2025届南通市重点中学数学九上开学经典试题【含答案】

这是一份2025届南通市重点中学数学九上开学经典试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点
为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2、（4分）若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．9：25B．3：25C．3：5D．2：5
3、（4分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．某校初二年级共有480人，则至少有两人的生日是同一天
B．经过路口，恰好遇到红灯
C．打开电视，正在播放动画片
D．抛一枚硬币，正面朝上
4、（4分）已知：，计算：的结果是（）
A．B．C．D．
5、（4分）要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）已知：如图①，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE=6cm，点P从B出发，沿折线BE-ED-DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的函数关系图象如图②，则下列结论正确的有（ ）
①a=7 ②AB=8cm ③b=10 ④当t=10s时，y=12cm2
A．1个B．2个C．3个D．4个
7、（4分）如图，在中，，，，是边上的动点，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．7
8、（4分）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始内只进水不出水，容器内存水，在随后的内既进水又出水，容器内存水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每分钟进水和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知y是x的一次函数，右表列出了部分对应值，则______．
10、（4分）若将直线y=﹣2x向上平移3个单位后得到直线AB，那么直线AB的解析式是_____．
11、（4分）若点位于第二象限，则x的取值范围是______．
12、（4分）已知点在直线上，则=__________．
13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则△CEF的面积是__．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，点是边长为的正方形对角线上一个动点(与不重合),以为圆心，长为半径画圆弧，交线段于点,联结,与交于点.设的长为，的面积为.
(1)判断的形状，并说明理由;
(2)求与之间的函数关系式，并写出定义域;
(3)当四边形是梯形时，求出的值.
15、（8分）某学生在化简求值：其中时出现错误．解答过程如下：
原式=（第一步）
=（第二步）
=（第三步）
当时，原式=（第四步）
①该学生解答过程从第__________步开始出错，其错误原因是____________________．
②写出此题的正确解答过程．
16、（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点。已知点A在格点，请在给定的网格中按要求画出图形.
（1）以为顶点在图甲中画一个面积为21的平行四边形且它的四个顶点都在格点。
（2）以为顶点在图乙中画一个周长为20的菱形且它的四个顶点都在格点。
17、（10分）已知关于x的一次函数y=（3-m）x+m-5的图象经过第二、三、四象限，求实数m的取值范围．
18、（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O为对称中心，画出△ABC与关于原点对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
③以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，并写出C3的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一天，小明放学骑车从学校出发路过新华书店买了一本课外书再骑车回家，他所行驶的路程s与时间t的关系如图，则经18分钟后，小明离家还有____千米.
20、（4分）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义运算如下：如，如，那么________.
21、（4分）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为__________．
22、（4分）如图，在等边中，cm，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动，如果点、同时出发，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为____．
23、（4分）如图，平行四边形ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(a，0)，(b，c)，则顶点坐标B的坐标为_________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书.甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，如果用900元购买图书，则单独购买甲图书比单独购买乙图书要少18本.
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过1725元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
25、（10分） (1)计算：﹣+×
(2)解方程：3x(x+4)＝2(x+4)
26、（12分）如图，，是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C
2、C
【解析】
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．
【详解】
解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：21，
∴它们的相似比为3：1，
∴△ABC与△DEF的周长比为3：1．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．
3、A
【解析】A. 某校初二年级共有480人，则至少有两人的生日是同一天；属于必然事件；
B. 经过路口，恰好遇到红灯；属于随机事件；
C. 打开电视，正在播放动画片；属于随机事件；
D. 抛一枚硬币，正面朝上；属于随机事件。
故选A.
4、C
【解析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
∵，，
∴
，
故选：C．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】
∵二次根式有意义
∴
解得
故答案为：D．
本题考查了二次根式的问题，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
6、B
【解析】
先通过t=5，y=20计算出AB长度和BC长度，则DE长度可求，根据BE+DE长计算a的值，b的值是整个运动路程除以速度即可，当t=1时找到P点位置计算△BPC面积即可判断y值．
【详解】
解：当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t=5时，△BPC面积最大为20，
∴BE=5×2=1．
在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB=8，
又，所以BC=1．
则ED=1-6=2．当P点从E点到D点时，所用时间为2÷2=2s，∴a=5+2=3．
故①和②都正确；
P点运动完整个过程需要时间t=（1+2+8）÷2=11s，即b=11，③错误；
当t=1时，P点运动的路程为1×2=20cm，此时PC=22-20=2，
△BPC面积为×1×2=1cm2，④错误．
故选：B．
本题主要考查动点问题的函数问题，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度.
