高度．知2－练3知识点借助标杆或直尺测量物体的高度知3－讲1. 与测量有关的概念： (1) 视点：观察物体时人的眼睛称为视点． (2) 仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物体的视线间 的夹角称为仰角． (3) 盲区：人的视线看不到的区域称为盲区．2．测量原理： 用标杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构造相似三角形．3．测量方法：如图23.3­-35，观测者的眼睛C必须与标杆的顶端D和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要垂直，测量出标杆的高度DF，人眼离地面的高度CE，人与标杆的距离EF，标杆与物体的距离FG.利用相似三角形的对应边成比例求物体的高度AG.要点精析：利用标杆或直尺测量物 体的高度也叫目测，在日常生活 中有着广泛的应用，必要时可以 用自己的身高和臂长等作为测量 工具．知2－讲知3－讲【例3】 如图23.3­-36，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m.知3－讲导引：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB， ∵DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m， CD＝8 m， ∴BC＝4(m)， ∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)．答案：5.5知3－讲 解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 cm，则楼高CD为________．知3－练2 如图，我们想要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？知3－练利用相似三角形解决实际问题的方法：1．利用太阳光线平行构造相似三角形，利用同一时刻物高与 影长成比例构造比例式；画数学图形找相似三角形解决实际问题．2．没有相似三角形时可以构造直角三角形．3．对于不易测量的长度或高度，可以转化为易测量的对应线段，通过对应线段成比例来计算．