浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
2. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）

A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出图中阴影部分表示的集合，再利用集合的子集个数公式即可得解.
【详解】由题意得，故图中阴影部分表示的集合为，
所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为个.
故选：D.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案.
【详解】解：由，可得或；
由可得且，
所以由不能推出，但由能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知，那么的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的性质比较大小即可.
【详解】由可得，所以.
故选：A
5. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B.
6. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解.
【详解】因为，即，
又因为，当且仅当时，等号成立，
若，，即，
所以实数a可取的最小整数值是.
故选：A.
7. 已知关于不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 点在第二象限
C. 的最大值为
D. 关于不等式的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D.
【详解】原不等式等价于，
因为解集为,所以和分别是和的实数根，
故且，，故A错误；
因为，，所以点在第三象限，故B错误；
，由于开口向下，故最大值为，故C错误，
由得即解集为，故D正确．
故选：D．
8. 若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（ ）
A. “权集”中一定有1B. 为“权集”
C. 为“权集”D. 为“权集”
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的新定义，验证选项B,C,D，集合“权集”中不一定有1，判定A错误.
【详解】因为，，都属于数集,是“权集”，
所以“权集”中不一定有1，所以A错误；
因为都属于数集，为“权集”，所以B正确；
因为与均不属于数集，不为“权集”，所以C错误；
因为与均不属于数集，不为“权集”，所以D错误；
故选：B
二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．
9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.
【详解】对A，，满足的描述，所以，符合；
对B，，不满足的描述，则，不符合；
对C，，满足的描述，，符合；
对D，，不满足的描述，则，不符合.
故选：AC
10. 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.
B. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.
C. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率等于.
D. 金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为，则.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为，
正方形的面积为，
因为，可得，即，故A正确；
对于选项B：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购，
第二次购物时的价格为元/kg，购，两次购物的平均价格为；
若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，
第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为.
比较两次购的平均价格：，
当且仅当时，等号成立，
所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故B错误；
对于选项C：设这两年的平均增长率为，
则，可得，
因为，即，
当且仅当，即时，等号成立，
即这两年的平均增长率不大于，故C错误；
对于选项D：设天平左臂长为，右臂长为，且，
左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克，
，解得，
，当且仅当时，取到等号，
由于，所以，故D正确；
故选：AD.
11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有________人．
【答案】
【解析】
【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可解出的值.
【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示：
由韦恩图可的，解得.
因此，同时参加田赛和径赛的有人.
故答案为：.
13. 甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时．
【答案】50
【解析】
【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为，
∴当且仅当，即时，运输成本最小．
故答案为：50
14. 若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由条件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.
【详解】由题意，
由，则时取等，
则.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
【解析】
【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果；
【详解】
设，上底，
分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，
则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，
所用篱笆长为
，
当且仅当，即，时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
16. 已知集合,集合．
（1）若，求；
（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围
【答案】（1）或．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的并集和补集的定义即可求解，
（2）根据是集合的真子集，讨论和两种情况即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
若故，
或．
【小问2详解】
命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为
17. 如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段.
试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可
【详解】因为是梯形的中位线，
所以；
因为梯形与梯形相似，
所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
设梯形， 的面积分别为 ，高分别为，
则，，
所以，
所以，
所以；
由图可知，，
即
；
证明：
显然，
，
因为，
所以，
所以，
所以
18. 已知二次函数
（1）若的解集为，解关于的不等式；
（2）若且，求的最小值；
（3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）不等式的解集为.
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【解析】
【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集；
（2）由已知可得，结合基本不等式求结论；
（3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值.
【小问1详解】
由已知的解集为，且，
所以是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式解集为.
【小问2详解】
因为，
所以
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当， 时等号成立；
所以的最小值为；
【小问3详解】
因为对任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知集合非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）
（1）若集合，直接写出集合S、T；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析 （3）1348
【解析】
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;
（2）根据集合相等的概念，证明即可；
（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.
【小问1详解】
因为集合，，，
所以由，可得，
，可得．
【小问2详解】
由于集合，，
则T集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，
故即，故，
故中的4个元素为0，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即.
【小问3详解】
设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，∴．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.