2024-2025学年浙江省“精诚联盟”10月联考高一年级第一学期数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省“精诚联盟”10月联考高一年级第一学期数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=N+，B={0,1,2}，则A∩B=( )．
A. {0}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}
2.设U=R，已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>a}，且(∁UA)∪B=R，则实数a的取值范围是( )．
A. (−∞,0)B. (−∞,0]C. [0,+∞)D. (0,+∞)
3.已知命题p:若x>1，则2x+1>5，则命题p的否定为( )．
A. ∀x>1，2x+1≤5B. ∃x>1，2x+1≤5
C. ∀x≤1，2x+1≤5D. ∃x≤1，2x+1≤5
4.已知函数f(x)=([x]+1)2+2，其中[x]表示不超过x的最大整数，则f(−1.5)=( )．
A. 2B. 3C. 94D. 4
5.已知f(x2+1)=x4−1，则函数f(x)的解析式为( )．
A. f(x)=x2−2xB. f(x)=x2−1(x≥1)
C. f(x)=x2−2x+2(x≥1)D. f(x)=x2−2x(x≥1)
6.已知函数f(x)的定义域和值域都是[0,1]，则函数f( x+1)的定义域和值域分别为( )．
A. [1, 2]和[−1,0]B. [1, 2]和[0,1]C. [−1,0]和[−1,0]D. [−1,0]和[0,1]
7.已知p:x2−x−6≤0，q:x2−(2a+3)x+a2+3a≤0.若p是q的既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是( )．
A. (−∞,−2]∪[0,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,+∞)
C. [−2,0]D. (−2,0)
8.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，若f(1)=1，则f(128)=( )．
A. 128B. 4096C. 8192D. 16384
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x|2x−y+1=0}，B={y|2x−y+1=0}，C={(x,y)|2x−y+1=0}下列关系正确的是( )．
A. A=BB. B⊆CC. A∩C=⌀D. {(1,3)}⫋C
10.已知a，b为正实数，a+b=1，则( )．
A. ab的最大值为14B. a+ b的最小值为 2
C. ba+1+bb的最小值4D. a2a+1+b2b+1的最小值为13
11.已知正实数a，b，c，且a>b>c，则使得xa−b+yb−c+zc−a>0恒成立的自然数x，y，z可以是( )．
A. x=2，y=1，z=4B. x=1，y=2，z=6
C. x=3，y=2，z=9D. x=2，y=3，z=10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数a>b>0，m>0，则b+ma+m ba(用>，<填空)．
13.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45∘方向400 2km处的热带风暴中心正在以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500km以内的地区都将受到影响.以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 h.
14.已知1≤a≤b≤2，记4a+3b的最大值为M，最小值为m，则M2−m2= ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设集合A={x|x2+2x−8≤0}，B={x|0(1)若A∪B=A，求实数m的取值范围;
(2)设P=(∁RA)∩B，若∃x∈Z且x∈P，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
(1)若不等式ax2+bx−12>0的解集为{x|3(2)解关于x的不等式mx2+(1−m)x−1<0．
17.(本小题12分)
为了节能减排，某企业决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，并接入本企业电网.安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为12.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=180x+5(x≥0).记F(单位：万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和．
(1)要使F不超过60万元，求安装太阳能电池板的面积x的取值范围;
(2)当x为多少平方米时，F取得最小值?最小值是多少万元?
18.(本小题12分)
对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S(A)={a+b|a,b∈A}，定义集合T(A)={ab|a,b∈A，且a≠b}.记集合S(A)的元素个数为d(S(A))．
(1)若A={0,1,2}，求S(A)，T(A);
(2)若A={x1,x2,x3,x4,x5}，且0(3)若A={x1,x2,x3,⋯,xn}，(x1答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题目．
根据交集的定义求解即可．
【解答】
解：由题意可得A∩B={1,2}．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．
根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可．
【解答】解：∵U=R，集合A={x|x≥0}=[0,+∞)，
B={x|x>a}=(a,+∞)，
∴ ∁UA=(−∞,0)，
又( ∁UA)∪B=R，
∴实数a的取值范围是(−∞,0)．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
由全称量词命题的否定是存在量词命题，得解．
【解答】
解：命题：”若x>1，则2x+1>5“的否定是：”若∃x>1，则2x+1≤5“．
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了求函数值，取整函数，属于基础题．
根据x表示不超过x的最大整数得到−1.5=−2，即可得到答案．
【解答】解：因为x表示不超过x的最大整数，所以−1.5=−2，
所以f−1.5=(−1.5+1)2+2=(−2+1)2+2=3．
故选B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了换元法求函数的解析式，属基础题．
令t=x2+1(t≥1)，则x2=t−1，代入原式即可得到结论．
【解答】
解：令t=x2+1(t≥1)，则x2=t−1，
代入原式得ft=t−12−1=t2−2tt≥1，
所以fx=x2−2xx⩾1．
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域和值域，属于基础题．
由0≤ x+1≤1即可求f( x+1)的定义域，由f( x+1)的值域与f(x)的值域相同即可求值域．
【解答】
解：由题意得0≤ x+1≤1，解得−1≤x≤0，
所以函数f( x+1)的定义域为[−1,0]，
函数f( x+1)的值域与f(x)的值域相同，
所以f( x+1)的值域为[0,1]
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的应用，属于一般题．
解不等式，利用间接法即可求解．
【解答】
解：由x2−x−6≤0，得−2≤x≤3，
由x2−(2a+3)x+a2+3a≤0，得a≤x≤a+3，
若p是q的充分不必要条件，则[−2,3]⫋[a,a+3]，则a≤−2,a+3≥3(等号不同时成立)，无解；
若p是q的必要不充分条件，则[a,a+3]⫋[−2,3]，则a≥−2,a+3≤3(等号不同时成立)，得−2≤a≤0;
若p是q的充要条件，则[−2,3]=[a,a+3]，则a=−2,a+3=3无解．
综上，当p是q的既不充分也不必要条件时，a∈(−∞,−2)∪(0,+∞).
