2024-2025学年湖北省孝感市汉川市部分学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省孝感市汉川市部分学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 2、3、5B. 3、4、5C. 2、2、5D. 3、4、8
2.在下列图形中，正确画出AC边上的高的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=45°，那么∠ACD的度数为( )
A. 110
B. 100
C. 55
D. 45
4.正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
5.在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=1：2：3B. ∠A+∠B=∠C
C. ∠A=∠B=∠CD. ∠A=3∠C，∠B=2∠C
6.如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC=4，则MP的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 2.5
D. 1.25
7.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上的一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的是( )
A. 线段AD是△ABE的角平分线
B. 线段CH为△ACD边AD上的高
C. 线段 BE是△ABD边AD上的中线
D. 线段AH为△ABC的角平分线
8.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP=20°，∠ACP=60°，则∠A−∠P=( )
A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°
9.机器人从点A0出发朝正东方向走了2m到达点A1，记为第1次行走；接着，在点A1处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达A2，记为第2次行走；再在点A2处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达点A3，记为第3次行走，…以此类推，该机器人第一次回到出发点A0时所走过的路程为( )
A. 20m
B. 16m
C. 12m
D. 10m
10.如图，在△ABC中，∠B=28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1−∠2的度数是( )
A. 42°
B. 46°
C. 52°
D. 56°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.木工师傅在做好门框后，为了防止变形，常常按如图所示的方法钉上两根斜拉的木板条，其数学依据是三角形具有______．
12.过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是______．
13.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图是一个燕尾形，已知∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，则∠BCD的度数为______．
14.如图，一个直角三角形纸板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1+∠2= ______．
15.在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
17.(本小题8分)
已知，△ABC的三边长为4，10，x．
(1)求x的取值范围；
(2)当△ABC的周长为偶数时，求x．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的高AD与CE的比是多少？(提示：利用三角形的面积公式)
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，求∠BEA的度数．
20.(本小题8分)
已知a，b，c是△ABC的三边长．
(1)若a，b，c满足(a−b)2+|b−c|=0，试判断△ABC的形状；
(2)化简：|b−c−a|+|a−b+c|−|a−b−c|．
21.(本小题8分)
(1)如图1，计算下列五角星图案中五个顶角的度数和．
即：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
(2)如图2，若五角星的五个顶角的度数相等，求∠1的大小．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
(1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数；
(2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
23.(本小题8分)
数学课本第29页复习题的第9题如下：
如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD> ______，PD+CD> ______.将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD> ______，即AB+AC> ______．
(1)补全上面步骤；
(2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交AB，AC于M，N，证明：AB+AC>PB+PC．
24.(本小题8分)
如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、2+3=5，长度是2，3，5的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、3+4>5，长度是3，4，5的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、2+2<5，长度是2，2，5的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4<8，长度是3，4，8的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2.【答案】D
【解析】解：A、图中AD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
B、图中AD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
C、图中BD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
D、图中BD是AC边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3.【答案】B
【解析】解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD=∠A+∠B=100°，
故选：B．
根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵360÷30=12，
则正多边形的边数为12．
故选：A．
多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为30°，由此即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题．
5.【答案】C
【解析】解：A.∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=31+2+3×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
B.∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=12×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
C.∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=13×180°=60°，
∴△ABC是等边三角形，选项C符合题意；
D.∵∠A=3∠C，∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=11+3+2×180°=30°，
∴∠A=3∠C=3×30°=90°，
∴△ABC是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：C．
A.根据各角之间的关系，求出最大角∠C的度数，由∠C=90°，即可得出△ABC是直角三角形；
B.根据各角之间的关系，求出最大角∠C的度数，由∠C=90°，即可得出△ABC是直角三角形；
C.根据各角之间的关系，可求出各角的度数，由∠A=∠B=∠C=60°，即可得出△ABC是等边三角形；
D.根据各角之间的关系，求出最大角∠A的度数，由∠A=90°，即可得出△ABC是直角三角形．
本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AM是△ABC的中线，
∴S△ACM=12S△ABC=5，
∴点M到AC的距离为：2.5，
根据垂线段最短，
则MP的最小值2.5．
故选：C．
先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案．
本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、，由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；
C、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；
D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．
故选：B．
根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=60°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=120°，∠MCP=∠ACP=60°，∠CBP=∠ACP=20°，
∴∠A=∠ACM−∠ABC=120°−40°=80°，∠P=∠PCM−∠CBP=60°−20°=40°，
∴∠A−∠P=80°−40°=40°，
故选：D．
根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=120°，∠MCP=∠ACP=60°，∠CBP=∠ACP=20°，根据三角形的外角性质得出∠A=∠ACM−∠ABC，∠P=∠PCM−∠CBP，再代入求出∠A和∠P即可．
本题考查了角平分线的定义和三角形的外角性质，能根据角平分线的定义求出∠CBP=∠ABP=20°和∠ACM=2∠ACP=120°是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可知机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形，
则其边数为：360°÷60°=6(条)，
那么6×2=12(m)，
即该机器人第一次回到出发点A0时所走过的路程为12m，
故选：C．
由题意可知机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形，结合其外角和为360°求得边数后再乘以2即可求得答案．
本题考查多边形的外角和，由题意得出机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：
∵∠B=28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D=∠B=28°，
∵∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，
∴∠1=∠B+∠2+∠D，
∴∠1−∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°，
故选：D．
