2025届江苏省无锡市新吴区新城中学数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届江苏省无锡市新吴区新城中学数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点，若，则的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2、（4分）若平行四边形中两个相邻内角度数比为1:2，则其中较大的内角是（ ）
A．90°B．60°C．120°D．45°
3、（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．＋ =B．2－ =
C．= ×D．÷ =
4、（4分）下列视力表的部分图案中，既是轴对称图形亦是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．B．且k≠0C．D．且k≠0
6、（4分）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．7C．12D．9或12
7、（4分）若A(2，y1)，B(3，y2)是一次函数y=-3x+1的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．不能确定
8、（4分）如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( )
A．1B．C．2D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）我国古代数学领域有些研究成果曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》(1261年)一书中，用图中的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数都为它的上方(左右)两数之和，这个三角形给出了(a+b)n(n=1，2，3，4，5)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中各项的系数，等等．利用上面呈现的规律填空：(a+b)6=a6+6a5b+________ +20a3b3+15a2b4+ ________+b6
10、（4分）若关于的一元二次方程有一个根为 ，则________.
11、（4分）如图，在中，，，，把绕边上的点顺时针旋转90°得到，交于点，若，则的长是________.
12、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是______．
13、（4分）若分式方程 无解，则等于___________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图2）.
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长交于，是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?
（3）设矩形的边，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线为，当时，求的值. 此时，将沿折叠，点A`是否落在上（分别为、中点）？为什么？
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．
（3）若点D在y轴上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．
16、（8分）八年级380名师生参加户外拓展活动,计划租用7辆客车,现有甲、乙两种型号客车,它们的载客量和租金如表
(1)设租用乙种客车x辆,租车总费用为y元求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式;
(2)当乙种客车租用多少辆时,能保障所有的师生能参加户外拓展活动且租车费用最少，最少费用是多少元?
17、（10分）为了解市民对“雾霾天气的主要原因”的认识，某调查公司随机抽查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表．
调查结果扇形统计图
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：__________，__________．扇形统计图中组所占的百分比为__________%．
（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持组“观点”的市民人数约是__________万人．
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持组“观点”的概率是__________．
18、（10分）请从不等式﹣4x＞2，，中任选两个组成一个一元一次不等式组．解出这个不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知一组数据，，，，，，则这组数据的众数是________.
20、（4分）化简﹣的结果是_____．
21、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为_____．
22、（4分）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点．OE⊥AB，垂足为，若，则的大小为____________．
23、（4分）如图，在中，直径，弦于，若，则____
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某水果店经销进价分别为元/千克、元/千克的甲、乙两种水果，下表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=售价-进价）
（1）求甲、乙两种水果的销售单价；
（2）若水果店准备用不多于元的资金再购进两种水果共千克，求最多能够进甲水果多少千克？
（3）在（2）的条件下，水果店销售完这千克水果能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
25、（10分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．
26、（12分）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
连接BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角的性质求出∠ABE=∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBE，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CE．
【详解】
如图，连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
在△ABC中，∠CBE=180°-∠A-∠ABE-∠C=180°-30°-30°-90°=30°，
∴CE=BE=×4=2，
故选C．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
2、C
【解析】
据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C=180°，根据∠B：∠C=1：2，求出∠C即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠C=×180°=120°，
故选：C．
本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
3、B
【解析】
分析：根据二次根式的运算法则逐一计算即可得出答案．
详解：A．、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．2－ = ，此选项正确；
C．= ×，此选项错误；
D．÷ = ，此选项错误．
故选B．
点睛：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
4、B
【解析】
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；据此分别对各选项图形加以判断即可.
【详解】
A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B：是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C：不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B.
本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握相关概念是解题关键.
5、B
【解析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k≠0且△=(-3)2-4k×1＞0，求出即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△=(-3)2-4k×1＞0，
解得：k＜且k≠0，
故选B．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
6、C
【解析】
试题分析：当2为腰时，三角形的三边是2,2,5，因为2+2＜5，所以不能组成三角形；当2为底时，三角形的三边是2,5,5，所以三角形的周长=12，故选C．
考点：等腰三角形的性质、三角形的三边关系．
7、C
【解析】
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据1＜3即可得出结论．
【详解】
解：∵一次函数y=-3x+1中，k=-3＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A（1，y1），B（3，y1）是一次函数y=-3x+1的图象上的两个点，1＜3，
∴y1＞y1．
故选：C．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质．
8、B
【解析】
连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
如图：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故选B．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、15a4b2 6ab5
【解析】
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数都为它的上方(左右)两数之和，所以由第六行的数字可以得出第七行的数， 结合a的次数由大到小的顺序逐项写出展开式即可.
