2025届内蒙古自治区通辽市奈曼旗数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份2025届内蒙古自治区通辽市奈曼旗数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°．若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2、（4分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是（ ）
A．2：7：2：7B．2：2：7：7C．2：7：7：2D．2：3：4：5
3、（4分）如图：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（ ）
A．5B．10C．6D．8
4、（4分）下列不能反映一组数据集中趋势的是（ ）
A．众数B．中位数C．方差D．平均数
5、（4分）如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线就可以判断，其数学依据是（ ）
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
6、（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ）
A．AO=OCB．AC=BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC
7、（4分）已知，如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2= 的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
8、（4分）函数y=的自变量的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＜2C．x＞2D．x≤2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）某公司10月份生产了万件产品，要使12月份的产品产量达到万件，设平均每月增长的百分率是，则可列方程____.
10、（4分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为_____．
11、（4分）方程x2＝x的解是_____．
12、（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN⊥AE于N，若AC=6，BC=8，则MN=_____．
13、（4分）函数中，自变量的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，，点M、N分别在BC所在的直线上，且BM=CN，求证：△AMN是等腰三角形．
15、（8分）一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天恰好完成任务，请问：
（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x天，乙队做另一部分工程用了y天，若x; y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？
16、（8分）（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系．
（问题初探）线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且．
（1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______．
（2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____．
（3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由；
（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____．
（运用拓广）运用所形成的结论求解下面的问题：
（4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度．
17、（10分）解不等式组：
请结合题意填空，完成本题解答：
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为______．
18、（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，E、F分别是AC、CD的中点，AC=8，AD=6，∠BEF=90°，求BF的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=a，CE=b，H是AF的中点，那么CH的长是______．（用含a、b的代数式表示）
20、（4分）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数是________.
21、（4分）不等式的解集是____________________.
22、（4分）使得分式值为零的x的值是_________；
23、（4分）已知y=++9，则（xy-64）2的平方根为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF．请说明四边形BFDE是平行四边形．
25、（10分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过的中点的直线交轴于点．
（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若坐标平面内的点，能使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标．
26、（12分）如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC＝∠EGC； ③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④； ⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是______
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据旋转的性质可得AE=AF，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠BAE，然后求出∠EAF=30°，再根据旋转的定义可得旋转角的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°，
∴旋转角为30°．
故选：A．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，求出Rt△ABE和Rt△ADF全等是解题的关键，也是本题的难点．
2、A
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是2：1：2：1．
故选：A．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用．
3、A
【解析】
试题分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．
解：设AC与BD相交于点O，
由菱形的性质知：AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4
在Rt△OAB中，AB===1
所以菱形的边长为1．
故选A．
考点：菱形的性质．
4、C
【解析】
试题分析：平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．故答案选C．
考点：统计量的选择.
5、C
【解析】
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【详解】
解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故选：C．
本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键．
6、B
【解析】
分析：根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
详解：添加的条件是AC=BD．理由是：
∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．
故选B．
点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
7、D
【解析】
根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．
【详解】
根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞1．
故选D．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
8、A
【解析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
由题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．
故选A．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、100（1+x）2=121
【解析】
设平均每月增长的百分率是x，那么11月份的产品产量为100（1+x）万件，2月份的产品产量为100（1+x）（1+x），然后根据2月份的产品产量达到121万件即可列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设平均每月增长的百分率是x，依题意得：
100（1+x）2=121
故答案为100（1+x）2=121
本题考查了利用一元二次方程解增长率问题.
10、45°．
【解析】
首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，可得出∠2＝∠3，∠1＝∠4，故∠1+∠2＝∠3+∠4，由此即可得出结论．
【详解】
解：过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠4＝∠1，∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
故答案为：45°．
此题考查了平行线的性质．解题时注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
11、x1＝0，x2＝1
【解析】
利用因式分解法解该一元二次方程即可.
【详解】
解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.
12、1．
【解析】
延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明△BMC≌△BMG，得到BG=BC=8，CM=MG，同理得到AH=AC=6，CN=NH，根据三角形中位线定理计算即可得出答案．
【详解】
如图所示，延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得AB=10，
在△BMC和△BMG中,
，
∴△BMC≌△BMG，
∴BG=BC=8，CM=MG，
∴AG=1，
同理，AH=AC=6，CN=NH，
∴GH=4，
∵CM=MG，CN=NH，
∴MN=GH=1.
故答案为：1.
本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线.利用全等证出三角形BCE与三角形ACH是等腰三角形是解题的关键.
13、x≠1
【解析】
，x≠1
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、详见解析
【解析】
根据已知条件易证△ABM≌△ACN，由全等三角形的性质可得AM=AN，即可证得△AMN是等腰三角形．
【详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
即△AMN是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，利用全等三角形的的判定证得△ABM≌△CAN是解决问题的关键.
15、（1） 乙队单独做需要1天完成任务
（2） 甲队实际做了3天，乙队实际做了4天
【解析】
（1）根据题意，由“甲工作20天完成的工作量+乙工作50天完成的工作量=1”列方程求解即可．
（2）根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”得x与y的关系式；根据x、y的取值范围得不等式，求整数解．
【详解】
解：（1）设乙队单独做需要x天完成任务，根据题意得
，
解得 x=1．
经检验x=1是原方程的解．
答：乙队单独做需要1天完成任务．
（2）根据题意得，整理得．
∵y＜70，∴＜70，解得 x＞2．
又∵x＜15且为整数，∴x=13或3．
当x=13时，y不是整数，所以x=13不符合题意，舍去；
当x=3时，y=1－35=4．
答：甲队实际做了3天，乙队实际做了4天．
16、（1）90°；（2）60°；（3）互补，理由见解析；相等或互补；（4）.
