2025中考复习数学考点专题探究课件:专题12 几何图形动态探究
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专题12 几何图形动态探究
1. [2023吉林中考,中]如图,在正方形ABCD中,AB=4 cm,点O是对角线
AC的中点.动点P,Q分别从点A,B同时出发,点P以1 cm/s的速度沿边
AB向终点B匀速运动,点Q以2 cm/s的速度沿折线BC-CD向终点D匀速运
动.连接PO并延长交边CD于点M,连接QO并延长交折线DA-AB于点
N,连接PQ,QM,MN,NP,得到四边形PQMN. 设点P的运动时间为
x(s)(0<x<4),四边形PQMN的面积为y(cm2).
(1)BP的长为 cm,CM的长为 cm.
(用含x的代数式表示)
(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当0<x≤2时,点Q在BC上,如图(1)所示.
由(1)可得△ANP≌△CQM,同理可得△PBQ≌△MDN.
∵PB=4-x,QB=2x,MC=x,QC=4-2x,
当2<x<4时,点Q在CD上,如图(2)所示,
则AP=x,AN=CQ=2x-CB=2x-4,
∴PN=AP-AN=x-(2x-4)=-x+4,
∴y=(-x+4)×4=-4x+16.
(3)当四边形PQMN是轴对称图形时,直接写出x的值.
①当0<x≤2,四边形PQMN是矩形时,如图(3)所示,此时∠PQM=
90°,∴∠MQC+∠PQB=90°.
∵∠B=90°,∴∠QPB+∠PQB=90°,
当四边形PQMN是菱形时,PQ=MQ,∴(4-x)2+(2x)2=x2+(4-
2x)2,解得x=0(舍去).
解决动点问题,要分析三点:从哪开始,到哪去,速度是多少.
2. [2024广东江门一模,中]在正方形ABCD的边AB上任取一点E,连接
CE,一条与CE垂直的直线l(垂足为点M)沿CE方向,从点C开始向上平
移,交边BC于点F.
(1)如图(1),当直线l经过正方形ABCD的顶点D时,求证:BE=CF;
(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCF=90°,BC=
CD,
∴∠BCE+∠DCM=90°.
∵CE⊥DF,∴∠CDF+∠DCM=90°,
∴∠BCE=∠CDF.
∴△BCE≌△CDF(ASA),
(2)如图(2),当直线l经过CE的中点时,与对角线BD交于点N,连接CN,
EN,求∠NCE的度数;
(3)如图(3),直线l继续向上平移,当点M恰好落在对角线BD上时,交边AD
于点G,设AB=4,BE=x,DG=y,求y与x之间的关系式.
(3)【解】如图(2),过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形,
∴FT=AB,BF=AT,∠FTG=∠CFT=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=FT,∠ABC=90°.
∵CE⊥FG,∴∠CMF=90°,
∴∠CFM+∠BCE=90°.
∵∠CFM+∠GFT=90°,∴∠BCE=∠GFT.
∴△BCE≌△TFG(ASA),∴BE=GT=x.
∴CD=AB=AD=4,BE∥CD,BF∥DG,
∴△BEM∽△DCM,△BFM∽△DGM,
3. [2023黑龙江牡丹江中考,较难]▱ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,连接
DE,将ED绕点E逆时针旋转90°,得到EF,连接BF.
(1)当点E在线段BC上,∠ABC=45°时,如图(1),求证:AE+EC=BF;
(1)【证明】∵AE⊥BC于点E,∴∠AEB=90°.∵∠ABC=45°,
∴∠BAE=∠ABC=45°,∴BE=AE. ∵将ED绕点E逆时针旋转90°,得到EF,∴∠DEF=90°,EF=
ED,∴∠BEF=∠AED=90°-∠AEF. ∵BE=AE,∠BEF=
∠AED,EF=ED,∴△BEF≌△AED(SAS),∴BF=AD. ∵四边形
ABCD是平行四边形,∴BC=AD,∴AE+EC=BE+EC=BC=
AD=BF,即AE+EC=BF.
(2)当点E在线段BC延长线上,∠ABC=45°时,如图(2);当点E在线段CB
延长线上,∠ABC=135°时,如图(3),请猜想并直接写出线段AE,EC,
BF的数量关系;
(2)【解】题图(2):AE-EC=BF;题图(3):EC-AE=BF.
理由:如题图(2),∵AE⊥BC交BC的延长线于点E,∴∠AEB=
90°.∵∠ABC=45°,∴∠BAE=∠ABC=45°,∴BE=AE. ∵将ED
绕点E逆时针旋转90°,得到EF,∴∠DEF=90°,EF=ED,
∴∠BEF=∠AED=90°-∠AEF. ∵BE=AE,∠BEF=∠AED,
EF=ED,∴△BEF≌△AED(SAS),∴BF=AD. ∵BC=AD,∴AE
-EC=BE-EC=BC=AD=BF,即AE-EC=BF.
如题图(3),∵AE⊥BC交CB的延长线于点E,∴∠AEB=
90°.∵∠ABC=135°,∴∠ABE=180°-∠ABC=45°,∴∠BAE=
∠ABE=45°,∴BE=AE. ∵将ED绕点E逆时针旋转90°,得到EF,
∴∠DEF=90°,EF=ED,∴∠BEF=∠AED=90°-∠BED. ∵BE
=AE,∠BEF=∠AED,EF=ED,∴△BEF≌△AED(SAS),∴BF
=AD. ∵BC=AD,∴EC-AE=EC-BE=BC=AD=BF,即EC
-AE=BF.
(3)在(1)、(2)的条件下,若BE=3,DE=5,则CE= .
(1)填空:如图(1),点C的坐标为 ,点G的坐标为 .
连接AC,BD交于点P,如图(1)所示.
(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移,得到矩形E'F'G'H',点E,F,
G,H的对应点分别为E',F',G',H'.设EE'=t,矩形E'F'G'H'与菱
形ABCD重叠部分的面积为S.
①如图(2),当边E'F'与AB相交于点M、边G'H'与BC相交于点N,且矩形
E'F'G'H'与菱形ABCD重叠部分为五边形时,试用含有t的式子表示S,并直
接写出t的取值范围;
∴△CAD为等边三角形,∴∠CDA=60°.
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