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2025中考复习数学考点专题探究课件：专题8 二次函数的综合应用
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这是一份2025中考复习数学考点专题探究课件：专题8 二次函数的综合应用，共27页。PPT课件主要包含了专题8，刷难关，类型2交点问题，类型3整点问题，1求A点的坐标等内容，欢迎下载使用。
专题8 二次函数的综合应用
类型1 增减性、最值问题
1. [2023北京中考，中]在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点.设抛物线的对称轴为x＝t.
(1)若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
(2)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围.
2. [2023浙江绍兴中考，中]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c.(1)当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当－1≤x≤3时，求y的取值范围.
【解】(1)①∵b＝4，c＝3，∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，∴函数图象的顶点坐标为(2，7).
②由①知，函数图象的对称轴为直线x＝2，∴当 x＝2 时，y取得最大值7.∵2－(－1)＞3－2，∴当x＝－1 时，y取得最小值－2，∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7.
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的解 析式.
3. [2024江苏南京一模，中]已知二次函数y＝ax2＋bx＋2(a＜0).
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个交点；
(1)【证明】令ax2＋bx＋2＝0，则Δ＝b2－4a×2＝b2－8a.∵a＜0，∴－8a＞0.对于任意的实数b，都有b2≥0，∴b2－8a＞0，即Δ＞0，∴该函数的图象与x轴总有两个交点.
(2)若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x2＝－2x1，求证：a＋b2＝0；
①当k＜－2时，－k－2＞4－k＞2，无解.
②当－2≤k≤4时，k＋2＞4－k＞2，∴1＜k＜2.
③当k＞4时，k＋2＞k－4＞2，∴k＞6.综上可得，1＜k＜2或k＞6.
(3)若A(k，y1)，B(6，y2)，C(k＋4，y1)都在该二次函数的图象上，且2＜y2 ＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围.
4. [2024河南商丘模拟，中]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2＋ bx＋c与抛物线C2：y＝－x2＋x－1的形状及开口方向相同，且与x轴交于点(－1，0)和(4，0).直线y＝kx＋2(k≠0)分别与x轴、y轴交于点A，B，交抛物线y＝ax2＋bx＋c于点C，D(点C在点D的左侧).
(1)求抛物线C1的解析式；
【解】(1)∵抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c与抛物线C2：y＝－x2＋x－1 的形状及开口方向相同，∴a＝－1.∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)和(4，0)，∴抛物线C1的解析式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋3x＋4.
∴C(－1，0)，D(2，6).
(2)点P是直线y＝kx＋2上方抛物线C1上的任意一点，当k＝2时，求△PCD 面积的最大值；
过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，如图(1).
设点P坐标为(m，－m2＋3m＋4)(－1＜m＜2)，
∴H(m，2m＋2)，
∴PH＝－m2＋3m＋4－(2m＋2)＝－m2＋m＋2，
(3)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围.
5. [2023湖南益阳中考，中]在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a(x＋2)(a ＞0)与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点(B在C的左边).
【解】(1)令y＝a(x＋2)＝0，得x＝－2，∴A点的坐标为(－2，0).
(2)如图(1)，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三 角形是直角三角形时，求实数a的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫做格点，如(－2，1)，(2，0)等均为格点.如图(2)，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰好是26个，求a的取值范围.
6. [2023云南中考，中]数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代 数)侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何)侧重研究物体形的方面， 具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量 关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优 势，数形互化，共同解决问题.
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整 点.设函数y＝(4a＋2)x2＋(9－6a)x－4a＋4(实数a为常数)的图象为图象T.
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
∴无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点.
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由.
专题8 二次函数的综合应用
类型1 增减性、最值问题
1. [2023北京中考，中]在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点.设抛物线的对称轴为x＝t.
(1)若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
(2)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围.
2. [2023浙江绍兴中考，中]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c.(1)当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当－1≤x≤3时，求y的取值范围.
【解】(1)①∵b＝4，c＝3，∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，∴函数图象的顶点坐标为(2，7).
②由①知，函数图象的对称轴为直线x＝2，∴当 x＝2 时，y取得最大值7.∵2－(－1)＞3－2，∴当x＝－1 时，y取得最小值－2，∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7.
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的解 析式.
3. [2024江苏南京一模，中]已知二次函数y＝ax2＋bx＋2(a＜0).
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个交点；
(1)【证明】令ax2＋bx＋2＝0，则Δ＝b2－4a×2＝b2－8a.∵a＜0，∴－8a＞0.对于任意的实数b，都有b2≥0，∴b2－8a＞0，即Δ＞0，∴该函数的图象与x轴总有两个交点.
(2)若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x2＝－2x1，求证：a＋b2＝0；
①当k＜－2时，－k－2＞4－k＞2，无解.
②当－2≤k≤4时，k＋2＞4－k＞2，∴1＜k＜2.
③当k＞4时，k＋2＞k－4＞2，∴k＞6.综上可得，1＜k＜2或k＞6.
(3)若A(k，y1)，B(6，y2)，C(k＋4，y1)都在该二次函数的图象上，且2＜y2 ＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围.
4. [2024河南商丘模拟，中]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2＋ bx＋c与抛物线C2：y＝－x2＋x－1的形状及开口方向相同，且与x轴交于点(－1，0)和(4，0).直线y＝kx＋2(k≠0)分别与x轴、y轴交于点A，B，交抛物线y＝ax2＋bx＋c于点C，D(点C在点D的左侧).
(1)求抛物线C1的解析式；
【解】(1)∵抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c与抛物线C2：y＝－x2＋x－1 的形状及开口方向相同，∴a＝－1.∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)和(4，0)，∴抛物线C1的解析式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋3x＋4.
∴C(－1，0)，D(2，6).
(2)点P是直线y＝kx＋2上方抛物线C1上的任意一点，当k＝2时，求△PCD 面积的最大值；
过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，如图(1).
设点P坐标为(m，－m2＋3m＋4)(－1＜m＜2)，
∴H(m，2m＋2)，
∴PH＝－m2＋3m＋4－(2m＋2)＝－m2＋m＋2，
(3)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围.
5. [2023湖南益阳中考，中]在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a(x＋2)(a ＞0)与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点(B在C的左边).
【解】(1)令y＝a(x＋2)＝0，得x＝－2，∴A点的坐标为(－2，0).
(2)如图(1)，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三 角形是直角三角形时，求实数a的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫做格点，如(－2，1)，(2，0)等均为格点.如图(2)，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰好是26个，求a的取值范围.
6. [2023云南中考，中]数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代 数)侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何)侧重研究物体形的方面， 具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量 关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优 势，数形互化，共同解决问题.
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整 点.设函数y＝(4a＋2)x2＋(9－6a)x－4a＋4(实数a为常数)的图象为图象T.
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
∴无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点.
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由.
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