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数的解析式，以及函数求值，属于中档题．
由已知推导出fn=nf1+nn−1=n+nn−1=n2,由此可得结论．
【解答】
解：由题意取x=nn∈N,y=1，可得
f(n+1)=f(n)+f(1)+2n
=fn−1+2f1+2n−1+2n
=fn−2+3f1+2n−2+2n−1+2n
=n+1f1+21+2+⋯+n
=n+1f1+nn+1
即知fn=nf1+nn−1=n+nn−1=n2,则f(128)=1282=16384．
故选D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查集合的关系和运算，属于基础题．
先分析A，B，C三个集合，然后对选项逐个判断即可．
【解答】
解：A={x|2x−y+1=0}=R，B={y|2x−y+1=0}=R，C={(x,y)|2x−y+1=0}是点集，
对于A、A=B，故A正确；
对于B、B与C没有包含关系，故B错误；
对于C、A∩C=⌀，故C正确；
对于D、{(1,3)}⫋C，故D正确
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
利用基本不等式分别判断各个选项的对错，即可得结果．
【解答】
解：∵正实数a，b满足a+b=1，
由基本不等式可得a+b=1≥2 ab，∴ab≤14，
当且仅当a=b=12时等号成立，故ab有最大值14，故A正确，
由于( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤2 ，
∴ a+ b≤ 2，当a=b=12时等号成立，
故 a+ b有最大值为 2，故B错误；
ba+1+bb=ba+a+2bb=ba+ab+2⩾2 ba×ab+2=4，当且仅当a=b=12时等号成立，
即ba+1+bb的最小值4，故C正确；
a2a+1+b2b+1=(a+1−1)2a+1+(b+1−1)2b+1
=a+1−2+1a+1+b+1−2+1b+1
=1a+1+1b+1−1，
设s=a+1,t=b+1⇒s+t=3，
则上式=13(1s+1t)(s+t)−1
=13(2+ts+st)−1
⩾13(2+2 ts⋅st)−1=13，
当且仅当s=t⇒a=b=12时取“=”，故D正确；
故选ACD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于一般题．
问题转化为z【解答】
解：因为正实数a，b，c，且a>b>c，
所以a−b>0,b−c>0,a−c>0，
则xa−b+yb−c+zc−a>0恒成立，
即为za−c所以z因为xa−b+yb−ca−b+b−c
=x+y+xb−ca−b+ya−bb−c⩾x+y+2 xy，
当且仅当xb−ca−b=ya−bb−c，
即 xb−c= ya−b时等号成立，
所以z即 z< x+ y，
又x，y，z为自然数，
对于A， 4< 2+ 1，故A正确；
对于B， 6> 1+ 2，故B错误；
对于C， 9< 3+ 2，故C正确；
对于D， 10> 2+ 3，故D错误．
故选AC．
12.【答案】>
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质和作差法比较两式的大小，考查运算能力，属于基础题．运用不等式的性质和作差法，化简即可得到所求关系．
【解答】
解：
−
=
=
，
由a>b>0，m>0，则a−b>0，则m(a−b)>0，a+m>0，可得
>0，可得
>
．
故答案为>．
13.【答案】30
【解析】【分析】
本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力，属于中档题．
设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=500，求出t，即可得出结论．
【解答】
解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．
若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=500，即 OC2+BC2=500，
即 (400 2cs45°)2+(400 2sin45°−20t)2=500，
上式两边平方并化简、整理得t2−40t+175=0，
解得t=35，或5，
所以，经过约5h后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间为35−5=30h．
故答案为30．
14.【答案】52
【解析】【分析】
本题考查最值问题，考查基本不等式的应用，属于一般题．
由不等式的性质求出M，由基本不等式求出m，代入计算即可．
【解答】
解：由1≤a≤2，得1a⩽1，得4a⩽4，
由1≤b≤2，得3b⩽6，
故4a+3b⩽10，
故M=10，此时a=1，b=2
又4a+3b⩾2 4a·3b=4 3，当且仅当4a=3b时，取等号，
故m=4 3，
则M2−m2=52
15.【答案】解：(1)A={x|−4≤x≤2}，且A∪B=A，所以B⊆A.
