江西省吉安市第八中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

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1．在实数，，π，，，，，0.1010010001中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无理数的定义即可求解．
【解答】解：，
所以无理数有π，，，，共4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝6，所以A选项的计算错误；
B、5与5不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝8＝8，所以C选项的计算正确；
D、原式＝6，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、梯形的面积为：，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：c2，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
4．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则最长边上的高为（ ）
A．3B．4C．2.4D．3.75
【分析】先判断出三角形为直角三角形，然后根据三角形面积相等得到最长边上的高．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
即32+42＝52，
满足AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，
设最长边上的高为x，
根据△ABC的面积＝AC•BC＝AB•x，
∴AC•BC＝AB•x，
∴3×4＝5x，
解得x＝2.4，
故选：C．
【点评】本题考查了与三角形高有关的计算、勾股定理的逆定理，熟练运用定理是解题的关键．
5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+B．﹣1C．﹣1﹣D．2﹣
【分析】利用勾股定理求出线段的长度，再用该值加﹣2即可得出a的值．
【解答】解：∵＝，
∴a＝﹣2+．
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，利用勾股定理求出线段的长度是解题的关键．
6．一辆装满货物，宽为2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的高必须低于（ ）
A．4.1mB．4.0mC．3.9mD．3.8m
【分析】根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．
二．填空题（共6小题）
7．（﹣9）2的平方根是 ±9 ，算术平方根是 9 ，立方根是 3 ．
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：（﹣9）2＝81，其平方根是±9，算术平方根是9，立方根是＝3，
故答案为：±9；9；3．
【点评】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
8．一个正数的平方根分别是3a﹣4和1﹣6a，则a的值为 ﹣1 ．
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由题意得，当3a﹣4+1﹣6a＝0，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
9．比较大小：2 ＞ 5（填“＞，＜，＝”）．
【分析】首先分别求出两个数的平方各是多少；然后判断出两个数的平方的大小关系，即可判断出两个数的大小关系．
【解答】解：，52＝25，
因为28＞25，
所以2＞5．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出两个数的平方的大小关系．
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，，AB＝6，则BC2+AD2＝ 49 ．
【分析】先利用勾股定理求出OA2+OB2＝36，OC2+OD2＝13，再在Rt△AOD和Rt△BOC中得出OA2+OD2＝AD2，OB2+OC2＝BC2，等量代换即可求出BC2+AD2的值．
【解答】解：∵AC⊥BD，AB＝6，，
∴在Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2＝62＝36，
在Rt△COD中，，
又∵在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，
∴BC2+AD2
＝OB2+OC2+OA2+OD2
＝（OB2+OA2）+（OC2+OD2）
＝36+13
＝49，
故答案为：49．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 2 ．
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BE，
则BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE＝2cm，
∴BE＝，
∴PA+PE的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
12．已知，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值是 ﹣1或﹣7 ．
【分析】根据|a+b|＝﹣a﹣b，可知a+b＜0，分两种情况：①a＜0，b＜0；②a＜0，b＞0，分别求出a﹣b的值即可．
【解答】解：∵|a+b|＝﹣a﹣b，
∴a+b＜0，
∵，
∴分两种情况：
①当a＜0，b＜0时，
此时a＝﹣4，b＝﹣3，
a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1；
②当a＜0，b＞0，
此时a＝﹣4，b＝3，
a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：﹣1或﹣7．
【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是根据|a+b|＝﹣a﹣b，判断a、b的符号，分情况求出a﹣b的值．
三．解答题（共11小题）
13．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质进行化简，根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝2+﹣
＝；
（2）
＝
＝3．
【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，二次根式加减运算法则，完全平方公式，准确计算．
14．先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．
【分析】首先化简（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），然后把x＝+1，y＝﹣1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）
＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy
当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝9（+1）（﹣1）
＝9×（2﹣1）
＝9×1
＝9
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
15．（1）图1中三角形ABC的面积为 ．
（2）在图2中画出边长为、、3的三角形并求其面积．
【分析】（1）利用割补法可知S△ABC＝S四边形EFGH﹣S△ABE﹣S△ACH﹣S△BCG即可解答；
（2）利用勾股定理与网格得到，，DF＝3即可解答．
【解答】解：（1）∵如图所示，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，DF＝3，
∴如图所示，△DEF即为所求，
∴，
∴三角形的面积为3．
【点评】本题考查了勾股定理，网格中三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
16．已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
求：（1）a，b，c的值；
（2）a+4b﹣4c的平方根．
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可；
（2）利用（1）的结论直接求值即可．
【解答】解：（1）∵a+1的算术平方根是3，
∴a+1＝9，
∴a＝8；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12＝﹣3，
∴b＝9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3＝4，
∴c＝7；
即a，b，c的值分别为8，9，7；
