天津市第四十七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份天津市第四十七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共三部分；满分150分）
一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）
1.集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）
A.商品的价格和需求量存在正相关关系B.与不具有线性相关关系
C.D.价格定为1.9万元，预测需求量大约为
4.函数的部分图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
5.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知，，为球的球面上的三点，圆为的外接圆，若，则球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.已知双曲线：（，），抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.2
8.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数图象关于点对称
C.函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
D.若，则函数的最大值为
9.如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ）
A.B.
C.存在最大值为9D.的最大值为
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分.
10.已知复数满足（其中为虚数单位），则____________.
11.的展开式中的系数是______.（用数字作答）
12.两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为______；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6.若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为______.
13.已知直线与圆：相交于、两点，且，则实数______.
14.若，且，则的最小值为______.
15.设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是______.
三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）
在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求边；
（3）求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）求点到平面的距离.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆：（）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且，直线：（，）与椭圆交于，两点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.
19.（本小题满分15分）
设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为（），，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围.
20.（本小题满分16分）
已知函数，.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若有三个零点，，，且，求证：.
2024—2025天津市第四十七中学高三年级第一学期
第一次阶段性检测 数学试卷答案
一、单选题
二、填空题
10. 11. 12./0.4，0.42/ 13.7 14.5 15..
三、解答题
16.（本小题满分14分）
（1）解：因为，
所以
所以，
因为，所以，所以
又，所以；
（2）在中，由余弦定理及，，，
有，故.
（3）由正弦定理，可得.
因为，故.
因此，.
所以，
17.（本小题满分15分）
（1）以为原点，为轴，为轴，
过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，
，所以.
（2）因为平面的法向量，
又，，
设平面的法向量，
则，取，
设平面与平面夹角的大小为，
，所以，
所以平面与平面夹角的大小为；（设答写一即可）
（3），，
由（2）知平面的法向量，
所以点到平面的距离.
18.（本小题满分15分）
（1）联立解得，故分
又，，联立三式，解得，，，
故椭圆的标准方程为.
（2）设，，联立方程消元得，
∴，，
又是一个与无关的常数，∴，即，
∴，.分
∵，∴.当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.
19.（本小题满分15分）
（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为（），
由已知条件得，即，
解得. （舍去）或，
所以，
（2）数列与数列都是递增数列，，，，，
，，
新数列的前50项和为：.
（3）由题意可知：，
其中，
所以，，
集合，设，
则，
所以当时，，当时，.
计算可得，，，，，
因为集合有4个元素，.
20.（本小题满分16分）
（1）由函数，可得
且，则
曲线在处的切线方程为
（2）当时，等价于
设，则，
（ⅰ）当，时，，
故，在上单调递增，因此；
（ⅱ）当时，令得，.
由和得，
故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是.
（3）由等价于，
令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点，
又由，令（），
当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意：
当时，由题意，首先在上有两个零点，
故，解得，
设两个零点为和，有，，故可知，均大于0，
由此可得在单调递增，单调递减，单调递增，
而，即，，，
又因为，，
故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，
又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点，
实数的取值范围是.
，由，
由此可得，要想证明，
只需证明，而，
因此只需要证明当时，，
令，，
可得，故在上单调递增，
因此当时，，即当时，，
因此，
由，有，即，
两边同时除以，由，有，
即.价格
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需量
12
10
7
3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
D
D
A
B
A
B
C
D