若B=⌀，此时0≥m，解得m≤0;
若B≠⌀，此时0则实数m的取值范围是(−∞,2]．
(2)因为∃x∈Z且x∈P，所以集合P中至少存在一个整数．
∁RA={x|x<−4或x>2}，B={x|0则m>0,m>3,解得m>3，
则实数m的取值范围是(3,+∞).
【解析】本题考查了集合的交并补混合运算，属于中档题．
(1)解不等式得集合A，由A∪B=A，得B⊆A，分为B=⌀，B≠⌀求m的范围；
(2)由补集的定义得∁RA，要使P=(∁RA)∩B中至少存在一个整数，得关于m的不等式组，得m的范围．
16.【答案】解：(1)∵ax2+bx−12>0的解集为{x|3∴a<0，3+4=−ba，4×3=−12a，a=−1，b=7
∴(a+b)x2+(b−12)x−a<0⇔6x2−5x+1<0，
∴所求不等式的解集为{x|13(2)mx2+(1−m)x−1<0，即(mx+1)(x−1)<0，
当m=0时，x−1<0，解得x<1．
当m>0时，对于不等式(mx+1)(x−1)<0，解得−1m当−1−1m，
当m=−1时，对于不等式(mx+1)(x−1)<0，解得x<1或x>1，
当m<−1时，对于不等式(mx+1)(x−1)<0，解得x>1或x<−1m，
综上所述：当m<−1时，关于x的不等式解为(−∞,−1m)∪(1,+∞)；
当m=−1时，关于x的不等式解为(−∞,1)∪(1,+∞)；
当−1当m=0时，关于x的不等式解为(−∞,1)；
当m>0时，关于x的不等式解为(−1m,1)．
【解析】本题主要考查含字母一元二次不等式的解法，属于中档题．
(1)由题意可得3+4=−ba，4×3=−12a，可得a，b代入不等式求解即可;
(2)讨论m可得不等式解．
17.【答案】解：(1)F=180x+5×10+12x=1800x+5+12x，(x≥0)
∵1800x+5+12x≤60，∴x(x+5)−120(x+5)+3600≤0
∴x2−115x+3000≤0
∴(x−40)(x−75)≤0∴40≤x≤75
(2)F=1800x+5+12x=1800x+5+12(x+5)−52≥2 1800x+5×12(x+5)−52=57.5
当且仅当1800x+5=12(x+5)时取等号，所以当x=55时，F取得最小值57.5万元．
答：当太阳能电池板安装55平方米时，该企业安装太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和最小，最小值为57.5万元．
【解析】本题考查函数的应用，着重考查阅读理解能力和数学建模能力、基本不等式及在解决实际问题中的灵活运用，属于中档题．(1)运用题设求出F，再建立不等式，从而求解；
(2)运用基本不等式求函数的最值，注意取得最值的条件．
18.【答案】解：(1)S(A)={0,1,2,3,4}，
T(A)={0,2}；
(2)A={x1,x2,x3,x4,x5}，0因为x1x2所以d(T(A))≥7，
又A={21,22,23,24,25}，
T(A)={23,24,25,26,27,28,29}，
此时d(T(A))=7，
所以d(T(A))最小值为7．
(3)充分性：若x2−x1=x3−x2=⋯=xn−xn−1，
设x2−x1=x3−x2=⋯=xn−xn−1=d>0，
则x2=x1+d，x3=x2+d=x1+2d，⋯⋯，
xn=xn−1+d=⋯=x1+(n−1)d，n∈N*，
∴∀i，j∈N*，1≤i≤j≤n，
xi+xj=2x1+(i+j−2)d，
而i+j的取值有2、3、4、⋯⋯2n共2n−1个值，
∴S(A)={a+b|a∈A,b∈A}={xi+xj|xi∈A,xj∈A}有2n−1个元素d(S(A))=2n−1；
必要性：若d(S(A))=2n−1，
由题意知2x1∴2n−1个值2x1，x1+x2，2x2，x2+x3，⋯2xn−1，xn−1+xn，2xn∈S(A)，
∴S(A)={2x1,x1+x2,2x2,x2+x3,⋯2xn−1,xn−1+xn,2xn}.
又xi+xi+1且集合S(A)中元素xi+x1+1与xi+1+xi+2之间只有一个元素2xi+1，
∴xi+xi+2=2xi+1，
∴xi+2−xi+1=xi+1−xi，i∈{1,2,3,⋯,n−2}，
∴x2−x1=x3−x2=⋯=xn−xn−1．
【解析】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，属于较难题．
(1)根据定义直接进行计算即可;
(2)根据集合新定义求d(T(A))范围；
(3)先证充分性再证必要性，结合集合中元素的性质可得．b+m
a+m
b
a
a(b+m)−b(a+m)
a(a+m)
m(a−b)
a(a+m)
m(a−b)
a(a+m)
b+m
a+m
b
a