2024-2025学年上海市杨浦区民办兰生中学八年级（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区民办兰生中学八年级（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 0.3aB. 40C. a2−b2D. a−12
2.根式 45, 127, 12, 150, 3, 110中，与 2是同类二次根式的有( )个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.下゙列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x2+3x=(1+2x)(2+x)B. (k−1)x2−6kx+5=0
C. 2x3x−8x+1=0D. x2=−1
4.关于x的两个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是( )
A. −32C. −145.甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍.现从两容器中各取出6L来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精( )
A. 6LB. 9LC. 12LD. 18L
二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
6.已知关于x的方程(m2−1)x2+2(m−1)x+1=0有且只有一个实数解，则m应满足条件______．
7.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为______．
8.已知( a+ b)( a+ b−1)=6，则 a+ b= ______．
9.若 −x+1x2有意义，则x的取值范围是______．
10.化简：x −12x3= ______．
11.化简： 5− 21− 5+ 21= ______．
12.求值： 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+120232+120242= ______．
13.已知a+ 4−4a+a2=2，则a的取值范围是______．
14.在实数范围内分解因式：−2x2+3xy+y2= ______．
15.已知等腰△ABC的一条边长为4，另外两边长是关于x的方程x2−mx+5=0的两根，则三角形的周长为______．
16.若三个整数a、b、c使得方程ax2+bx+c=0的两个根为a，b，则a+b+c的值为______．
三、解答题：本题共11小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(− 3+ 2+ 6)(− 3− 2− 6)．
18.(本小题4分)
−6 3m2−3n22a2÷32 m+na2⋅ a2m−n⋅ −a．
19.(本小题4分)
4x4=9(1−x)2．
20.(本小题4分)
2x2−8x−617=0．
21.(本小题4分)
( 3−1)x2−(5− 3)x+2 3=0．
22.(本小题4分)
解方程：ax2+2x+a=0．
23.(本小题5分)
已知a+b=−3，ab=1，求a ab+b ba的值．
24.(本小题5分)
已知实数对(x,y)满足(x+4)2+(y+3)2=6，求xy的最大值．
25.(本小题6分)
若方程(m2−1)x2+2(m+1)x+1=0没有实数根，试判定方程(m+3)x2−2(m−3)x−m−5=0的根的情况．
26.(本小题6分)
某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件．
(1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？
(2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？
27.(本小题6分)
已知关于x的两个一元二次方程：方程①：(1+k2)x2+(k+2)x−1=0；方程②：x2+(2k+1)x−2k−3=0．
(1)若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数k；
(2)若方程①和②有一个公共根a，求代数式(a2+4a−2)k+3a2+5a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 0.3a、 a−12中被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
40中含有开得尽方的因式4，故 40也不是最简二次根式，
a2−b2是最简二次根式；
故选：C．
根据最简二次根式的定义进行判断即可．
本题考查了最简二次根式，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式．
2.【答案】A
【解析】解： 45=3 5， 127= 39， 12=2 3， 150= 210， 110= 1010，
∴与 2是同类二次根的有 150，共1个，
故选：A．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫做同类二次根式．
3.【答案】D
【解析】解：A.∵原方程整理得2x+2=0，未知数的最高次不是2，
∴原方程不是一元二次方程，选项A不符合题意；
B.当k=1时，原方程为−6x+5=0，未知数的最高次不是2，
∴当k=1时原方程不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C.∵方程2x3x−8x+1=0不是整式方程，