根据折叠得出∠D=∠B=28°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，求出∠1=∠B+∠2+∠D即可．
本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
11.【答案】稳定性
【解析】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．
三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做依据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
12.【答案】10
【解析】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴n−3=7，
解得n=10．
故答案为：10
根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式(n−3)求出边数即可得解．
本题主要考查了一个顶点出发的对角线条数，牢记公式是解题的关键．
13.【答案】20°
【解析】解：连接BD，延长BD到E．
∵∠1=∠A+∠ABD，∠2=∠C+∠CBD，
ABD∴∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC，
∵∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，
∴∠BCD=∠ADC−∠ABC−∠BAD=105°−63°−22°=20°
故答案为：20°．
连接BD，延长BD到E，根据三角形的外角的性质得出∠1=∠A+∠ABD，∠2=∠C+∠CBD，继而得出∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC，代入已知数据，即可求解．
本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
14.【答案】180°
【解析】解：如图，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=(8−2)×180°÷8×2
=6×180°÷8×2
=270°，
∵∠3+∠4=180°−90°=90°，
∠1+∠2=270°−90°=180°．
故答案为：180°．
根据正八边形的特征，由多边形内角和定理：(n−2)⋅180°，先求出正八边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．
考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°．
15.【答案】11或7
【解析】解：根据题意，
①当15是腰长与腰长一半时，AC+12AC=15，解得AC=10，
所以底边长=12−12×10=7；
②当12是腰长与腰长一半时，AC+12AC=12，解得AC=8，
所以底边长=15−12×8=11．
所以底边长等于7或11．
故答案为：7或11．
因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
16.【答案】解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，
∴这个多边形的内角和为360°+720°=1080°，
设这个多边形的边数为n，
则(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8，
答：该多边形的边数为8．
【解析】先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n，根据内角和公式建立关于n的方程，解之即可．
本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)．
17.【答案】解：(1)∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，
∴10−4即6所以x的取值范围是6(2)∵△ABC的周长x+4+10=x+14为偶数，
∴x为偶数，
∵6∴x为8，10，12．
【解析】(1)根据三角形的三边关系定理得出10−4(2)根据周长为偶数得出x为偶数，根据x的范围求出x即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解此题的关键．
18.【答案】解：S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AD，
∵AB=2cm，BC=4cm，
∴12×2⋅CE=12×4⋅AD，
∴ADCE=12．
【解析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．
本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键．
19.【答案】解：设∠A=x，则∠BCD=x，
∵CD⊥AC，
∴∠ADC=90°−x，又BE平分∠ABC，
∴∠CBF=12(∠ADC−∠BCD)=45°−x，
∴∠BEA=∠ACD+∠EFC=90°+x+45°−x=135°．
答：∠BEA的度数是135°．
【解析】设∠A=x，根据题意表示出∠BCD、∠ADC，根据三角形的外角的性质得到∠CBF的度数，再根据三角形的外角的性质计算得到答案．
本题考查的是三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于180°、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵(a−b)2+|b−c|=0，
∴a−b=0且b−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形；
(2)∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b−c−a<0，a−b+c>0，a−b−c<0，
∴原式=−b+c+a+a−b+c+a−b−c=3a−3b+c．
【解析】(1)根据非负数的性质，可得出a=b=c，进而得出结论；
(2)利用三角形的三边关系得到b−c−a<0，a−b+c>0，a−b−c<0，然后去绝对值符号后化简即可．
此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
21.【答案】解：(1)如图1，设BD、AD与CE的交点为M、N；
△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知：
∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C；
△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
(2)如图2，
∵五角星的五个顶角的度数相等，
∴∠2=360°5=72°，
∴∠1=180°−∠2=108°．
【解析】(1)设CE与BD、AD的交点分别为M、N，可分别在△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质求得∠DMN=∠B+∠E、∠DNM=∠A+∠C，进而在△DMN中根据三角形内角和定理得出所求的结论；
(2)根据多边形的外角和等于360°解答即可．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理以及多边形的外角和为360°，熟记性质并准确识图是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠B=30°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=35°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；
(2)∠E=12(∠ACB−∠B)．
设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=12∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=(180−n−m)°，
∴∠BAD=12(180−n−m)°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+12(180−n−m)°=90°+12n°−12m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°−(90°+12n°−12m°)=12(m−n)°=12(∠ACB−∠B)．
【解析】(1)首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
(2)根据第(1)小题的思路即可推导这些角之间的关系．
此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
23.【答案】BD PC BD+PC BP+PC
【解析】解：(1)由三角形的两边之和大于第三边，得AB+AD>BD，PD+CD>PC，
将不等式两边相加得：AB+AD+PD+CD>BD+PC，
即AB+AC>BP+PC；
故答案为：BD；PC；BD+PC；BP+PC．
(2)在△AMN中，AM+AN>MN，
在△MPB中MP+MB>BP，
在△NPC中，NP+NC>PC，
将三个不等式相加得：AM+AN+MB+MP+PN+NC>MP+NP+PB+PC，
即AB+AC>BP+PC．
(1)根据三角形三边关系进行解答即可；
(2)利用三角形三边关系进行证明即可．
本题考查三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边．
24.【答案】解：(1)∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=55°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=125°；
(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，
∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，
∴∠Q=180°−(∠QBC+∠QCB)=180°−(90°+12∠A)=90°−12∠A；
(3)如图③中，延长BC到F．
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，
即∠E=12∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=12∠ABC+12∠MBC
=12(∠ABC+∠A+∠ACB)
=90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°；
②∠EBQ=3∠Q，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°；
③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°；
④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再根据三角形内角和定理求出即可；
(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB=180°+∠A，根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB=90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；
(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠ECF，∠ABC=2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF=∠EBC+∠E，求出∠A=2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，②∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q，再求出答案即可．
本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，注意：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，②三角形的内角和等于180°，用了分类讨论思想．