上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共6页。试卷主要包含了10，设a∈R，设ω>0，，已知m为非零常数，求动态平衡时，两企业各自的产量等内容，欢迎下载使用。

一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1.设a∈R.若(a-2i)(1+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________
2.函数的定义域为__________
3.某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为__________
4.设m∈R，若圆.x2+y2-4y+m=0的面积为π，则m=__________
5.在无穷等比数列中，首项(a1=1，公比.记，则.
6.设ω>0，.若函数，的最大值为1，但最小值不为-1，则ω的取值范围是__________
7.已知m为非零常数.若在的二项展开式中，x3的系数是的系数的8倍，则m=__________
8.设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为__________
9.设， ，则不等式的解集为__________
10.已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则的最小值为__________
11.若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有__________个
12.设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l经过点F2，且与Γ交于P、Q两点.若PF1⊥PF2，且|F2Q|=1，则Γ的长轴长的最小值为__________
二.选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)
13.已知x∈R，则“ (k∈Z)，是“csx=0”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
14.若、，且αsinα>βsinβ，则()
A.α>βB.α<βC.α2>β2D.α2<β2
15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=PB=2，PC=2\sqrt{3}，则该四棱锥的高是()
A.B.C.D.
16.已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是()
A.1B.2C.3D.4
三.解答题(本大题共有5题，满分78分)
17.如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合.设P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是圆弧AB的中点.
(1)若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，求该几何体的体积
(2)若圆锥的高为1，求直线PB1与平面PAC所成角的大小.
18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.设向量， ，已知.
(1)求角A的大小;
(2)设D为BC边上一点，且.AD⊥AB.若AC=4， ，求sinB.
19.企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成，生产成本固定为每台130元.根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，其中.
(1)若甲企业独家经营，其研发成本为60万元，求甲企业能获得利润的最大值；
(2)若乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元.试问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；(假设甲企业按照原先最大利润的产量生产，并未因乙的加入而改变)
(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益，因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整…，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大).求动态平衡时，两企业各自的产量.
20.已知双曲线的离心率e=2，左顶点.A(-1，0).过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：直线AP、AQ的斜率之积为定值；
(3)设.试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立?若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
21.给定函数，若点P是曲线的两条互相垂直的切线的交点，则称点P为函数的“正交点”.记函数的所有“正交点”组成的集合为M.
(1)若，求证：;
(2)若，求证：函数的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线的方程；
(3)设a∈R， ，记函数的图像上所有点组成的集合为N.若，求a的取值范围.
参考答案
一.填空题
1.-2 2.(-∞，0] 3.28 4.3
5. 6. 7. 8.
9.[-1，+∞) 10. 11.112 12.
二.选择题
13.A 14.C 15.C 16.B
三.解答题
17.(1).(2).
18.(1)即.
在△ABC中，由正弦定理得2sinBcsA+sinCcsA=-sinAcsC，
即2sinBcsA=-(sinAcsC+sinCcsA)=-sin(A+C)=-sinB.
由于B为三角形内角，故sinB>0，上式即.
由于A为三角形内角，解得.
(2)在△ADC中，由余弦定理得，故.
再由余弦定理，得.
因此.
19.(1)设甲企业的产量为x万台，利润为万元，
则.
故当且仅当x=45时，取最大值1965.
因此当甲企业的产量为45万台时，其获得的利润取最大值1965万元.
(2)设乙企业的产量为x万台，利润为万元，
则
故当且仅当时，取最大值.
因此当乙企业的产量为万台时，其获得的利润取最大值万元.
(3)设甲、乙两企业的产量分别为a万台和b万台，利润分别为P1万元和P2万元，则，
当P1最大时，有. ，
当P2最大时，有，由于达到动态平衡，故，∴.
因此动态平衡时，甲、乙两企业的产量均为30万台.
20.(1)设双曲线的半焦距为c.由题意知a=1，c=ea=2.
故b2=c2-a2=3，因此.
(2)由题意知.设直线，
与双曲线方程联立得.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则，
故直线AP、AQ的斜率之积为
=.
(3)由题意知，得.
设，则.
即.
由于，上式即，解得.
利用(*)式，得，
因此存在定点满足题目要求.
21.(1)由题意知函数的定义域.，且.
对任意的.x1、x2∈D，都有，因此.
(2)设“正交点”是曲线在x=x1与x=x2处切线的交点.
由于，故曲线在x=x1与x=x2处的切线方程
分别为与.
将两直线方程联立，解得.
由于曲线在x=x1与x=x2处的切线互相垂直，有2x1⋅2x2=-1，即.
因此为定值，即点P在定直线上.
(3)即过曲线上任意一点
均无法作曲线的两条互相垂直的切线.
设曲线在x=t处的切线经过点P，则有.
将代入上式，并移项整理、因式分解得，
解得t=x0或.当两条切线垂直时，有，
整理得，题目条件即上述关于x0的方程无解.
令，则，
且关于m的方程m2-a2m+4=0在区间上无解.
令，则的对称轴为，
因此在区间上无零点即Δ=a⁴-16<0，
解得.