∴方程2x3x−8x+1=0不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D.方程x2=−1是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：若关于x的两个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中没有一个方程有实根，
则第一个方程的Δ=16m2−4(4m2+2m+3)<0，且第二个方程的Δ=(2m+1)2−4m2<0，
∴m>−32且m<−14，
即−32∴关于x的两个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中至少有一个方程有实根，
则m的取值范围是m≤−32或m≥−14．
故选：B．
由于关于x的两个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中至少有一个方程有实根，可以首先根据判别式求出两个方程没有一个方程有实数根的m的取值范围，然后即可求出题目要求的取值范围．
此题主要考查了利用一元二次方程的判别式判定方程的根的情况，其中判别式若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程没有实数根．
5.【答案】B
【解析】解：设甲容器的容积为x L，则乙容器的容积为2x L，
由题意得：x−66=62x−6，
解得：x1=9，x2=0，
经检验x1=9，x2=0都是原方程的根，但x2=0不符合题意，舍去，
∴甲容器原有酒精9L，
故选：B．
设甲容器的容积为x L，则乙容器的容积为2x L，根据从两容器中各取出6L来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6.【答案】m=−1
【解析】解：当m2−1=0，时，m=±1，
当m=−1时，原方程为−4x+1=0，解得x=14，符合题意；
当m=1时，方程左边=1，右边=0，不成立，不符合题意；
当m2−1≠0，即m≠±1时，
∵方程(m2−1)x2+2(m−1)x+1=0有且只有一个实数解，
∴Δ=4(m−1)2−4(m2−1)=−8m+8=0，
解得m=1，不符合题意，
综上，当m=−1时，方程(m2−1)x2+2(m−1)x+1=0有且只有一个实数解，
故答案为：m=−1．
分两种情况讨论：当m2−1=0时；当m2−1≠0时，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
7.【答案】1
【解析】解：把x=0代入(a+1)x2+x+a2−1=0，
得a2−1=0，
∴a=±1，
∵a+1≠0，
∴a≠−1，
∴a=1．
故答案为：1．
把x=0代入原方程求出a，再根据二次项系数不为0，求出a的值．
此题主要考查了方程解的定义，掌握代入法求值，二次项系数不为0是解题关键．
8.【答案】3
【解析】解：设 a+ b=x，则方程( a+ b)( a+ b−1)=6可变为：
x(x−1)=6，
x2−x−6=0，
(x−3)(x+2)=0，
∴x−3=0或x+2=0，
解得：x1=3，x2=−2，
∵ a≥0， b≥0，
∴ a+ b≥0，
∴ a+ b=3，
故答案为：3．
设 a+ b=x，原方程变为x(x−1)=6，求出x1=3，x2=−2，根据 a≥0， b≥0，得出 a+ b≥0，即可得出答案．
此题考查了二次根式的非负性，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式的非负性．
9.【答案】x≤1且x≠0
【解析】解：∵ −x+1x2有意义，
∴−x+1x2≥0，x≠0，
∵x2≥0，x≠0，
∴x2>0，
∴−x+1≥0，
∴x≤1，
综上：若 −x+1x2有意义，则x的取值范围是x≤1且x≠0，
故答案为：x≤1且x≠0．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
10.【答案】2x −3x
【解析】解：根据题意知：x<0，
∴x −12x3=x 4x4⋅(−3x)=x⋅2 −3xx2=2x −3x，
故答案为：2x −3x．
利用二次根式的运算公式直接化简即可得出答案．
本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的运算性质是解题的关键．
11.【答案】− 6
【解析】解：设 5− 21− 5+ 21=x，
则x2=5− 21−2 5− 21× 5+ 21+5+ 21
=10−2 4
=6，
∴x=± 6，
∵5− 21−(5+ 21)=−2 21<0，
∴ 5− 21− 5+ 21=− 6，
故答案为：− 6．
设 5− 21− 5+ 21=x，然后两边同时平方求出x的值即可．
本题考查了二次根式的性质和化简，平方差公式，二次根式的加减法，掌握平方差公式是解本题的关键．
12.【答案】202320232024
【解析】解： 1+1n2+1(n+1)2
= n2(n+1)2+n2+(n+1)2n2(n+1)2
= [n(n+1)]2+2n(n+1)+1n2(n+1)2
= (n2+n+1)2n2(n+1)2
=n2+n+1n(n+1)
=n(n+1)+(n+1)−nn(n+1)
=1+1n−1n+1，
∴原式=1+11−12+1+12−13+1+13−14+⋯+1+12023−12024
=2023×1+1−12024
=202320232024，
故答案为：202320232024．
先推导公式 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1，然后利用公式计算即可．
本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13.【答案】a≤2
