安徽省亳州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线经过点，且法向量，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意知直线 的法向量是，可得其斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .故选：C
2．在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；
对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；
对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；
对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.
于是四个选项都是错的.故选：A
3．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.故选：C.
4．a=﹣1是直线4x﹣（a+1）y+9=0与直线（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当a=﹣1时，两条直线分别化为：4x+9=0，y+6=0，此时两条直线相互垂直；
当a=0时，两条直线分别化为：4x﹣y+9=0，﹣x+6=0，此时两条直线不垂直；
当a≠﹣1，0时，两条直线的斜率分别：，，∵两条直线相互垂直，∴ =﹣1，解得a=．
综上：a=﹣1是直线4x﹣（a+1）y+9=0与直线（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的充分不必要条件
故选：A．
5．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）
∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==
弦长|EF|=
原点到直线的距离d= ∴△EOF的面积为
故选D．
6．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【详解】如图所示：依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，故选：A
7．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设直线的倾斜角为.
因为，，，所以，.
又，则.
当时，单调递增，解，可得；
当时，单调递增，解，可得.
综上所述，.故选：B.
8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的长为D．
【答案】BD
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
10．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于
C．当最小时， D．当最大时，
【答案】ACD
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
11. 曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（ ）
A. 曲线C关于直线交于不同于原点
的Ax1,y1,Bx2,y2两点，则
B. 存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；
C. 存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；
D. 曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.
【答案】AC
【详解】由可得，所以曲线关于原点对称，
又直线过原点，所以Ax1,y1与Bx2,y2两点关于原点对称，
所以，所以A正确；
由，所以，
即：①，当取等号，此时，点在曲线上，
而，所以不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内，所以B错误，
点可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上，故C正确，
由①式知，所以D错误．故答案为：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ．
【答案】
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，所以直线的方程为.
故答案为：
13．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
【答案】/
【详解】∵，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∵，不共线，∴，∴，∴.
故答案为：
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则 .
【答案】
因为，，所以，
可得，即，可得；
又在中，，
由椭圆定义可得，即，
所以，可得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．13分
已知空间三点，设．
(1)若，，求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与互相垂直，求k．
【答案】(1)或……………………………………………………3
(2)…………………………………………………4
(3)或…………………………………………………6
【详解】（1）因为，
所以，又因为，
所以，又因为，……………………………………………………1
所以，……………………………………………………2
因此或；……………………………………………………3
（2）因为
所以与的夹角的余弦值为；……………………………………………………7
（3）因为与互相垂直，
所以………………10
或.……………………………………………………13
16．15分
已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点；
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若|AB|=2，求m的值；
（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．
解析
（1）x+y﹣3=0；……………………………4
（2）m=1…………………5
（3）x=4或5x﹣12y+28=0．…………………6
【解答】解：（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1，
∴方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0；……………………………………4
（2）圆x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=﹣m+5，
∵|AB|=2，∴圆心到直线的距离为，
∵圆心到直线的距离为d==，∴，∴m=1…………………9
（3）由题意，知点P（4，4）不在圆上．
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+4=0．
由圆心到切线的距离等于半径，得=2，
解得k=，所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0…………………12
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4…………………15
综上，所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0．
17．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.
(1)求外接圆的方程；
(2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
(3)若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率.
【答案】(1)……………………………4
(2)或……………………………5
(3)，……………………………6
【详解】（1）设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
即；……………………………4
（2）由（1）得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，成立；……………………………6
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；……………………………8
综上，直线方程为x=1或.……………………………9
（3）由D1,4在圆外，
则在中，，，
又，
则当，即时，取得最大值为，……………………………11
此时为等腰直角三角形，
即圆心到直线的距离，
即，……………………………13
解得.……………………………15

18．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】(1)证明见解析；……………………………5
(2)1……………………………12
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
又不在同一条直线上，
.……………………………5
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，，……………………………8
设平面的法向量，
则，
令 ，得，，……………………………11
，……………………15
化简可得，，解得或，……………………………16
或，.……………………………17
19. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围.
【答案】（1） ……………………………3
（2）……………………………14
【小问1详解】
因为椭圆经过点，所以
又因为离心率，所以，所以椭圆的方程为；……3
【小问2详解】
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
联立可得，……………………………5
则恒成立，所以，
则，……………………………7
所以中点坐标为的，
所以线段垂直平分线方程为，……………………………10
令，可得，
当时，，……………………………12
当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，……………14
当时，，
当且仅当，即时取等号，……………………………16
所以，所以，
综上：.……………………………17