辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题

这是一份辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题，共12页。试卷主要包含了已知集合，则中元素个数为，设集合，则集合的真子集的个数为，设，则下列命题正确的是，若集合，若，则实数的取值范围是，已知，则的最小值为，下列四个命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.
1.已知集合，则中元素个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
2.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A.3 B.4 C.15 D.16
3.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
4.设，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若则
D.若，则
5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.或
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，
9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列四个命题中正确的是（ ）
A.由所确定的实数集合为
B.同时满足的整数解的集合为
C.集合可以化简为
D.中含有三个元素
11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.的最大值为
C.的最小值为8 D.的最小值为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的解集是__________.
13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.
14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
已知集合为全体实数集，或.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16.（本小题15分）
已知全集，集合，集合.
（1）若，求实数的取值集合；
（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.
条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.
17.（本小题15分）
设，且，令.
（1）证明：介于之间；
（2）求中哪个更接近于；
（3）你能设计一个比更接近于的吗？并说明理由.
18.（本小题17分）
对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点：
（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.
19.（本小题17分）
已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：
（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.
东北育才高中2024-2025学年度上学期
高一年级数学科第一次月考答案
【解析】
1.解：在集合中，
观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.
故选C.
2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，
则集合的真子集有个，
故选C.
3.解：命题“，不等式”为假命题，
则命题“，不等式”为真命题，
所以，解得，
所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，
则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，
故选：A.
4.解：A：令，则，故错误；
B：令，则，故错误；
C：令，则，故错误；
D：因为，所以即，故正确；
故选D.
5.解：由题可知：.
当时，显然不成立即，则满足；
当时，，由可得：；
综上所述实数的取值范围为.
故选C.
6.解：由
，
根据的定义可知：不等式的解集是.
故选A.
7.解：因为，
则，
当且仅当时，即当，且，等号成立，
故的最小值为.
故选B.
8.当时，方程为有一个负实根，
反之，时，则
于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，
，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，
则这两根之积小于，
于是得，
若，由，
即知，方程有两个实根，
必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，
则，
解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，
反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：
9.解：因为，如下图所示，则，选项A正确：
，选项B正确：
，选项正确：
，选项D错误.
故选ABC.
10.解：分别取同正､同负和一正一负时，
可以得到的值分别为，故A正确；
由得，
所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；
由，
可以得到符合条件的数对有，故C正确；
当时，；
当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以集合含有四个元素，故D错误，
故选ABC.
11.解：由题意，，且方程的两根为和，
所以，
所以，所以A正确；
因为，所以，可得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为B正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C错误；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以D正确.
故选ABD.
12.解：由，
，
解得：或（舍去），
或，
即所求的解集为，
故答案为.
13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，
各集合中元素的个数如图所示，
则全班人数为.
故答案为43.
14.解：分情况讨论：
当时，，解得；
当时，，
当且仅当时取等号，
解得或；
当时，，
当且仅当时取等号，
由，解得.
因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；
所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.
故答案为：.
15.（本小题13分）
【答案】解：（1）当时，，所以或，
又或，所以或；
（2）由题可得，
①当时，则，即时，此时满足；
②当时，则，所以，
综上，实数的取值范围为.
16.（本小题15分）
【答案】解：（1）若，则，解得，
所以实数的取值集合为
（2）集合，
集合，则
此时，则集合，
当选择条件①时，是的充分不必要条件，有，
则，且不能同时取等，解得，
所以实数的取值集合为
当选择条件②时，是的必要不充分条件，有，
则，且不能同时取等，解得，
所以实数的取值集合为
当选择条件③时，，使得，有，
则，解得，
所以实数的取值集合为
17.（本小题15分）
【答案】解：（1）证明：
.
介于之间.
（2）
比更接近于.
（3）令，则比更接近于.
证明如下：由（2）知.
故比更接近于.
18.（本小题17分）
【答案】解：（1）由题意知：，
，解得，
所以，二次函数的不动点为和1.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6.
19.（本小题17分）
【答案】（1）解：对于集合，因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，
所以集合不是封闭集；
（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；
对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，
所以，
同理可得，
所以，
所以是封闭集，故正确；
（3）证明：假设结论成立，设，
若，矛盾，所以，所以有，
设且，否则，
所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.