浙江省丽水市“五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题

这是一份浙江省丽水市“五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，关于椭圆有如下结论，已知空间中三点，则正确的有等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线和直线，则“”是“//”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则在方向上的投影向量的模长为（ ）
A．B．C．D．
4．圆与圆的公切线有且仅有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
5．正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为（ ）
A．2B．1C．D．
8．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为．”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知空间中三点，则正确的有（ ）
A．与是共线向量B．点关于轴的对称点的坐标是
C．与夹角的余弦值是D．与同向的单位向量是
10．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线分别过定点和
C．直线的交点在定圆上
D．线段的最小值为
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于M，N两点，下列结论正确的是（ ）
A．实数越小，椭圆越圆
B．若，且，则
C．若，则
D．当时，过的直线交于A，B两点（点A在轴的上方）且，则的斜率
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是______（填“平行”，“异面”，“相交”）．
13．椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的_____倍．
14．已知圆，过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为A，B两点，则最小值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程．
16．（满分15分）已知圆过点三个点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值．
17．（满分15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（满分17分）已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标．
19．（满分17分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）．
2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体10月联考
高二数学答案
一、单项选择题
BADB CBAD
二、多项选择题
9．BCD 10．ACD 11．ABC
三、填空题
12．异面 13． 14．
四、解答题
15．解：（1）由题意得得，椭圆方程为
（2）设直线L：，
联立整理得，，
解得，符合
直线方程为，即．
16．解：（1）设圆的方程为
带入各点得：
所求圆的一般方程为：标准方程为：
（2）把代入直线方程得：，所以直线过定点．
又，所以定点在圆内，当时，
17．解：（1）解法一：因为平面，且平面，
所以，又，即，
以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由为的中点，
得，，
所以，
所以，所以
解法一：连接，得，所以，又
所以面，所以面，所以，
为直角三角形，为斜边上中点，则有
（2）由四棱雉的体积为1解得，可得，
所以，，，，
设平面的法向量为，
所以
设平面的一个法向量为，
所以，所求角的余弦值为．
18．解：（1）由椭圆定义可知轨迹为椭圆，设曲线的方程，则， ，，，，曲线的方程；
（2）方法一：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
联立，整理得，
，
设，则，，
直线交直线于，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，
，
所以线段中点的坐标为
方法二：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
联立，整理得，
，
设，则，，
直线交直线于，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，同理可得，
，
所以线段中点的坐标为
19．解：（1）证明：取的中点，连接，
，四边形是平行四边形，
，且，
∴，
又．侧棱底面，
平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，．．
设与平面所成角为，则，
解得，故所求．
（3）由题意可与左右平面，上或下面拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案。
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出．