辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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时间：120分钟 满分：150分
命题范围：选择性必修二，选择性必修三结束.
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.
【详解】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称,
因为，
故，
故选：B
2. 设等比数列的前n项和为，且，则公比q=
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】将已知转化为的形式，解方程求得的值.
【详解】依题意，解得，故选C.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
3. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全概率公式可求解得出.
【详解】设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则，，，，
则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为.
故选：B.
4. 函数的导数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.
【详解】因为，所以，
令，，则，
所以函数是奇函数，故A，C错误；
又，故B错误.
故选：D.
5. 若二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含项的系数为（ ）
A. 80B. C. 14D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案.
【详解】由二项式，则其展开式的通项，
展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为，，则，解得，
则通项为，
令，解得，则展开式中含项的系数为.
故选：A.
6. 有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件概率公式求解即可.
【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件，灯泡寿命超过800小时为事件，
则，所以.
故选：A
7. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题
只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：，
故选A.
8. 已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得在R上恒成立，解不等式即得解.
详解】由题意知，，
因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，
所以在R上恒成立，
故，
即．
故选：B
【点睛】结论点睛：一般地，函数在某个区间可导 ，在这个区间是增函数0.一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是减函数0.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：，则下列说法正确的是（ ）
A. 残差平方和越小模型，拟合的效果越好
B. 由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心
C. 用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D. 若变量x与y之间的相关系数，则变量x与y之间具有很强的线性相关性
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据残差的平方和的性质判断A，根据回归方程的性质判断B，根据相关指数的性质判断C，根据相关系数的定义判断D.
【详解】对于A，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A正确；
对于B，若回归方程为，则，即回归方程表示的直线必过样本点的中心，B正确；
对于C，相关指数越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C正确；
对于D，变量x与y之间的相关系数，故相关系数较为接近，所以变量x与y之间具有很强的线性相关性.D正确；
故选：ABD.
10. 设等差数列{an}的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A. 数列的最小项为第项B.
C. D. 时，的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.
【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知{an}单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.
11. 如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，则，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”，逐项验证可得答案．
【详解】令，则，
即函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．
对于A，，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故A正确；
对于B，，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故B正确；
对于C，，，，
所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故C错误；
对于D，，，，
当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，
则函数不是“F函数”．故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数，根据可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法用数字作答)
【答案】72
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；
②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有种情况，
则有种不同的站法；
故答案为72．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：
则随机变量Y的方差等于______；
【答案】##
【解析】
【分析】根据分布列中概率和为1可得，再由期望、方差公式计算出,最后利用计算可得答案.
【详解】因为，所以，
，，
所以.
故答案为：.
14. 若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知,分为、和进行讨论,利用函数的单调区间和即可得到答案.
【详解】由已知,
当时,函数无解,不符合题意;
当时,得,得或,
即函数的增区间为,减区间为,又,
所以函数有且仅有个零点,与题意不符;
当时,得或,得,
即函数的增区间为,减区间为,又,
要使函数有个不同的零点,则需,
即,解得.
故答案为:.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，并求数列的前项的和
【答案】（1）
（2）当时，当时
【解析】
【分析】（1）根据可知数列是以公差的等差数列，然后求出首项，即可得通项.
（2）由，分情况讨论即可得
【小问1详解】
选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故
选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，
选①③，无法确定数列.
【小问2详解】
，其中,
当，时，
当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.
16. 已知函数．
（1）求曲线的斜率等于1的切线方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）；（2）极小值，无极大值．
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，根据，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值.
【详解】（1）设切点为，因为，
所以，，，
所以切线方程为，即．
（2）的定义域为0,+∞．
令即，，
令，得，
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以存在极小值， 无极大值．
17. 随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：，，，，.
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；
（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间中含有的个数为，求的分布列及数学期望.
附：.
【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可计算并判断结果.
（2）随机变量的可能取值有0，1，2，服从超几何分布，利用超几何分布的公式可计算概率值，从而列出分布列并计算期望.
【小问1详解】
解：由题意可得列联表为：
则.
所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.
【小问2详解】
由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间中含有10个，
随机变量的可能取值有0，1，2，
，，，
随机变量分布列如下：
.
18. 已知数列满足，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合推理判断作答.
（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和作答.
【小问1详解】
当时，，解得，
当时，，，两式相减得，即，
即有，而，则，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，于是，
则，
于是，
两式相减得，
所以.
19. 设函数，且．
（1）求函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；
（2）方法一：讨论当时成立，当时参变分离可得，再构造函数，，求导分析最小值即可；
方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可.
【小问1详解】
，，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，时，，则在上单调递减；
时，，则在上单调递增．
小问2详解】
方法一：在恒成立，则
当时，，显然成立，符合题意；
当时，得恒成立，即
记，，，
构造函数，，则，故为增函数，则.
故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以
∴．
方法二：在上恒成立，即．
记，，，
当时，在单增，在单减，则，得，舍：
当时，在单减，在单增，在单减，，，
得；
当时，在单减，成立；
当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立．
综上所述，．
X
0
1
2
P
甲有机肥料
乙有机肥料
合计
质量优等
质量非优等
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
甲有机肥料
乙有机肥料
合计
质量优等
60
30
90
质量非优等
40
70
110
合计
100
100
200
0
1
2