【解析】解：∵a+ 4−4a+a2=2，
∴a+ (2−a)2=2，
∴a+|2−a|=2，
∴|2−a|=2−a，
∴2−a≥0，
∴a≤2，
故答案为：a≤2．
利用二次根式的性质可得出|2−a|=2−a，然后利用绝对值的意义得出2−a≥0，即可求解．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握解不等式等知识是关键．
14.【答案】−2(x−3+ 174y)(x−3− 174y)
【解析】解：令−2x2+3xy+y2=0，将y看作常数，
则a=−2，b=3y，c=y2，
那么Δ=(3y)2−4×(−2)×y2=17y2≥0，
则x=−3y± 17y22×(−2)=3± 174y，
∴−2x2+3xy+y2=−2(x−3+ 414y)(x−3− 414y)．
令−2x2+3xy+y2=0，将y看作常数，利用公式法解得x的值，继而求得答案．
本题主要考查了多项式的因式分解，一元二次方程的解法，令−2x2+3xy+y2=0，将y看作常数解得x的值，是解题的关键．
15.【答案】4+2 5或374
【解析】解：当腰长为4时，则x=4是方程x2−mx+5=0的一个根，设方程的另一个根为y，
∴4y=5，
解得y=54，
∵4+54>4，
∴此时能组成三角形，
∴等腰三角形的底边长为54，
∴该等腰三角形的周长为4+4+54=374；
当底边长为4时，则关于x的方程x2−mx+5=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−m)2−4×5=0，
解得m=±2 5，
∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值，
∴m=2 5，腰长为 5，
∵ 5+4> 5，
∴此时能组成三角形，
该等腰三角形的周长为4+ 5+ 5=4+2 5；
综上所述，该等腰三角形的周长为4+2 5或374，
故答案为：4+2 5或374．
分当腰长为4时，当底边长为4时，两种情况根据根与系数和判别式求出方程的两个根，进而确定等腰三角形的三边长，再根据三角形周长计算公式求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
16.【答案】18
【解析】解：∵a与b是方程ax2+bx+c=0的两个根，故通过韦达定理可得到a+b=−ba，ab=ca，
故a2+ab=a(a+b)=a×(−ba)=−b，
∴b=−a2a+1=−a2−1+1a+1=−(a+1)(a−1)a+1−1a+1=−a+1−1a+1，
∵b为整数，
∴a+1=1或a+1=−1，
故a=0(舍)，a=−2，
∴b=4，
∴ab=−8=c−2，故c=16，
∴a+b+c=18，
故答案为：18．
先通过根与系数之间的关系得到a+b=−ba，ab=ca，再通过计算a2+ab得出a的解，进而得出b与c的解，进而可得到答案．
本题考查了根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系是解题关键．
17.【答案】解：(− 3+ 2+ 6)(− 3− 2− 6)
=[− 3+( 2+ 6)][− 3−( 2+ 6)]
=(− 3)2−( 2+ 6)2
=3−(2+4 3+6)
=3−8−4 3
=−5−4 3．
【解析】先把原式变形为[− 3+( 2+ 6)][− 3−( 2+ 6)]，再利用平方差公式和完全平方公式去括号求解即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式运算法则是关键．
18.【答案】解：∵−6 3m2−3n22a2÷32 m+na2⋅ a2m−n⋅ −a有意义，
∴a<0，
−6 3m2−3n22a2÷32 m+na2⋅ a2m−n⋅ −a
=−6 3m2−3n22a2×23 a2m+n× a2m−n⋅ −a
=−4 3(m−n)2× a2m−n⋅ −a
=−4 3a22⋅ −a
=−2 6|a|⋅ −a
=2 6a −a．
【解析】先根据二次根式有意义的条件得出a<0，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可
本题主要考查了二次根式的乘除运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
19.【答案】本题考查了解一元二次方程，
解：4x4=9(1−x)2，
∴4x4−9(1−x)2=0，
∴(2x2+3x−3)(2x2−3x+3)=0，
∴2x2+3x−3=0或2x2−3x+3=0，
当2x2+3x−3=0时，
Δ=32−4×2×(−3)=33>0，
∴x=−3± 332×2=−3± 334，
∴x1=−3+ 334，x2=−3− 334；
当2x2−3x+3=0时，
Δ=(−3)2−4×2×3=−15<0，
∴方程无解，
综上，方程的解为x1=−3+ 334，x2=−3− 334．
【解析】先利用因式分解法得出2x2+3x−3=0或2x2−3x+3=0，然后利用公式法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解是关键．
20.【答案】解：∵2x2−8x−617=0，
∴x2−4x=6172，
∴x2−4x+4=6252，
∴(x−2)2=6252，
∴x−2=±25 22，
∴x1=4+25 22,x2=4−25 22．
【解析】根据配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
21.【答案】解：( 3−1)x2−(5− 3)x+2 3=0，
[( 3−1)x−2](x− 3)=0，
∴( 3−1)x−2=0或(x− 3)=0．
∴x1= 3+1,x2= 3．
【解析】利用因式分解法把方程整理成[( 3−1)x−2](x− 3)=0得出( 3−1)x−2=0或(x− 3)=0，然后解一元一次方程即可．