【详解】
∵第六行6个数1,5,10,10,5,1，则第七行7个数为1,6,15,20,15,6,1；
则 (a+b)7=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab6+b7；
此题主要考查代数式的规律，解题的关键是根据题意找到规律.
10、4
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入x2+mx+2m-4=0得到关于m的一次方程2m-4=0，然后解一次方程即可．
【详解】
把代入，
得2m-4=0
解得m=2
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握计算法则是解题关键.
11、2
【解析】
在Rt△ACB中，，由题意设BD=B′D=AE=x，由△EDB′∽△ACB，可得，推出，可得，求出x即可解决问题。
【详解】
解：在中，，
由题意设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为2.
本题考查旋转变换、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题，所以中考常考题型．
12、1
【解析】
先根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出△DEF的三边长，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，AB=10，∴BC==8，
∵点D、E、F是三边的中点，∴DE=AC=3，DF=AB=5，EF=BC=4，
∴△DEF的周长=3+4+5=1．
故答案为：1．
本题考查的是勾股定理和三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13、
【解析】
先去分母，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可得到答案．
【详解】
解：，
去分母得：，
所以：，
因为：方程的增根是，
所以：此时，
故答案为：．
本题考查分式方程无解时字母系数的取值，掌握把增根代入去分母后的整式方程是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）是等边三角形，见解析；（2）当a⩽b时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP；（3），点落在上，见解析.
【解析】
（1）连结，根据折叠的性质得到为等边三角形，然后利用三角形内角和定理即可解答.
（2）由作图可得P在BC上，所以BC≥BP；
（3）求出，再把M`代入解析式，即可求出k的值，过作交于，利用折叠的性质得到，再利用全等三角形的性质，，再求出，即可解答.
【详解】
解：（1）是等边三角形，理由如下：
连结，
∵垂直平分
∴.
由折叠知:
∴
∴为等边三角形
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴为等边三角形.
(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC⩾BP，
在Rt△BNP中,BN=BA=a,∠PBN=30°，
∴BP= ,
∴b⩾,
∴a⩽b.
∴当a⩽b时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP.
（3）∵
∴
∴
∴
把代入得
解得.
将沿折叠，点落在上，理由如下：
设沿折叠后，点落在矩形内的点为，过作交于
∵′
∴
∴
在中，，
∴
∴落在上.
此题考查等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的性质，解题关键在于作辅助线和利用折叠的性质进行解答.
15、（1）k=-1，b=4；（2）x＜1；（3）点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
【解析】
（1）用待定系数法求解；（2）kx+b＞3x，结合图象求解；（3）先求点B的坐标为（4，0）．设点D的坐标为（0，m），直线DB：y＝-，过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），可得CE，S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣，由S△BCD＝2S△BOC可求解.
【详解】
解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：
解得：；
（2）由kx+b﹣3x＞0，得
kx+b＞3x，
∵点C的横坐标为1，
∴x＜1；
（3）由（1）直线AB：y＝﹣x+4
当y＝0时，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m），
∴直线DB：y＝-，
过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），
∴CE＝|3﹣ |
∴S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣ |．
∵S△BCD＝2S△BOC，即2|3﹣ |＝×4×3×2，
解得：m＝﹣4或12，
∴点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
考核知识点：一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
16、（1）y=-100x+3850；（2）当乙为2辆时，能保障费用最少，最少费用为3650元.
【解析】
(1)y=租甲种车的费用+租乙种车的费用，由题意代入相关数据即可得；
(2)根据题意确定出x的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得.