7、B
【解析】
先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．
【详解】
如图，连接PC．
∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°．
又∵PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
∴∠CEP=∠CFP=90°，
∴四边形PECF是矩形．
∴PC=EF．
∴当PC最小时，EF也最小，
即当PC⊥AB时，PC最小，
∵BC•AC=AB•PC，即PC=，
∴线段EF长的最小值为.
故选B．
本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．
8、A
【解析】
根据只进水不出水、既进水又出水、只出水不进水这三个时间段逐一进行分析即可确定答案.
【详解】
∵从某时刻开始内只进水不出水，容器内存水；
∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，
∵随后的内既进水又出水，容器内存水，
∴此时水量继续增加，只是增速放缓，
∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，
∴水量逐渐减少为0，
综上，A选项符合，
故选A．
本题考查了函数的图象，弄清题意，正确进行分析是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
先设一次函数关系式:,根据表格中的数据代入函数关系式可得:,解得:,继而可求一次函数关系式,最后将x=0代入求解.
【详解】
设一次函数关系式:,
根据表格中的数据代入函数关系式可得:,
解得:,
所以一次函数关系式是:
将x=0,y=m代入可得:
,
故答案为:1.
本题主要考查待定系数法求一次函数关系式,解决本题的关键是要熟练掌握待定系数法.
10、y=﹣2x+1．
【解析】
利用直线的平移规律：（1）k不变；（2） “上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
∵将直线y=﹣2x向上平移1个单位，
∴y=﹣2x+1，
即直线的AB的解析式是y=﹣2x+1.
故答案为：y=﹣2x+1．
本题考查了一次函数图象平移的特点.熟练应用一次函数平移规律是解题的关键.
11、
【解析】
点在第二象限时，横坐标<0，纵坐标>0，可得关于x的不等式，解不等式即可得答案．
【详解】
点位于第二象限，
，
解得：，
故答案为．
本题考查了象限内点的坐标特征，解一元一次不等式，解决本题的关键是记住各个象限内点的坐标的符号，进而转化为解不等式的问题．
12、
【解析】
把代入解析式，解方程即可.
【详解】
将点代入直线的解析式，得4=3a+2,
∴.a=
故本题应填写：.
本题考查了点在函数图像上，掌握函数解析式的基本性质是解题的关键.
13、1．
【解析】
根据直线解析式分别求出点E、F的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
∵当y＝0时，解得x＝1，
∴点E的坐标是（1，0），即OE＝1，
∵OC＝4，
∴EC＝OC﹣OE＝4﹣1＝1，
∴点F的横坐标是4，
∴ 即CF＝2，
∴△CEF的面积
故答案为：1．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据直线的解析式求出点E、F的坐标是解题的关键，同时也考查了矩形的性质，难度不大．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）为等腰直角三角形，理由见解析；（2）y=；（3）
【解析】
（1）先证明，再证明四边形是矩形，再证明，可得，即可得为等腰直角三角形.
（2）由，，即可求得与之间的函数关系式.
（3）因为四边形是梯形时，得.求PF的长，需利用已知条件求AC,AP,CE的长，则即可得出答案.
【详解】
解：(1) 为等腰直角三角形，理由如下:
在正方形中，,
又，
由题意可得，，
过点作,与分别交于点,
在正方形中，
四边形是矩形，
在中，
又
为等腰直角三角形
（2）在中，，
在中，
为等腰直角三角形，
（3）在等腰直角三角形中，
，
当四边形是梯形时，只有可能,
此题考查全等三角形的判定与性质，函数表达式的求解，梯形的性质，解题关键在于综合运用考点，利用图形与函数的结合求解即可.
