湖南省长沙市长沙师大附中集团2024-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份湖南省长沙市长沙师大附中集团2024-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚；
2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示；
4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；
5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本试卷时量120分钟，满分120分．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数是二次函数的是
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．5，11，12B．2，3，4C．4，6，7D．3，4，5
4．如图，在中，，点D，E分别是直角边，的中点，连接，则的度数是
A．B．C．D．
5．为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，，，，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是
A．这组数据的方差B．这组数据的平均数
C．这组数据的众数D．这组数据的中位数
6．如图，在中，，，，则的面积为
A．30B．60C．65D．
7．下列说法不正确的是
A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴D．正方形的对角线平分一组对角
8．抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表所示：
从上表可知，时，y的值为
A．3B．4C．5D．6
9．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润5万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一月份到二月份的增长率为x，二月份到三月份的增长率是1.5x，若三月份获得利润为7.8万元，则可列出方程为
A．B．
C．D．
10．二次函数的最大值为，且，，，，中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是
A．这两点一定是M和NB．这两点一定是Q和R
C．这两点可能是M和QD．这两点可能是P和Q
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．一组数据：1，1，1，2，2，5，6，它们的众数为__________．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是__________．
13．若关于x的方程的一个根为3，则k的值为__________．
14．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为__________．
15．一个小球在空中飞行时，飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系式为，则小球从飞出到落地要用的时间为__________s．
16．如图，中，，，，线段的两个端点D，E分别在边，上滑动，且保持，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为__________．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，已知线段，用直尺和圆规作菱形：
①以A为顶点，任意作一条射线；
②以A为圆心，长为半径画弧交射线于点D；
③分别以B，D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，连接，．
根据作图步骤及痕迹回答下列问题：
（1）能得到四边形是菱形的依据是
A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
（2）连接，若，求的度数．
19．（6分）如图，沿方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点B取，，．那么另一边开挖点E离D点多远可使A，C，E三点在一直线上？（取1.732，结果取整数）
20．（8分）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
（1）表中a的值为__________，本次检测采用的是__________调查（填“全面”或“抽样”）；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是__________（写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
21．（8分）已知关于x的方程．
（1）当时，解这个方程；
（2）若方程有两个实数根，，且，求k的值．
22．（9分）某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？
23．（9分）如图，矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
24．（10分）我们约定：平面直角坐标系中，点，满足，，则称A，B为一对“等值点”．根据约定，解决下列问题：
（1）若点和点为函数图象上的一对“等值点”，求的值；
（2）关于x的函数（k，b为常数）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，请指出它有多少对“等值点”，如果不是，请说明理由；
（3）已知二次函数（a，b，c是常数，）的图象与x轴交于 C，D两点，点和，点和是该函数图象上的两对“等值点”，且满足．若以，，这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，试求该直角三角形的周长．
25．（10分）已知抛物线（n为常数）的顶点为P．
（1）求证：当时，抛物线与x轴无交点；
（2）若时，y有最小值7，时，y有最小值3，求t的值；
（3）如图，抛物线与直线交于A，B两点，记的面积为S，的周长为l，当n取不同实数时，求的最大值．
2025届九年级第一次质量调研检测
数学参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．1 12． 13． 14． 15．4 16．3
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）解：原式
．
18．（6分）解：（1）B；
（2）在菱形中，，，
．
19．（6分）解：，，
，
在中，，，
，
．
答：另一边开挖点离点可使，，三点在一直线上．
20．（8分）解：（1）3，抽样；
（2）①②；
（3）（个），
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
21．（8分）解：（1）当时，方程化为，
配方得，解得，．
（2），
方程总有实数根，
又，
或，
或（即），
或0．
22．（9分）解：（1）由题意，可设关于的函数解析式为．
由题意，得
关于的函数解析式为；
（2）由题意，可知1号气球上升分时高度为米，
由题意，得，解得，
当时，．
答：上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米．
23．（9分）（1）证明：矩形中，，，，
平分，
，又，
，又，
，即，
又，，
，
；
（2）解：，且，
为等边三角形，
，设，，
则，，
，整理得，
故，开方得，又，
，
．
24．（10分）解：（1），是函数图象上的一对“等值点”，
，且，，又，
，
；
（2）法一：当时，函数的图象是一条平行于轴的直线，其上的点的纵坐标都相等，故存在无数对“等值点”；
当时，假设函数图象是一条与轴不平行的直线，其上任意两点的纵坐标都不相等，故不存在“等值点”；
法二：假设函数的图象上存在一对“等值点”，，满足，，
那么，，故，
，又，
当时，上式恒成立，此时存在无数对“等值点”，
当时，上式不成立，此时不存在“等值点”．
（3），
，
，，又和，和是两对“等值点”，
，，，，
，为方程的两根，
，
同理可知：，为方程的两根，
，
设，的横坐标为，，它们为方程的两根，
，
显然，又以，，这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，
，即，
，
，，，
该直角三角形的周长为．
25．（10分）（1）证明：法一：，
抛物线的顶点在第一象限，又抛物线开口向上，
此时抛物线与轴无交点．
法二：令，得，即，
，又，
，
方程无实根，即此时抛物线与轴无交点．
（2）解：①当时，如图，
有最小值7，
时，，
时，有最小值3，
时，，
，解得或5，又，
．
②当时，如图，
此时时，无最小值，不合题意，舍去，
综上，．
（3）解：联立和，消整理得，
，
，，
，，
，且，
如图，过点作轴，交直线于点，
故，
的面积，为定值．
当取不同实数时，线段在直线上滑动，且保持不变，
设点关于直线的对称点为，连接，并构造平行四边形，
，
的周长，
根据平移规律，可知，故，
，
．
x
…
0
1
3
y
…
6
2
0
2
…
完全充放电次数t
充电宝数量/个
2
a
10
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
A
B
B
D
D
C