湖南省永州市东安县天成学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份湖南省永州市东安县天成学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题．，填空题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题．（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列代数式中，分式有______个
，，，，，，，，
A．5B．4C．3D．2
2．下面计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．2016年11月22日，日本东北部外海发生里氏7.3级大地震，导致当天地球的自转时间少了秒，将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．1的平方根是1B．的立方根是
C．是2的平方根D．是的平方根
5．如图，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是关于的不等式的解集，则的取值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为( )
A．12B．15C．12或15D．不能确定
8．已知且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若关于x的方程有增根，则的值为( )
A．2B．3C．4D．6
10．如图，中，，，的平分线交于点F，平分．给出下列结论：①；②；③；④．正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题．（本大题共8个小题，每小题3分，共18分，将答案填在答题纸上）
11．的平方根是 ．
12．若有意义，则实数的取值范围是 ．
13．若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围 ．
14．在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为
15．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
16．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是 ．（填序号）
三．解答题．（本大题7个小题，17题6分，18题16分；19、20每题8分，21题10分；22、23每题12分，共计72分）
17．计算：
18．解方程和不等式：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
19．求满足不等式组的所有整数解．
20．如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
(1)求证：；
(2)求的周长．
21．先化简：； 再在不等式组中选取一个合适的整数解，代入求值．
22．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
23．已知：如图，在长方形中，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)请用含t的式子表达的面积；
(2)是否存在某个t值，使得和全等？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由.
参考答案与解析
1．B
【分析】根据判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，对各选项判断即可．
【详解】解：解：根据分式的定义，可知分式有：
， ，，， 共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解题的关键，注意：分式的分母中含有字母．
2．A
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，化简二次根式，根据二次根式的四则运算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、与不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
3．B
【分析】此题考查科学记数法．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将用科学记数法表示为．
故选：B．
4．A
【分析】据平方根及立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法即可得出答案．
【详解】解：A、1的平方根是±1，故本选项错误；
B、-1的立方根是-1，正确；
C. 是2的平方根，正确；
D. 是的平方根，正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根立方根的定义，是基础题，比较简单．
5．B
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故A选项正确，不符合题意；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误，符合题意；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确，不符合题意；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集．解不等式得，根据数轴表示不等式的解集得，然后得到关于a的方程，求解即可．
【详解】解：解得，
由数轴表示不等式的解集，得，
∴，
解得，
故选：C．
7．B
【分析】根据非负数的非负性可求出AB和BC的值，根据等腰三角形的性质和三边关系分情况讨论求解.
【详解】因为,
所以AB=3,BC=6,
因为AB和BC是等腰三角形ABC的两边，
所以当AB=3是腰, BC=6是底边，则三角形三边分别为3,3,6，由三边关系可得,3,3,6不能构成三角形;
所以当AB=3是底边, BC=6是腰，则三角形三边分别为6,6,3，由三边关系可得6,6,3能构成三角形,所以三角形周长是15.
故选B.
【点睛】本题主要考查非负数的非负性和三角形三边关系，等腰三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三边关系和等腰三角形的性质.
8．C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，先将两不等式相加，得到，再两边同时除以2，即可求出a的取值范围．
【详解】解：∵且，
∴，即，
∴．
故选：C．
9．B
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根求出a的值，然后代值计算即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：，
∵分式方程有增根，
∴把代入到中得：，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，代数式求值，正确求出a的值是解题的关键．
10．C
【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，
∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF=90°，
∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF=∠AFE，故②正确；
∵∠ABE=∠CBE，
∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
11．
【分析】先求出=10，然后再求平方根即可．
【详解】解：＝10，
10的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义和平方根的定义，灵活应用相关定义是解答本题的关键．
12．且
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为0”以及二次根式有意义的条件“被开方数不小于0”列不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：且，
故答案为：且．
13．##
【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式无解即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴，
故答案为；．
14．7或11
【分析】分两种情况讨论，列出方程即可解决问题．
【详解】①当15是腰长与腰长一半时，，
解得，
∴底边长；
三边长为：10，10，7；
②当12是腰长与腰长一半时，，
解得，
∴底边长，
三边长为：8，8，11；
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长等于7或11．
故答案为：7或11．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验是否符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．
15．##45度
【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，解题的关键是延长交于点F，利用三角形的三条高交于一点解决问题解决问题．
【详解】解：延长交于点F，
在中，三边的高交于一点，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
在中，三内角之和为，
∴，
故答案为：．
16．①②③④
【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AC＝AE＋CE＝AO＋AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°，
∵∠APO＋∠DCO＝30°，
∴∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP，故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴＝AB•CH，
＝AP•CH＋OA•CD＝AP•CH＋OA•CH
＝CH•（AP＋OA）
＝CH•AC，
∴；
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
17．4
【分析】本题考查了实数的运算．由绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
18．(1)
(2)；
(3)
(4)或．
【分析】（1）去分母转化为整式方程，求出解后检验即可；
（2）去括号，求出不等式的解集即可；
（3）利用立方根的性质求解即可；
（3）利用平方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
去分母得，
去括号得，
解得，
经检验，是原方程的解；
（2）解：，
去括号得，
移项合并得，
解得；
（3）解：，
开方得，
解得；
（4）解：，
整理得，
开方得，
即或，
解得或．
【点睛】本题考查了解分式方程、不等式以及利用立方根、平方根的性质解方程．准确计算是解题的关键．
19．不等式组的解集：-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1.
【详解】解：解不等式x-3（x-2）≤8，得：x≥-1，
解不等式x-1＜3-x，得：x＜2，
则不等式组的解集为-1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为-1、0、1．
20．(1)见解析
(2)的周长为24．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质．
（1）利用即可证明；
（2）证明是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为24．
21．，1
【分析】本题考查的是分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的解集，在其解集范围内选取合适的a的值代入分式进行计算即可．
【详解】解：
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其整数解有、0、1．
∵，
∴，则原式．
22．（1）的值为10，的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）当时，取得最大值为元
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，根据总价单价数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为元，根据总利润每千克的利润销售数量可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润的最大值．
【详解】解：（1）依题意，得：
，
解得：．
答：的值为10，的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
，59，60，
有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，得出利润的最大值．
23．(1)；
(2)存在，满足条件的t值为或．
【分析】本题考查了三角形的面积，求函数解析式和全等三角形的性质等知识．
（1）分三种情况，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，根据题意得出和，即可求得．
【详解】（1）解：①当P在上时，
如图，由题意得，
∴；
②当P在上时，，
∴；
③当P在上时，由题意得
∴；
综上，；
（2）解：当P在上时，由题意得，
∴，
∵，为公共边，
∴要使，则需，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
即当时，；
当P在上时，由题意得，
∵，，
∴，
∵，为公共边，
∴要使，则需，如图2所示：
即，
∴，
即当时，；
综上所述：当或时，和全等．