河北省郑口中学、鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(无答案)
展开这是一份河北省郑口中学、鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(无答案),共11页。
全卷满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整,笔迹清楚.
4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设直线的倾斜角为,则( )
A. B. C. D.
2.已知平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,若,则( )
A. B. C.1 D.2
3.已知直线与平行,且过点,则( )
A. B.3 C. D.2
4.如图,在正三棱锥中,点为的重心,点是线段上的一点,且,记,则( )
A. B.
C. D.
5.已知从点发出的一束光线,经过直线反射,反射光线恰好过点,则反射光线所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6.如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知实数满足,且,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在正三棱锥中,,点满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知空间向量,且,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知直线和直线,下列说法正确的是( )
A.始终过定点
B.若,则或
C.若,则或2
D.当时,始终不过第三象限
11.如图,在棱长为2的正方体中,点是底面内的一点(包括边界),且,则下列说法正确的是( )
A.点的轨迹长度为
B.点到平面的距离是定值
C.直线与平面所成角的正切值的最大值为
D.的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍,则满足条件的一条直线的方程为__________.
13.已知向量,若共面,则__________.
14.如图,在正三棱柱中,为棱上的动点(包括端点),为的中点,则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知的顶点坐标为.
(1)若点是边上的中点,求直线的方程;
(2)求边上的高所在的直线方程.
16.(本小题满分15分)
如图,在直三棱柱中,,点分别为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与直线的夹角的余弦值.
17.(本小题满分15分)
如图,在直四棱柱中,四边形是矩形,,点是棱上的一点,且.
(1)求证:四边形为正方形;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(本小题满分17分)
已知直线过定点.
(1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程;
(2)若直线交轴正半轴于点,交轴负半轴于点的面积为(为坐标原点),求的最小值,并求此时直线的方程.
19.(本小题满分17分)
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,且平面平面,在平面内过作,交于,连接.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上存在一点,使直线与平面所成的角的正弦值为,求的长.
2024~2025学年度高二上学期10月月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 因为直线的斜率为,由斜率和倾斜角的关系可得,又,.故选A.
2.B 因为,所以,所以,解得.故选B.
3.D 因为直线与直线平行,,解得,直线过,则得,经验证与不重合,.故选D.
4.A 因为为的重心,所以,又点是线段上的一点,且,所以.故选A.
5.C 点关于对称的点设为,则,反射光线经过点,则反射光线所在的直线方程为,即,故选C.
6.C 取的中点,则,建立如图所示的空间直角坐标系,所以,所以,所以在上的投影的长度为,
故点到直线的距离为.故选C.
7.D 由于点满足关系式,且,可知在线段上移动,且,,设,则,因为点在线段上,所以的取值范围是,故选D.
8.B 延长至点,使得,所以,又由,所以四点共面,所以的最小值为点到平面的距离,又点是的中点,所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半,又,易得点到平面的距离为,所以的最小值为.故选B.
9.ABD ,故A正确;,设,故B正确;,故C错误;,故D正确.故选ABD.
10.ACD
11.BCD 因为,即,所以,即点在底面内是以为圆心、半径为1的圆上,所以点的轨迹长度为,故A错误;
在正方体中,,又平面,所以平面,所以点的轨迹为线段,又平面,所以点到平面的距离是定值,故B正确;
因为点到的距离为定值2,记点在平面的投影为,所以当取得最小值时,直线与平面所成角的正切值最大,又,所以直线与平面所成角的正切值的最大值为,故C正确;
到直线的距离为,当点落在上时,,故D正确.故选BCD.
12.答案见错题集
13.5 因为共面,所以存在实数,使得,即,
即
14. 取中点,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,设,且,因为为的中点,
故,于是,平面的一个法向量为,
,
设,则,,故.
15.(1)因为点是边上的中点,则,所以,所以直线的方程为,即;
(2)因为,所以边上的高所在的直线的斜率为,所以边上的高所在的直线方程为,即.
16.(1)证明:由于三棱柱是直三棱柱,所以,
因为点分别为棱的中点,所以,
则四边形是平行四边形,所以,
又因为平面平面,所以平面
(2)解:因为直三棱柱,所以以为原点,所
在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,于是,
设直线与直线的夹角为,则,
所以直线与直线的夹角的余弦值为.
17.(1)证明:连接,如图所示,在直四棱柱中,平面,又平面,所以,
又平面,所以平面,
又平面,所以,又四边形是矩形,所以四边形为正方形;
(2)解:以为坐标原点,所在的直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示,所以,所以,
设平面的一个法向量为,所以,
令,解得,所以平面的一个法向量为,
设直线与平面所成角的大小为,
所以,即直线与平面所成角的正弦值为.
18.答案见错题集
19.答案见错题集
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