北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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一、选择题
填空题
3 12. 13. 14. 2 15. ①②④
三、解答题
16．
（1）证明：连接，
∵底面是平行四边形，且是的中点，
∴是的中点，
∵E为PC的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
证明：
∵平面,平面,
∴AB⊥PA,
∵PA⊥AD,AB∩AD=A，AB,AD面ABCD,
∴PA⊥面ABCD,
∵EF//PA,
∴EF⊥面ABCD.
（1）证明：
∵三棱柱是直三棱柱，
∴平面，
∵平面，
∴，
又∵，为中点，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴．
（2）
方法1：
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,
∴,
∵,
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴平面．
∵
∴AB⊥BC,
∵，，
∴平面，
连结，即为直线与平面所成角．
∵，
∴，，
.
∴与平面所成角的正弦值为．
方法2：
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1,
∴,
∵,
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴平面．
∵
∴BC⊥AB,
如图所示，以B为原点，以BA,BC,BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B-xyz,
∵A1（2,0,2）C（0,2,0）B（0，0，0），
∴（2，-2,2）（0,2,0），
∵BC⊥面ABB1A1，
∴为平面ABB1A1的一个法向量，
设与平面所成角为θ，
∴，
∴与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设A1到平面BEF的距离为d，
∵E（1,1,0），F（0,2,1），A1（2,0,2）,
∴,
设为平面BEF的一个法向量，
∴即,
令x=1,则,
,
因此点A1到平面BEF的距离为.
（1）证明：
∵底面是正方形，
∴，
∵平面，平面,
∴平面，
又∵平面与交于点，平面，平面平面
∴.
（2）选条件①②
解：∵侧面为等腰直角三角形，且
∴，,
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面，
∵为正方形，
∴.
以点为坐标原点，以所在直线分别为轴,轴,轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
∵，
∴,
∴BE=,
∴点为的中点，
∴,
∴，
设平面的一个法向量为：，
则，
令，可得，
设平面的法向量为：，则
，，
令，可得，
所以，
则两平面所成的锐二面角为.
选条件①③
∵侧面为等腰直角三角形，且
∴
∵，
∴平面，
∵平面，
∴.
又∵，
∴平面
∵平面
∴
∵，
∴为等腰三角形，
∴点为的中点
又∵，
∴为等腰直角三角形，
下面同①②
选条件②③
∵侧面为等腰直角三角形，且，
∴
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面为正方形，
∴.
又∵，
∴平面，
∵平面
∴
∵，
∴为等腰三角形
∴点为的中点.
下面同①②.
（1）证明：
∵在梯形中，，，，为的中点，∴，，BC=DP,
∴是正三角形，四边形为菱形，
∴，，
∵，
又∵平面ABC,
∴平面ABC,
∵平面,
∴平面⊥平面ABC.
解：
存在.
∵平面，OP⊥AC,
∴，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系O-xyz.
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
，
设，
∵，，
∴，
设与平面所成角为，则，
即，，解得，
∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
B
D
A
D
B
D