（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，
∴a+4b﹣4c的平方根是±4．
【点评】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．
17．结合数轴先化简，后求值：．
【分析】先根据数轴分析出c＜a＜0＜b且|c|＞|b|＞|a|，再根据题意进行解题即可．
【解答】解：由数轴可知，
∵c＜a＜0＜b且|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＞0，b﹣c＞0，
∴＝﹣a﹣（a+b）+b﹣c＝﹣2a﹣c．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、立方根、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
18．某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求铺设水管的最小长度．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
（2）根据垂线段最短可得当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小，然后利用三角形的面积法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米，
∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小，
∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，
∴AB•CD＝AC•BC，
∴200CD＝120×160，
解得：CD＝96，
∴铺设水管的最小长度为96米．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如．
请你计算：
（1）8*7；
（2）2∇3；
（3）6∇（5*4）．
【分析】（1）把a＝8，b＝7代入求解；
（2）把a＝2，b＝3代入求解；
（3）先计算5*4＝3，再计算6∇3．
【解答】解：（1）∵，
又8+7＝15＞0，
故8*7＝＝＝；
（2）∵，
故；
（3）∵5+4＝9＞0，
故5*4＝＝＝＝3，
6∇（5*4）＝6*3＝＝．
【点评】本题主要考查了定义新运算的计算，掌握计算方法是解题的关键．
20．化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，观察下列等式：
①；
②；
③；
…
利用你观察到的规律解决下列问题：
（1）化简；
（2）求的倒数；
（3）计算：．
【分析】（1）利用题目中分母有理化方法进行化简即可；
（2）根据倒数的定义和分母有理化的方法计算即可；
（3）根据题目中分母有理化方法化简每一项，再进行加减运算即可得到答案．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）的倒数为，
∴的倒数为；
（3）
＝
＝
＝
＝10﹣1
＝9．
【点评】此题主要考查了二次根式分母有理化和二次根式的混合运算，熟练掌握运算方法和法则是解题的关键．
21．如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题．
＝（）2+1＝2，S1＝；
＝（）2+1＝3，S2＝；
＝（）2+1＝4，S3＝；…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示Sn＝ ；
（2）推算出OA10＝ ；
（3）求出+++…+的值．
【分析】（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得．
（2）由同述OA2＝，OA3＝…可知OA10＝．
（3）求+++…+的值就是把面积的平方相加即可．
【解答】解：（1）+1＝n+1
Sn＝（n是正整数）；
故答案为：；
（2）∵＝1，
＝（）2+1＝2，
＝（）2+1＝3，
＝（）2+1＝4，
∴OA1＝，
OA2＝，
OA3＝，…
∴OA10＝；
故答案为：；
（3）+++…+＝（）2+（）2+（）2+…+（）2
＝（1+2+3+…+10）
＝．
即：+++⋯+＝．
【点评】此题考查了勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．
22．在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC上一点时，请依题意补全图形，并判断以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是 直角 三角形；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由．
【分析】（1）结论：以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形．延长FD到P，连接AP，PE，EF．证明AP＝BF，EF＝PE，∠PAE＝90°，可得结论；
（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．
【解答】解：（1）结论：以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形．
理由：延长FD到P，连接AP，PE，EF．
在△ADP和△BDF中，
，
∴△ADP≌△BDF（SAS），
∴∠APD＝∠DFB，AP＝BF，
∴AP∥BC，
∴∠PAE+∠ACB＝180°，
∴∠PAE＝90°，
∵ED⊥PF，DP＝DF，
∴EF＝PE，
∵PE2＝AP2+AE2，
∴AE2+BF2＝EF2，
∴以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形；
（2）结论：AE2+BF2＝EF2．
理由：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；
（3）若以P，C，B为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出t的值．
【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；
（2）作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP＝GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）分CP＝CB、BP＝BC、CP＝CB、PC＝PB四种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BP，
在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝＝8（cm），
则PC＝8﹣PA，
由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，
当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得，PA＝，
则t＝÷1＝；
（2）如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，
∴CP＝GP，
∴Rt△ACP≌Rt△AGP（HL），
∴AG＝AC＝8（cm），
∴BG＝10﹣8＝2（cm），
设CP＝x cm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝x cm，
∴Rt△BGP中，BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得，x＝，
∴AC+CP＝（cm），
∴t＝÷1＝，
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上
此时，t＝（10+8+6）÷1＝24，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或24；
（3）如图3，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
则t＝8﹣6，
解得，t＝2；
如图4，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷1＝20；
如图5，点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，
×AB×CD＝×BC×AC，即×10×CD＝×6×8，
解得，CD＝4.8，
在Rt△BCD中，BD＝＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷1＝21.2；
如图6，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷1＝19；
综上所述，t为2或19或20或21.2时，△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/26 8:35:12；用户：熊雯娟；邮箱：649713783@qq.cm；学号：1118664