【解析】
（1）通过作辅助线如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，可以通过旋转性质得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，证明△AOB≌△COD，进而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°
（2）通过作辅助线如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°
（3）通过作辅助线如图3，直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 延长，交于点通过证明得，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得；
形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；
（4）通过作辅助线如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，可得，进一步得到△BDF是等边三角形，，再利用勾股定理求得.
【详解】
（1）解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，
∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案为：90°
（2）如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，
∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案为：60°
（3）直线与直线所夹的锐角与旋转角互补，
延长，交于点
∵线段绕点顺时针旋转得线段，
∴，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴直线与直线所夹的锐角与旋转角互补；
形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；
（4）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，
∴旋转角为，
∴，，，
∴△BDF是等边三角形，
∵，，
∴，
∴.
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17、（1）x≤2；（2）x＞-3；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（4）-3＜x≤2，
【解析】
（1）根据不等式的基本性质解不等式即可；
（2）根据不等式的基本性质解不等式即可；
（3）根据数轴表示解集的方法表示即可；
（4）根据不等式组公共解集的取法即可得出结论．
【详解】
（1）解不等式①，得x≤2
故答案为：x≤2；
（2）解不等式②，得x＞-3
故答案为：x＞-3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（4）原不等式组的解集为-3＜x≤2，
此题考查的是解不等式组，掌握不等式的基本性质和利用数轴表示解集是解决此题的关键．
18、2
【解析】
根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知BE=4，EF=1，再由勾股定理计算BF的长度即可．
【详解】
∵E、F分别是AC、CD的中点，
∴EF=AD，
∵AD=6，
∴EF=1．
∵∠ABC=90°，E是CA的中点，
∴BE=AC=4，
∵∠BEF=90°，
∴BF===2．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知△BEF两直角边的长是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【详解】
解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG=45°，∠FCG=45°，
∴∠ACF=90°，
∵BC=a，CE=b，
∴AC=a，CF=b，
由勾股定理得，AF==，
∵∠ACF=90°，H是AF的中点，
∴CH=，
故答案为：．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
20、
【解析】
正多边形的外角和是360°，而每个外角是18°，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【详解】
设多边形边数为n，
于是有18°×n=360°，
解得n=20.
即这个多边形的边数是20.
本题考查多边形内角和外角，熟练掌握多边形的性质及计算法则是解题关键.
21、
【解析】
分析：首先进行去分母，然后进行去括号、移项、合并同类项，从而求出不等式的解．
详解：两边同乘以1得：x－6＞4(1－x)， 去括号得：x－6＞4－4x，
移项合并同类项得：5x＞10， 解得：x＞1．
点睛：本题主要考查的是解不等式，属于基础题型．理解不等式的性质是解决这个问题的关键．
22、2
【解析】
根据分式的性质，要使分式有意义，则必须分母不能为0，要使分式为零，则只有分子为0,因此计算即可.
【详解】
解：要使分式有意义则 ，即
要使分式为零，则 ，即
综上可得
故答案为2
本题主要考查分式的性质，关键在于分式的分母不能为0.
23、±1
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得，再解可得x的值，进而可得y的值，然后可得（xy-64）2的平方根．
【详解】
解：由题意得：，
解得：x=7，
则y=9，
（xy-64）2=1，
1的平方根为±1，
故答案为：±1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、证明见解析.
【解析】
连接BD，利用对角线互相平分来证明即可．
【详解】
证明：连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)
又∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
25、（1），，；（2）点的坐标为或或．
【解析】
（1）先根据一次函数求出A,B坐标，然后得到中点D的坐标，利用待定系数法求出直线CD的解析式即可求解；
（2）根据题意分3种情况，利用坐标平移的性质即可求解．
【详解】
解：（1）一次函数，令，则；
令，则，∴，，
∵是的中点，
∴，
设直线的函数表达式为，则
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）①若四边形BCDF是平行四边形，则DF∥CB,DF=CB，
而点C向右平移6个单位长度得到点B，
∴点D向右平移6个单位长度得到点F（8，2）；
②若四边形BCFD是平行四边形，则DF∥CB,DF=CB，
而点B向左平移6个单位长度得到点C，
∴点D向左平移6个单位长度得到点F（-4，2）；
③若四边形BDCF是平行四边形，则BF∥DC,BF=DC，
而点D向左平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点C，
∴点B向左平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点F（0，-2）；
综上，点的坐标为或或．
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用及平行四边形的性质．
26、①②③⑤
【解析】
由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝；由勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AC＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，
∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，
∴△BEC≌△AFC（SAS）
∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△EFC是等边三角形，故①正确；
∵∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴∠ECG＝∠FCD，
∵∠FEC＝∠ADC＝60°，
∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；
若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝3，BO＝AO＝，
∴BD＝，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，
∴BE＝EM＝3，BM＝2EM，
∴BM＝，
同理可得DN＝，
∴MN＝BD−BM−DN＝，
∴BM＝MN＝DN，故③正确；
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE，
同理△ACE≌△DCF，
∴AE＝DF，
∵∠BAD≠90°，
∴EF2＝AE2＋AF2不成立，
∴EF2＝BE2＋DF2不成立，故④错误，
∵△ECF是等边三角形，
∴△ECF面积的EC2，
∴当EC⊥AB时，△ECF面积有最小值，
此时，EC＝，△ECF面积的最小值为，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分