本题考查解一元二次方程—因式分解法，因式分解法是利用因式分解求出方程解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法．
22.【答案】解：ax2+2x+a=0，
当a=0时，方程ax2+2x+a=0变为2x=0，解得：x=0；
当a≠0时，Δ=22−4a2=4−4a2=4(1−a2)，
令4(1−a2)≥0，解得：−1≤a≤1，
令4(1−a2)<0，解得：a>1或a<−1，
当−1≤a≤1且a≠0时，x=−2± 4(1−a2)2a=−1± 1−a2a；
当a>1或a<−1时，原方程无解；
综上分析可知：当a=0时，x=0；当−1≤a≤1且a≠0时，x=−1± 1−a2a；当a>1或a<−1时，无解．
【解析】分三种情况进行讨论：当a=0时，当−1≤a≤1且a≠0时，当a>1或a<−1时，分别求解方程即可．
本题主要考查了解方程，熟练掌握求根公式是解题的关键．
23.【答案】解：∵ab=1>0，a+b=−3<0，
∴a<0，b<0，a2+b2=(a+b)2−2ab=7，
∴a ab+b ba=a⋅ ab b2+b⋅ ab a2
=−ab ab−ba ab
=−(ab+ba) ab
=−a2+b2ab ab
=−7．
【解析】先判断出a<0，b<0，然后根据二次根式的性质和二次根式的加减法则化简，最后把a2+b2=7，ab=1整体代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24.【答案】解：设xy=t，即x=yt，
∴(x+4)2+(y+3)2=6，即(yt+4)2+(y+3)2=6，
化简整理：(1+t2)y2+(8t+6)y+19=0，
则此方程必有实数根，即Δ≥0，
∴Δ=(8t+6)2−4×(1+t2)×19≥0，
∴−263≤t≤503，
∴tmax=503，
∴xy的最大值503．
【解析】设xy=t，即x=yt，得到(1+t2)y2+(8t+6)y+19=0，根据Δ≥0即可求解．
本题考查了根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
25.【答案】解：∵(m2−1)x2+2(m+1)x+1=0没有实数根，
∴[2(m+1)]2−4(m2−1)<0，
解得：m<−1，
当m<−1且m≠−3时，方程(m+3)x2−2(m−3)x−m−5=0中，
Δ=[−2(m−3)]2−4(m+3)(−m−5)
=8m2+8m+96
=8(m2+m)+96
=8(m+12)2+94，
又∵(m+12)2≥0，
∴8(m+12)2+94>0，
∴Δ>0，
∴此时方程(m+3)x2−2(m−3)x−m−5=0有两个不相等的实数根，
当m=−3时，方程(m+3)x2−2(m−3)x−m−5=0可变为12x−2=0，
∵方程12x−2=0只有一个实数根，
∴当m=−3时，方程(m+3)x2−2(m−3)x−m−5=0有1个实数根．
综上分析可知：方程(m+3)x2−2(m−3)x−m−5=0有2个或1个实数根．
【解析】先根据方程(m2−1)x2+2(m+1)x+1=0没有实数根，求出m<−1，然后分两种情况：当m<−1且m≠−3时，当m=−3时，讨论方程根的情况．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
26.【答案】解：(1)设每件降价x元，
由题意得，(20+5x)(44−x)=1600，
整理得x2−40x+144=0，
∴x1=4或x2=36，
答：想达到每天盈利1600元，每件可降价4元或36元；
(2)设每件降价x元，每天盈利为W元，
则W=(20+5x)(44−x)
=−5x2+200x+880
=−5(x−20)2+2880，
∵(x−20)2≥0，
∴−5(x−20)2+2880≤2880，当且仅当x−20=0，即x=20时等号成立，
∴当x=20时，盈利最大，
答：想盈利达到最大值，每件可降价20元．
【解析】(1)设每件降价x元，根据利润=单件利润×销售量列出方程求解即可；
(2)设每件降价x元，每天盈利为W元，利润=单件利润×销售量列出W关于x的关系式，再利用配方法求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
27.【答案】解：(1)对于方程②：x2+(2k+1)x−2k−3=0，
∵Δ2=(2k+1)2−4(−2k−3)
=4k2+12k+13
=(2k+3)2+4>0，
∴无论k为何值时，方程②总有实数根，
∴方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
对于方程①：(1+k2)x2+(k+2)x−1=0，
Δ1=(k+2)2−4×(1+k2)×(−1)=k2+6k+8=(k+2)(k+4)<0．
∴k+2>0k+4<0
或k+2<0k+4>0，解不等式组k+2>0k+4<0
，得无解；解不等式组k+2<0k+4>0
，得−4∴整数k的值为−3；
(2)根据a是方程①和②的公共根，
∴(1+k2)a2+(k+2)a−1=0③，a2+(2k+1)a−2k−3=0④
∴③×2得：(2+k)a2+(2k+4)a−2=0⑤，
⑤+④得：(3+k)a2+(4k+5)a−2k=5，
代数式=(a2+4a−2)k+3a2+5a=(3+k)a2+(4k+5)a−2k=5．
故代数式的值为5．
【解析】(1)计算第2个方程的判别式得Δ2=(2k+3)2+4>0，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，然后方程①没有实数根列出关于k的不等式求解即可；
(2)把x=a分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．