【详解】
(1)由题意，得
y=550(7-x)+450x，
化简，得y=-100x+3850，
即y(元)与x(辆)之间的函数表达式是y=-100x+3850；
(2)由题意，得45x+60(7﹣x)≥380，解得，x≤(x为自然数)，
∵y=-100x+3850中k=-100<0，∴y随着x的增大而减小，
∴x=2时，租车费用最少，最少为：y=-100×2+3850=3650(元)，
即当乙种客车有2辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3650元．
本题考查了一次函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
17、50 130 16% 28 0.26
【解析】
（1）求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得；
（2）利用总人数100万，乘以所对应的比例即可求解；
（3）利用频率的计算公式即可求解．
【详解】
解：（1）总人数是：100÷20%＝500（人），则m＝500×10%＝50（人），
C组的频数n＝500﹣100﹣50﹣140﹣80＝130（人），
E组所占的百分比是：×100%＝16%；
故答案为：50，130，16%；
（2）100×＝28（万人）；
所以持D组“观点”的市民人数为28万人；
（3）随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是．
答：随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及列举法求概率．
18、见解析（答案不唯一）
【解析】
分别求出各不等式的解集，然后根据不同的组合求出公共部分即可得解．
【详解】
由﹣4x＞2得x＜﹣①；
由得x≤4②；
由得x≥2③，
∴（1）不等式组的解集是x＜﹣；
（2）不等式组的解集是无解；
（3）不等式组的解集是
此题考查解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，正确解不等式，熟记不等式组解的四种不同情况正确得到不等式组的解集是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、45
【解析】
根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案
【详解】
解：∵这组数据中45出现两次，出现次数最多
∴众数是45
故答案为45
本题考查众数的概念，熟练掌握众数的概念为解题关键
20、﹣
【解析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果
【详解】
原式=
=
=
故答案为:
此题考查分式的加减法，掌握运算法则是解题关键
21、115
【解析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC1+BC1，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB1＝AC1+BC1．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】
正方形ADEC的面积为：AC1，正方形BCFG的面积为：BC1；
在Rt△ABC中，AB1＝AC1+BC1，AB＝15，
则AC1+BC1＝115，
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为115．
故答案为115．
本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB1＝AC1+BC1．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
22、65°
【解析】
先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】
在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°﹣130°=50°，∴∠BAO∠BAD50°=25°．
∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°﹣∠BAO=90°﹣25°=65°．
故答案为65°．
本题考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
23、
【解析】
根据圆周角定理求出∠COB，根据正弦的概念求出CE，根据垂径定理解答即可．
【详解】
由圆周角定理得，∠COB=2∠A=60°，
∴CE=OC•sin∠COE=2×=，
∵AE⊥CD，
∴CD=2CE=2，
故答案为：2.
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）甲、乙两种水果的销售单价分别为元、元；（2）最多购进甲水果千克时,采购资金不多于元；（3）在（2）的条件下水果店不能实现利润元的目标.
【解析】
（1）设甲、乙两种水果的销售单价分别为元、元，根据题意找到等量关系进行列二元一次方程组进行求解；
（2）设购进甲水果为千克,乙水果千克时采购资金不多于元，根据题意列出不等式即可求解；
（3）根据题意找到等量关系列出方程即可求解.
【详解】
解：（1）设甲、乙两种水果的销售单价分别为元、元，依题意得：
解得：
所以甲、乙两种水果的销售单价分别为元、元
（2）设购进甲水果为千克,乙水果千克时采购资金不多于元；
根据题意得：.
解得：
所以最多购进甲水果千克时,采购资金不多于元
（3）依题意得：
解得：
因为，
所以在（2）的条件下水果店不能实现利润元的目标.
此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系、不等关系进行列式求解.
25、 (1)1s；(2) s；(3)3s.
【解析】
（1）设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP=CQ，代入后求出即可；
（2）设经过ts时，四边形PQBA是矩形，根据AP=BQ，代入后求出即可；
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形，利用EP=2列出有关t的方程求解即可．
【详解】
（1）设经过t（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD=CQ
所以24-t=3t，
解得：t=1．
（2）设经过t（s），四边形PQBA为矩形，
即AP=BQ，
所以t=21-3t，
解得：t=．
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP=∠DFC=90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ=DC．
又∵AD∥BC，∠B=90°，
∴AB=QE=DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC=EP=BC-AD=21-24=2．
又∵AE=BQ=21-3t，
∴EP=AP-AE=t-（21-3t）=2．
得：t=3．
∴经过3s，PQ=CD．
此题主要考查平行四边形、矩形及等腰梯形的判定掌握情况，本题解题关键是找出等量关系即可得解．
26、（1）y=x+1；（2）C（0，1）；（3）1
【解析】
试题分析：（1）首先根据正比例函数解析式求得m的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，令x=0求得点C的坐标；
（3）根据（1）中的解析式，令y=0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积．
试题解析：
（1）∵正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），
∴2m=2，
m=1．
把（1，2）和（-2，-1）代入y=kx+b，得

解得：

则一次函数解析式是y=x+1；
（2）令x=0，则y=1，即点C（0，1）；
（3）令y=0，则x=-1．
则△AOD的面积=.
【点睛】运用了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
60
45
租金（元/辆）
550
450
组别
观点
频数（人数）
大气气压低，空气不流动
100
底面灰尘大，空气湿度低
汽车尾气排放
工厂造成的污染
140
其他
80
时间
甲水果销量
乙水果销量
销售收入
周五
千克
千克
元
周六
千克
千克
元