15、①一，通分错误；②答案见解析
【解析】
①利用分式加减运算法则判断得出答案；
②直接利用分式加减运算法则计算得出答案．
【详解】
①该学生解答过程从第 一步开始出错，其错误原因是 通分错误．
故答案为：一，通分错误；
②原式
．
当x=3时，原式．
本题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
16、见解析
【解析】
（1）因为平行四边形为21，所以平行四边形的高可以是7，底边长为3，利用平行四边形的性质得出符合题意的答案；
（2）因为平行四边形为20，所以平行四边形的高可以是4，底边长为5，直接利用菱形的性质得出符合题意的答案．
【详解】
解：（1）如图甲所示：平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图乙所示：菱形ABCD即为所求．
此题考查菱形、平行四边形的性质，正确掌握菱形、平行四边形的性质是解题关键．
17、3＜m＜1．
【解析】
根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．
【详解】
∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴3＜m＜1．
本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．
18、（1）作图见解析，（4，4）；（2）作图见解析，（-4，1）；（3）作图见解析；（-1，-4）．
【解析】
试题分析：（1）将A、B、C按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形；
（2）利用关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别找出A、B、C的对应点，顺次连接，即得到相应的图形；
（3）利用对应点到旋转中心的距离相等，以及对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可作出判断．
试题解析：（1）如图所示：C1的坐标为：（4，4）；
（2）如图所示：C2的坐标为：（-4，1）；
（3）如图所示：C3的坐标为：（-1，-4）．
考点: 1.作图-旋转变换；2.作图-平移变换．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、0.1
【解析】
根据待定系数法确定函数关系式，进而解答即可．
【详解】
解：设当15≤t≤20时，s关于t的函数关系式为s＝kt+b，
把（15，2）（20，3.5）代入s＝kt+b，可得：，
解得：，
所以当15≤t≤20时，s关于t的函数关系式为s＝0.3t﹣2.5，
把t＝18代入s＝0.3t﹣2.5中，可得：s＝2.9，
3.5﹣2.9＝0.1，
答：当t＝18时，小明离家路程还有0.1千米．
故答案为0.1．
本题考查了一次函数的图象的性质的运用，行程问题的数量关系速度＝路程÷时间的运用，解答时理解清楚函数图象的数据的含义是关键.
20、
【解析】
根据题目所给定义求解即可.
【详解】
解：因为，所以.
本题考查了二次根式的运算，属于新定义题型，正确理解题中所给定义并进行应用是解题的关键.
21、x≤1.
【解析】
将点P（m，3）代入y=x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；
【详解】
解：点P（m，3）代入y=x+2，
∴m=1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1，
故答案为：x≤1．
本题考查一次函数的交点坐标与一元一次不等式的关系；运用数形结合思想把一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
22、1或3
【解析】
用t表示出AE和CF，当AE=CF时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,
据此求解即可.
【详解】
解:设运动时间为t，则AE=t cm，BF=2t cm，
∵是等边三角形，cm，
∴BC=3 cm，
∴CF= ，
∵AG∥BC，
∴AE∥CF，
∴当AE=CF时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴=t,
∴2t-3=t或3-2t=t,
∴t=3或t=1,
故答案是：1或3.
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形有很多判定定理，结合题目条件找到所缺的合适的判定条件是解题的关键.
23、 (a+b，c)
【解析】
平行四边形的对边相等，B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，从而确定B点的坐标．
【详解】
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AO=BC，AO∥BC，
∴B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，
∵O，A，C的坐标分别是(0，0)，(a，0)，(b，c)，
∴B点的坐标为(a+b，c)．
故答案是：(a+b，c)．
本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，以及考查坐标与图形的性质等知识点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）甲图书每本价格为75元，乙图书每本价格为30元；（2）图书馆最多可以购买30本乙图书.
【解析】
(1)根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得乙种图书每本的价格；
(2)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得该图书馆最多可以购买多少本甲种图书。
【详解】
解：（1）设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格为元.
由题意得，，
解得. 经检验，是原方程的根且符合题意.
所以甲图书每本价格为75元，乙图书每本价格为30元.
（2）设设购买乙图书本，则购买甲图书本.
由题意得，.
解得.
因为最大可以取30.
所以图书馆最多可以购买30本乙图书.
本题考查分式方程的应用、-元-次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程和不等式,注意分式方程要检验
25、 (1)；(2)x1＝，x2＝﹣1．
【解析】
(1)先化简二次根式，二次根式乘法运算，然后计算加减法；
(2)先移项，再用因式分解即可.
【详解】
解：(1)原式＝﹣+2＝；
(2)由原方程，得
(3x﹣2)(x+1)＝0，
所以3x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝，x2＝﹣1．
本题考查的是二次根式的混合运算和方程求解，熟练掌握因式分解和化简是解题的关键.
26、见解析
【解析】
由平行线的性质得出∠AEB=∠CFD，求出BE=DF，由SAS即可得出△ABE≌△CDF，可得∠ABD=∠CDB，AB=CD，从而可判定四边形ABCD是平行四边形.
【详解】
解：证明：∵AE∥CF，
∴∠AEB=∠CFD，
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABD=∠CDB，AB=CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x
1
0
2
y
3
m
5